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云南省昆明市2013届高三数学复习适应性检测试题 文 新人教A版


云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测 文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 4 页,第Ⅱ卷 5 至 8 页. 考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分,考试用时 120 分钟.

注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名.准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚, 并认真核准条形码上的准考证号,姓名、考场号、座位号,在规定的位置贴好条形码. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 答在试卷上的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (1)复数

2i ( i 是虚数单位)的虚部是 1? i (A) i (B) ? i

(C) 1

(D) ? 1

(2)已知集合 P ? {x | x2 ? 4}, Q ? {x | x ? 4} ,则 P ? Q ? (A) {x | x ? 2} (B) {x | 0 ? x ? 2} (C) P

(D) Q

(3)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC ,得到三棱锥 C-ABD,其正视图与俯视图均 为全等的等腰直角三角形,如图所示,则侧视图的面积为 (A) (C)

1 4

(B)

1 2
正视图

2 2

(D) 1

俯视图

(4) a 为常数, ?x ? R , f ( x) ? a x ? ax ? 1 ? 0 ,则 a 的取值范围是
2 2

(A) a ? 0

(B) a ? 0

(C) a ? 0

(D) a ? R
1

(5)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a5 ? 4a3 ,则数列 ?an ? 的前 10 项的和等于 (A)23 (B)95 (C)135 (D)138

(6)下列程序框图中,某班 50 名学生,在一次数学考试中, an 表示学号为 n 的学生的成绩,则 (A)P 表示成绩不高于 60 分的人数 (B)Q 表示成绩低于 80 分的人数 (C)R 表示成绩高于 80 分的人数 (D)Q 表示成绩不低于 60 分,且低于 80 分人数
开始 开始 n=1,P=0,Q=0,R=0

输入 an 是
an ? 60


an ? 80

是 P=P+1 Q=Q+1

否 R=R+1

n=n+1 否
n ? 50

是 输出P、Q、R 开始 结束

(7)设抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 Q、R
2

两点,若 S 为 C 的准线上一点, △QRS 的面积为 8 ,则 p ?

2

(A) 2

(B) 2

(C) 2 2

(D) 4

(8)已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? cos 2x ,若 f ( x ? ? ) 为偶函数,则 ? 的一个值为 (A)

?
6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

?
2

(9)若函数 y ? (A)

? 6

1 3 x ? x 2 ? 1 (0 ? x ? 2) 的图象上任意点处切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的最小值是 3 3? ? 5? (B) (C) (D) 4 6 4

? (10) 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 与 AC 、AB 所成角均为 60 , BAC ? 90 , A ?C A 且 B A ? A
? ?

? 1, 1

则三棱锥 A ? ABC 的体积为 1 (A)

2 4

(B)

2 6

(C)

2 12

(D)

2 18

(11)过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0、b ? 0) 左焦点 F 且垂直于双曲线一渐近线的直线与双曲线的右支 a 2 b2

交于点 P , O 为原点,若 OF ? OP ,则 C 的离心率为

3

(A) 5

(B) 2

(C)

3

(D) 3

(12)数列 {an } 的首项为 1,数列 {bn } 为等比数列且 bn ? (A)20 (B)512 (C)1013

an ?1 ,若 b10 ? b11 ? 2 ,则 a21 ? an
(D)1024

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上.
4

?x ? y ? 1 ? 0 ? ( 13 ) 设 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 若 目 标 函 数 z ? ax ? y (a ? 0) 的 最 大 值 为 10 , 则 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
a ? ______ .

(14)若函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? 2 的零点所在区间是 n, n ? 1), n ? Z ,则 n 的值是______. (

(15)已知非零向量 a、、 满足 a ? b ? c ? 0 ,向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 |a|=| b ,则 | a ? b | 与 | c | 的 b c | 比值为 .

? ? ?

? ? ?

?

?

?

? ?

? ?

?

(16)已知函数 f ( x) ? log2 x ?1 ,对于满足 0 ? x1 ? x2 的任意实数 x1、x2 ,给出下列结论: ① [ f ( x2 ) ? f ( x1 )]( x2 ? x1 ) ? 0 ;② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ;③ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ④

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) ,其中正确结论的序号是 2 2

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围.

a 3 cos A

?

c , sin C

5

(18)下表是某单位在 2013 年 1—5 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5 5 1.8

(Ⅰ)若由线性回归方程得到的预测数据与实际检验数据的误差不超过 0.05,视为“预测可靠” ,通过

? 公式得 b ? ?0.7 ,那么由该单位前 4 个月的数据中所得到的线性回归方程预测 5 月份的用水量是否可靠?
说明理由; (Ⅱ)从这 5 个月中任取 2 个月的用水量,求所取 2 个月的用水量之和小于 7(单位:百吨)的概率.

? ? ? ? ? 参考公式:回归直线方程是: a ? y ? bx , y ? bx ? a .

( 19 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , PD ∥ MA , MA ? AD , PM ? 平面CDM ,

MA ? AD ?

1 PD ? 1 . 2 (Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 AMPD ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? CMP 的高.
B

C

D

P

A

M

( 20 ) 已 知 椭 圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 右 焦 点 为 F (c ,0) , 上 顶 点 为 B , 离 心 率 为 , 圆 2 2 a b

F : ( x ? c)2 ? y 2 ? a2 与 x 轴交于 E 、D 两点.
(Ⅰ)求

BD BE

的值;

6

(Ⅱ)若 c ? 1 ,过点 B 与圆 F 相切的直线 l 与 C 的另一交点为 A ,求 △ ABD 的面积.

(21)设函数 f ( x) ? ln x ?

a 2 x ? (a ? 1) x ( a 为常数) . 2

(Ⅰ) a =2 时,求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ( x ) ?

a 2 x ? x ? a ,求 a 的取值范围. 2

选考题(本小题满分 10 分) 请考生在第(22)(23)(24)三道题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡第Ⅰ卷选择题区域内 、 、 把所选的题号涂黑. 注意:所做题目必须与所涂题号一致. 如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, BA 是圆 O 的直径, C 、 E 在圆 O 上, BC 、 BE 的延长线交直线 AD 于点 D 、 F ,

BA2 ? BC ? BD .求证:
(Ⅰ)直线 AD 是圆 O 的切线; (Ⅱ) ?D ? ?CEF ? 180 .
?

D

C

E

F
A

B

·

O

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ( 2, (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若 ? ? [0,

?
4

) ,半径 r ? 3 .

?

? x ? 2 ? t cos? ) ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,直线 l 交圆 C 于 A, B 两点, 4 ? y ? 2 ? t sin ?

求弦长 AB 的取值范围.

7

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式 f ?x ? ? 5x ; (Ⅱ)若函数 f ?x ? ? ax ? 1的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

昆明市 2013 届高三复习适应性检测 文科数学参考答案及评分标准 一.选择题: 1.C 2.B 3.A 7.C 8.C 9.B

4.D 10.C

5.B 11.A

6.D 12.D

二、填空题: 13.2 14.-2 15. 3 16.② ④

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得,
a 3 cos A ? c a ? sin C sin A

从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

.........5 分 ........

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , ∴ 6 ? b ? c ? 12 , 从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] ..........12 分 ........
8

?

3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

法二:由正弦定理得:

b c 6 ? ? ?4 3. sin B sin C sin ? 3

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,
2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B)? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3 ? sin B ? cos B ? ? 12 ? sin B ? cos B ? ?2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?

?? ? ? 12sin ? B ? ? . 6? ?


?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?? ? ? ∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ? 时,等号成立) 6? 3 ?
从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] ..........12 分 ........

? 18.解: (Ⅰ)由数据,得 x ? 2.5, y ? 3.5 ,且 b ? ?0.7

? ? ? a ? y ? bx ? 5.25 , 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? ?0.7 x ? 5.25 .
? 当 x ? 5 时,得估计值 y ? ?0.7 ? 5 ? 5.25 ? 1.75 , 而 1.75 ?1.8 ? 0.05 ? 0.05 ;
所以,所得到的回归方程是“预测可靠”的......... 分 .........6 (Ⅱ)从这 5 个月中任取 2 个用,包含的基本事件有以下 10 个:

(4.5, 4), (4.5, 3), (4.5, 2,5), (4.5,1.8), (4,3), (4, 2.5), (4,1.8), (3, 2.5), (3,1.8), (2.5, 1.8),
其中所取 2 个月的用水量之和小于 7(百吨)的基本事件有以下 6 个:

(4.5,1.8),

(4, 2.5), (4,1.8), (3, 2.5), (3,1.8), (2.5, 1.8),

故所求概率 P ?

6 3 ? .........12 分 ........ 10 5

19.解: (Ⅰ)? PM ? 平面 CDM ,且 CD ? 平面 CDM ,

? PM ? CD , 又 ABCD 是正方形,? CD ? AD ,而梯形 AMPD 中 PM 与 AD 相交,
?CD ? 平面 AMPD ,
又 CD ? 平面 ABCD , ........ ? 平面 ABCD ? 平面 AMPD .........4 分

9

(Ⅱ)设三棱锥 A ? CMP 的高为 h , 已证 CD ? 平面 AMPD ,又 PM ? 平面CDM ,则 PM ? CM , PM ? DM , 由已知 MA ? AD ? 故 S?AMP

1 PD ? 1 ,得 DM ? 2 , CM ? 3 , PM ? 2 ,...6 分 ... 2 1 1 ? AM ? AD ? , 2 2

1 1 6 .........8 分 ........ S?CMP ? CM ? PM ? ? 3 ? 2 ? 2 2 2

? VA?CMP ? VC ? AMP
1 1 S ?CMP ? h ? S ?AMP ? CD ........ ........10 分 3 3 1 ?1 S?AMP ? CD 2 6 ......... .........12 分 ? ? ?h? S?CMP 6 6


2
故三棱锥 A ? CMP 的高为 (其他做法参照给分) 20.解: (Ⅰ)由题意, B(0 , b) , E (c ? a , 0) , D(c ? a , 0) ,∵ e ? 得 a ? 2c , b ? 3c 则 B(0 ,
y B A

6 6

1 2

3c) , E(?c , 0) , D(3c , 0)
E

得 BD ? 2 3c , BE ? 2c 则

O

F

D

x

BD BE

? 3 ???(4 分)
x2 y 2 ? ? 1 , F : ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 4 3

(Ⅱ)当 c ? 1 时, C :

得 B(0, 3) 在圆 F 上 直线 l ? BF ,则设 l : y ?

3 x? 3 3

10

? x2 y 2 ?1 ? ? ?4 3 由? ?y ? 3 x ? 3 ? 3 ?

得 A(?

24 5 3 16 3 , ) , AB ? 13 13 13

又点 D (3, 0) 到直线 l 的距离 d ?

3?0?3 ?3, 2

得 ?ABD 的面积 S ?

1 1 16 3 24 3 AB ? d ? ? ???(12 分) ?3 ? 2 2 13 13

21.解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为 ? 0,??? , a =2 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3x ,

f ?( x) ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)(x ? 1) ? 2x ? 3 ? ? , x x x
1 1 或 x ? 1 ;当 f ?( x) ? 0 ,解得 ? x ? 1 , 2 2

当 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ?

∴函数 f (x) 在 ? 0, ? , ?1,??? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减......5 分 ..... (Ⅱ) f ( x ) ?

? ?

1? 2?

?1 ? ?2 ?

a 2 x ? x ? a 等价于 ln x ? a( x ? 1) 在 ?1,??? 上恒成立, 2

即 ln x ? a( x ? 1) ? 0 在 ?1,??? 上恒成立. 设 h( x) ? ln x ? a( x ? 1) ,则 h(1) ? 0 , h '( x) ?

1 ?a. x

①若 a ? 0 , h ?( x) ? 0 ,函数 h(x) 为增函数,且向正无穷趋近,显然不满足条件; ②若 a ? 1 ,则 x ∈ ?1, ?? ? 时, h '( x) ?

1 ? a ? 0 恒成立, x

∴ h( x) ? ln x ? a( x ? 1) 在 ?1, ?? ? 上为减函数, ∴ h( x) ? ln x ? a( x ? 1) ? h(1) ? 0 在 ?1,??? 上恒成立, 即 ln x ? a( x ? 1) 在 ?1,??? 上恒成立; ③若 0 ? a ? 1 ,则 h '( x) ?

1 1 ? 1? ? a =0 时, x ? ,∴ x ? ?1, ? 时, h?( x) ? 0 , x a ? a?

∴ h( x) ? ln x ? a?x ? 1? 在 ?1,

? 1? ? 上为增函数, ? a?

11

当 x ? (1, ) 时, h( x) ? ln x ? a?x ? 1? ? 0 ,不能使 ln x ? a?x ? 1? 在 ?1,??? 上恒成立.

1 a

综上, a ? ?1,??? ......... .........12 分

22.证明: (Ⅰ)连 AC ,∵ BA 是圆 O 的直径, ∴ ?ACB ? 90? , ∵ BA2 ? BC ? BD ,∴

D

BA BD ? , BC BA

C

又∵ ?ABC ? ?DBA , ∴ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAD ? ?ACB ? 90? , ∵ OA 是圆 O 的半径, ∴直线 AD 是圆 O 的切线;........ 分 .........5 (Ⅱ)方法一:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∵ ?BEC ? ?CEF ? 180? , ∴ ?D ? ?CEF ? 180? ......... .........10 分 方法二:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∴四点 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆, ∴ ?D ? ?CEF ? 180 ......... .........10 分
?

E

F
A

B

·

O

23.解: (Ⅰ) 【法一】∵ C ? 2 ,

? ?

??

? 的直角坐标为 ?1, 1? , 4?
2 2

∴圆 C 的直角坐标方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 . 化为极坐标方程是 ? ? 2? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0
2

【法二】设圆 C 上任意一点 M ?? , ? ? ,则 如图可得, ? 2 ?

? 2?

2

?? ? ? 2 ? ? 2 cos? ? ? ? ? ?4 ?

? 3? .
2

C
O

M

x

化简得 ? ? 2? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ...........4 分 ........
2

12

(Ⅱ)将 ?

? x ? 2 ? t cos? 2 2 代入圆 C 的直角坐标方程 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 , y ? 2 ? t sin ? ?
2 2

得 ?1 ? t cos? ? ? ?1 ? t sin ? ? ? 3 即 t 2 ? 2t ?sin ? ? cos? ? ? 1 ? 0 有 t1 ? t 2 ? ?2?sin ? ? cos? ?, t1 ? t 2 ? ?1 . 故 AB ? t1 ? t 2 ? ∵ ? ? ?0,

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4?sin ? ? cos? ? ? 4 ? 2 2 ? sin 2? ,
2

? ?

??

? ?? ? ? 2? ? ?0, ? , 4? ? 2?

∴ 2 2 ? AB ? 2 3 , 即弦长 AB 的取值范围是 2 2 , 2 3 ..........10 分 ........

?

?

1 ? 1 ? ? x ? ?1 ?? 1 ? x ? ?x ? 24.解: (Ⅰ) f ?x ? ? 5 x ? ? 或? 2或? 2 ?? 3x ? 5 x ?2 ? x ? 5 x ?3x ? 5 x ? ?
1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? ?1 ? ? 或? 或? ?? 2 ?x ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ? ? 3 ?
? x ? ?1 或 ? 1 ? x ? 1 3

1 1? ? ? x ? ,即解集为 ? ? ?, ?. .........5 分 ........ 3 3? ?

13

? ?? 3x, x ? ?1 ? 1 ? (Ⅱ) f ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?2 ? x, ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? x? ?3x, 2 ?
如图, k PA ? ?2, k PB ? 1 , 故依题知, ? 2 ? a ? 1. 即实数 a 的取值范围为 ?? 2, 1? ..........10 分 ........

y B

1 P ?1 O

A

x

14


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