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2015高一数学第3章 指数函数、对数函数和幂函数作业题及答案解析3.1.2(二)


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3.1.2

指数函数(二)

课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数 a 的关系,能运用指数函数的单调性解决 一些问题.2.理解指数函数的底数 a 对函数图象的影响.

1.下列一定是指数函数的是________. ①y=-3x;②y=xx(x>0,且 x≠1);③y=(a-2)x(a>3);④y=(1- 2)x. 2.指数函数 y=ax 与 y=bx 的图象如图,则 0,a,b,1 的大小关系为________.

3.函数 y=πx 的值域是________. 1 + 4.已知集合 M={-1,1},N={x| <2x 1<4,x∈Z},则 M∩N=________. 2 1 2a+1 1 3-2a 5.若( ) <( ) ,则实数 a 的取值范围是______________. 2 2 6.若指数函数 f(x)=(a+1)x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围为________.

一、填空题 1.设 P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则 P、Q 的关系为________. 2.函数 y= 16-4x的值域是________. 3.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则函数 y=2ax-1 在[0,1]上的最大 值是________. - - 4 .若函数 f(x) = 3x + 3 x 与 g(x) = 3x - 3 x 的定义域均为 R ,则下列命题正确的是 ________.(填序号) ①f(x)与 g(x)均为偶函数; ②f(x)为偶函数,g(x)为奇函数; ③f(x)与 g(x)均为奇函数; ④f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. 5.函数 y= f(x)的图象与函数 g(x)= ex+ 2 的图象关于原点对称,则 f(x)的解析式为 ________.

?3? 3 ?3? 2 ?4? 2 6. 已知 a= ? ? , b= ? ? , c= ? ? , 则 a, b, c 三个数的大小关系是________. ?3? ?5? ?5?
7.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一 天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷 叶已生长了________天. 1 - 8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<- 的 2 解集是________.

?

1

?

1

?

1

?1? 9.函数 y= ? ? ?2?

? x2 ? 2 x

的单调递增区间是________.

二、解答题 10.(1)设 f(x)=2u,u=g(x),g(x)是 R 上的单调增函数,试判断 f(x)的单调性;

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(2)求函数 y= 2

x 2 ? 2 x ?1

的单调区间.

1 1 + 11.函数 f(x)=4x-2x 1+3 的定义域为[- , ]. 2 2 (1)设 t=2x,求 t 的取值范围; (2)求函数 f(x)的值域.

能力提升 12.函数 y=2x-x2 的图象大致是________.(填序号)

2x-1 13.已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)求 f[f(0)+4]的值; (2)求证:f(x)在 R 上是增函数; 15 (3)解不等式:0<f(x-2)< . 17

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1.比较两个指数式值的大小主要有以下方法: (1)比较形如 am 与 an 的大小,可运用指数函数 y=ax 的单调性. (2)比较形如 am 与 bn 的大小,一般找一个“中间值 c”,若 am<c 且 c<bn,则 am<bn;若 am>c 且 c>bn,则 am>bn. 2.了解由 y=f(u)及 u=φ(x)的单调性探求 y=f[φ(x)]的单调性的一般方法.

2.2.2
双基演练 1.③ 2.0<a<1<b 3.(0,+∞) 4.{-1}

指数函数(二)

1 + 解析 解指数不等式 <2x 1<4,得-1<x+1<2, 2 所以-2<x<1,故 N={-1,0}, 所以 M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}. 1 5.( ,+∞) 2 1 解析 ∵函数 y=( )x 在 R 上为减函数, 2 1 ∴2a+1>3-2a,∴a> . 2 6.-1<a<0 作业设计 1.Q P 解析 因为 P={y|y≥0},Q={y|y>0},所以 Q P. 2.[0,4) 解析 ∵4x>0,∴0≤16-4x<16, ∴ 16-4x∈[0,4). 3.3 解析 函数 y=ax 在[0,1]上是单调的, 最大值与最小值都在端点处取到, 故有 a0+a1=3, 解得 a=2,因此函数 y=2ax-1=4x-1 在[0,1]上是单调递增函数,当 x=1 时,ymax= 3. 4.② - 解析 f(-x)=3 x+3x=f(x), -x x g(-x)=3 -3 =-g(x). - 5.f(x)=-e x-2 解析 ∵y=f(x)的图象与 g(x)=ex+2 的图象关于原点对称, - - ∴f(x)=-g(-x)=-(e x+2)=-e x-2. 6.c<a<b 3 1 1 解析 ∵y=( )x 是减函数,- >- , 5 3 2 ∴b>a>1.又 0<c<1,∴c<a<b. 7.19 解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为 1,则荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间的函数关 - 系为 y=2x 1,当 x=20 时,长满水面,所以生长 19 天时,荷叶布满水面一半. 8.(-∞,-1) 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,

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∴f(0)=0. 当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1. 1 1 3 - 当 x>0 时,由 1-2 x<- ,( )x> ,得 x∈?; 2 2 2 1 当 x=0 时,f(0)=0<- 不成立; 2 1 - 当 x<0 时,由 2x-1<- ,2x<2 1,得 x<-1. 2 综上可知 x∈(-∞,-1). 9.[1,+∞) 解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断. 1 令 u=-x2+2x,则 y=( )u 在 u∈R 上为减函数,问题转化为求 u=-x2+2x 的单调递 2 减区间,即为 x∈[1,+∞). 10.解 (1)设 x1<x2,则 g(x1)<g(x2). 又由 y=2u 的增减性得 2 1 < 2 2 ,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)为 R 上的增函数. (2)令 u=x2-2x-1=(x-1)2-2, 则 u 在区间[1,+∞)上为增函数. 根据(1)可知 y= 2 在[1,+∞)上为增函数. 同理可得函数 y 在(-∞,1]上为单调减函数. 即函数 y 的增区间为[1,+∞),减区间为(-∞,1]. 1 1 11.解 (1)∵t=2x 在 x∈[- , ]上单调递增, 2 2 2 ∴t∈[ , 2]. 2 (2)函数可化为:f(x)=g(t)=t2-2t+3, 2 g(t)在[ ,1]上递减,在[1, 2]上递增, 2 2 比较得 g( )<g( 2). 2 ∴f(x)min=g(1)=2, f(x)max=g( 2)=5-2 2. ∴函数的值域为[2,5-2 2]. 12.① 解析 当 x→-∞时,2x→0,所以 y=2x-x2→-∞, 所以排除③、④. 当 x=3 时,y=-1,所以排除②. 20-1 13.(1)解 ∵f(0)= 0 =0, 2 +1 24-1 15 ∴f[f(0)+4]=f(0+4)=f(4)= 4 = . 2 +1 17 (2)证明 设 x1,x2∈R 且 x1<x2, 则 2 2 > 2 1 >0, 2 2 - 2 1 >0,
x x x x

g? x

?

g? x

?

x 2 ? 2 x ?1

2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 ? ∴f(x2)-f(x1)= x 2 2 ? 1 2 x1 ? 1 2 2 x2 ? 2 x1


?2

?

x2

? 1?? 2 ? 1?
x1

?

>0,

即 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在 R 上是增函数.

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15 (3)解 由 0<f(x-2)< 得 f(0)<f(x-2)<f(4), 17 又 f(x)在 R 上是增函数,∴0<x-2<4, 即 2<x<6,所以不等式的解集是{x|2<x<6}.


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