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2013年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教学设计 苏教版必修5

3.4.1
教学目标:

基本不等式的证明

1.探索并了解基本不等式的证明; 2.体会证明不等式的基本思想方法; 3.能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题.

教学重点: 基本不等式的证明. 教学难点: 基本不等式的证明.

教学过程: 一、问题情境,导入新课 口述:有一个珠宝商人,很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题,于是向 工商局投诉,工商局派人去调查,商人承认他用的天平左右的杆长有问题,向人们提出一个 调解方案,放左边称变重对人们不公平,放右边称变轻商人要亏本,那么用两次称重的平均 值作为物品的实际重量,如果你是购买者,你接受他的方案吗? 问题 1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题? 珠宝放左边称砝码显示重量为 a,放右边称砝码显示重量为 b ,假设天平的左杠杆长为

l1,右杠杆长 l2,那么这个珠宝的实际重量是多少?(会算吗?用什么原理来算?你认为珠
宝商的方案合理吗,那也就是 问题 2

a?b 与 ab 哪个大?(你估计一下哪个大?) (如果回答取值代,那么可以 2

a?b 与 ab 哪个大?) 2

追问取一正一负行吗?如果回答作差,可以追问你估计一下哪个大?) 二、学生活动 问题 3 如何证明

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 呢? 2

请 2 个同学上黑板(巡视,有不同 的解法让他上黑板写一下) . a?b 1 1 证法一(比较法) : ? ab = [( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 a b ] = ( a ? b ) 2 ? 0 , 2 2 2 当 且仅当 a ? b ,即 a ? b 时,取“=”.
181

证法二:要 证 只要证 只要证 只要证

ab ?

a?b , 2

2 ab ? a ? b ,

0 ? a ? 2 ab ? b ,

0 ? ( a ? b )2
ab ? a?b 成立,当且仅当 a ? b ,即 a ? b 时, 2

因为最后一个不等式成立,所以 取“=” . 证法三:对于正数 a , b ,有

( a ? b )2 ? 0 ,
? a ? b ? 2 ab ? 0 , ? a ? b ? 2 ab ,
? a?b ? ab . 2

先让 学生谈一谈证的对不对,他这个证明方法有什么特点? 点评:回顾我们上面的证明过程,我们来看一下各种证法的特点: 证法一是比较法,比较法常用的就是作差将差值与零去比较; 证法二是分析法,分析法的特点是盯住我们要的目标,寻找结论成立的条件; 证法三是综合法,它们都是证明不等式的基本方法. (看来珠宝商还是多赚钱的,只有 a=b 时才是一个守法的商人啊. ) 三、建构数学 定理: 如果 a , b 是实数且 (a ? 0, b ? 0) , 那么

a?b ? ab(当且仅当 a ? b 时取 “=” ) . 2

问题 :对于这个定理你怎么 认识它?(结构有什么特点啊?成立的条件是什么?什么 叫当且仅当啊?) (上式中

a?b 称为 a , b 的算术平均数, ab 称为 a , b 的几何平均数,两个正数的算术 2

平均数大于等于它们的几何平均数, 有的时候我们也把这个定理写成 a ? b ? 2 ab ) . 要用 这个定理首先两个数必须都是非负数. 当 a ? b 时,取“=” ,并且只有当 a ? b 时,取 “=” ,我们把这种等号成立的情况称 之为当且仅当. 四、数学运用
182

例 1 设 a , b 是正数,证明下列不等式成立: (1)

b a ? ?2 a b

(2) a ?

1 ?2 a

(3) a 2 ? b 2 ? 2ab (先让学生点评,对不对,关注格式与条件,他用什么方法来证明的?还有什么别的思 路?) 点评:我们证明不等式通常有比较法,分析法,现在有了这个定理,也可以应用它来证 明 什么时候取等号? 师:我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了,你能不能从 图形的角度来认识一 下它呢? 有线段 AB 长为 a,线段 BC 长为 b,你能找到 让另一个学生再解释一下)
F

a?b 和 ab 吗?(一个学生讲完了可以 2

A

a

O

C

b

B

例2

(1)已知函数 y ? x ?

1 , ( x ? 0) ,求此函数的最小值. x

点评:什么是最小值,最小值就是大于等于一个数,你说大于等于 2, 那也大于等于 1 嘛,我能说最小值就是 1 吗? (2)已知函数 y ? x ? (3)已知函数 y ? 2 x ? 五、回顾小结 回顾本节课,你 对基本不等式有哪些认识?

1 , ( x ? 0) ,求此函数的最大值; x
1 , ( x ? ?1) ,求此函数的最小值. x ?1

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