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双曲线练习题(含答案)


双曲线的标准方程及其简单的几何性质
一、选择题 1.平面内到两定点 E、F 的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( A.双曲线 B.一条直线 C.一条线段 D.两条射线 ) )

x2 y2 2.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1+k 1-k A.-1<k<1 B.k>0 C.k≥0 D.k>1 或 k<-1

3.动圆与圆 x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都相外切,则动圆圆心的轨迹为( A.双曲线的一支 B.圆 C.抛物线 D.双曲线

)

x2 y2 4.以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( 3 4 x2 A. -y2=1 3 x2 B.y2- =1 3 x2 y2 C. - =1 3 4 ) y2 x2 D. - =1 3 4

)

5.“ab<0”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知双曲线的两个焦点为 F1(- 5,0)、F2( 5,0),P 是此双曲线上的一点,且 PF1⊥PF2, |PF1|· |PF2|=2,则该双曲线的方程是( x y A. - =1 2 3
2 2

)
2

x y B. - =1 3 2

2

2

x C. -y2=1 4

y2 D.x2- =1 4 )

7.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线上的动点 P 到 F1、F2 距离之差为 6,则曲线方程为( x y A. - =1 9 7
2 2

x y B. - =1(y>0) 9 7

2

2

x y x y C. - =1 或 - =1 9 7 7 9

2

2

2

2

x y D. - =1(x>0) 9 7

2

2

8.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2,在左支上过 F1 的弦 AB 的长为 5,若 2a=8,那么△ABF2 的周长是( A.16 ) B.18 C.21 D.26 )

x2 y2 14 9.已知双曲线与椭圆 + =1 共焦点,它们的离心率之和为 ,双曲线的方程是( 9 25 5 x2 y2 A. - =1 12 4 x2 y2 B. - =1 4 12 x2 y2 C.- + =1 12 4 x2 y2 D.- + =1 4 12 )

x2 10.焦点为(0,± 6)且与双曲线 -y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2 x2 y2 A. - =1 12 24 y2 x2 B. - =1 12 24 y2 x2 C. - =1 24 12 x2 y2 D. - =1 24 12 )

x2 y2 x2 y2 11.若 0<k<a,则双曲线 2 2- 2 2=1 与 2- 2=1 有( a b a -k b +k A.相同的实轴 B.相同的虚轴 C.相同的焦点

D.相同的渐近线 )

5 12.中心在坐标原点,离心率为 的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为( 3

5 A.y=± x 4

4 B.y=± x 5

4 C.y=± x 3

3 D.y=± x 4 )

x2 y2 13.双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( b a A.2 B. 3 C. 2 3 D. 2 )

x2 y2 14.双曲线 - =1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( 9 16 A. 3 二、填空题 B .3 C.4 D.2

15.双曲线的焦点在 x 轴上,且经过点 M(3,2)、N(-2,-1),则双曲线标准方程是________. x2 y2 16.过双曲线 - =1 的焦点且与 x 轴垂直的弦的长度为________. 3 4 x2 y2 x2 y2 17.如果椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 的焦点相同,那么 a=________. 4 a a 2 x2 y2 18.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 b 的取值范围是________. 4 b x2 y2 x2 19.椭圆 + 2=1 与双曲线 2-y2=1 焦点相同,则 a=________. 4 a a x2 y2 20.双曲线以椭圆 + =1 的焦点为焦点,它的离心率是椭圆离心率的 2 倍,求该双曲线的方程为 9 25 ________.

双曲线的标准方程及其简单的几何性质(答案)
1、[答案] D 2、[答案] A 3、[答案] A [解析] 由题意得(1+k)(1-k)>0,∴(k-1)(k+1)<0,∴-1<k<1. [解析] 设动圆半径为 r,圆心为 O,

x2+y2=1 的圆心为 O1,圆 x2+y2-8x+12=0 的圆心为 O2, 由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2, ∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4, 由双曲线的定义知,动圆圆心 O 的轨迹是双曲线的一支. 4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在 y 轴上,且 a=1,c=2, x2 ∴b2=3,双曲线方程为 y2- =1. 3 5、[答案] C 6、[答案] C [解析] ab<0?曲线 ax2+by2=1 是双曲线,曲线 ax2+by2=1 是双曲线?ab<0. [解析] ∵c= 5,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,

∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· |PF2|=4c2,∴4a2=4c2-4=16,∴a2=4,b2=1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点, x2 y2 实轴长为 6 的双曲线的右支,其方程为: - =1(x>0) 9 7 8、[答案] D [解析] |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,

∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,∴|AF2|+|BF2|=16+5=21, ∴△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26. 9、[答案] C x2 y2 4 [解析] ∵椭圆 + =1 的焦点为(0,± 4),离心率 e= , 9 25 5

14 4 10 y2 x2 ∴双曲线的焦点为(0,± 4),离心率为 - = =2, ∴双曲线方程为: - =1. 5 5 5 4 12 10、[答案] B x2 x2 [解析] 与双曲线 -y2=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 -y2=λ(λ≠0), 2 2

y2 x2 又因为双曲线的焦点在 y 轴上, ∴方程可写为 - =1. -λ -2λ y2 x2 又∵双曲线方程的焦点为(0,± 6),∴-λ-2λ=36.∴λ=-12. ∴双曲线方程为 - =1. 12 24 11、[答案] C 12、[答案] D [解析] ∵0<k<a,∴a2-k2>0.∴c2=(a2-k2)+(b2+k2)=a2+b2.
2 2 c 5 c2 a +b 25 b2 16 b 4 a 3 [解析] ∵ = ,∴ 2= 2 = ,∴ 2= ,∴ = ,∴ = . a 3 a a 9 a 9 a 3 b 4

a 3 又∵双曲线的焦点在 y 轴上, ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x, ∴所求双曲线的渐近线方程为 y=± x. b 4 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直,则渐近线方程为:y=± x,
2

2 b b2 c -a c ∴ =1,∴ 2= 2 =1,∴c2=2a2,e= = 2. a a a a

14、[答案] C 4 4 [解析] ∵焦点坐标为(± 5,0),渐近线方程为 y=± x,∴一个焦点(5,0)到渐近线 y= x 的距离为 4. 3 3 15、[答案] x2 y2 - =1 7 7 3 5 x2 y2 [解析] 设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0) a b 9 4

?a -b =1 又点 M(3,2)、N(-2,-1)在双曲线上,∴? 4 1 ?a -b =1
2 2 2 2

?a =3 ,∴? 7 ?b =5
2 2

7

.

16、[答案]

8 3 3

[解析] ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c= 7,

? ?x= 7 16 4 3 8 3 该弦所在直线方程为 x= 7,由?x2 y2 得 y2= ,∴|y|= ,弦长为 . 3 3 3 ? ? 3 - 4 =1
17、[答案] 1 [解析] 由题意得 a>0,且 4-a2=a+2,∴a=1. [解析] ∵b<0,∴离心率 e= 4-b ∈(1,2),∴-12<b<0. 2 6 . 2

18、[答案] -12<b<0 19、[答案] 6 2

[解析] 由题意得 4-a2=a2+1,∴2a2=3,a=

c 4 8 焦点为(0,± 4),离心率 e= = ,∴双曲线的离心率 e1=2e= , a 5 5 c1 4 8 5 25 39 y2 x2 2 2 ∴ = = ,∴a1= ,∴b2 = ,∴双曲线的方程为 - =1. 1=c1-a1=16- a1 a1 5 2 4 4 25 39 4 4 20、[答案]

y2
25 4



x2
39 4

=1

[解析] 椭圆 + =1 中,a=5,b=3,c =16, 9 25

x2

y2

2


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