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转本高数第四章第二节 不定积分的基本性质与基本积分公式


第二节

不定积分的基本性质 与基本积分公式

一、不定积分的基本性质
(1)


? [ f ( x ) ? g( x )] dx ? ? f ( x ) dx ? ? g( x ) dx ;
? [ ? f ( x ) dx ? ? g( x ) dx ]?
? [ ? f ( x ) dx ]? ? [ ? g( x ) dx ]? ? f ( x ) ? g( x ) .

? 等式成立.
(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)
1

( 2)

? kf ( x ) dx ? k ? f ( x ) dx
(k 是常数,k ? 0 )

d ( 3) [ ? f ( x ) dx ] ? f ( x ) , d ? f ( x ) dx ? f ( x ) dx dx
( 4)

? F ?( x ) dx ? F ( x ) ? C , ? dF ( x ) ? F ( x ) ? C
这些性质不难由不定积分的定义直接获得。

2

二、基本积分公式
(1)

? k dx ? kx ? C

(k是常数);

? ?1 x ( 2) ? x ? dx ? ? C ( ? ? ?1); ? ?1 dx ( 3) ? ? ln x ? C ; x x a x x x e ?C 特别, e d x ? ?C ; (4) ? a dx ? ? lna

( 5)
( 6)

? cos x dx ? sin x ? C ;
? sin x dx ? ? cos x ? C ;
3

二、基本积分公式
dx 2 (7) ? ? ? sec x dx ? tan x ? C ; 2 cos x
dx 2 ( 8) ? ? ? csc x dx ? ? cot x ? C ; 2 sin x

(9)

?

1 1 ? x2

dx ? arcsinx ? C (或 ? arccosx ? C )

1 (10) ? dx ? arctanx ? C (或 ? arccot x ? C ) 2 1? x
4

直接积分法—分项积分法
例1 求下列不定积分
3 2
4

a ? a dx ? ln a ? C
x
3 2

x

2 3 2 (1) ? (4 x ? 2 x ? x ? 1) dx ? x ? x ? x ? x ? C 3 3
( 2)
( 3)
x ? 2 sin x ( sin x ? 2 cos x ? e ) d x ? ? cos x ? e ?C ?
x
x x x x x 2 ? ( 4 ? 2 ? 6 ? 9 ) dx ( 2 ? 3 ) d x ? ?

4x 2 x 9x ? ? 6 ? ?C ln4 ln6 ln9
2x e ?C (4) ? e 2 x dx ? ? (e 2 ) x dx ? (e2 ) x / lne2 ? C ? 2
5

例2 求下列不定积分

(1 ? x )2 1 ? 2x ? x2 (1) ? dx ? ? dx x x
? ? (x
? 1 2

4 2 ? 2 x ? x ) dx ? 2 x ? x ? x ? C 3 5

1 2

3 2

3 2

5 2

1 ? x ? x2 x ? (1 ? x 2 ) ( 2) ? dx ? ? dx 2 2 x (1 ? x ) x(1 ? x )
1 1 ? ?( ? ) dx ? arctanx ? ln | x | ?C 2 1? x x
6

例2 求下列不定积分

( 3)

?

( x 2 ? 1) 1 ? x 2 ? 2 x x 1 ? x2

x2 ? 1 2 dx ? ? ( ? ) dx 2 x 1? x

1 2 1 2 ? ? (x ? ? ) dx ? x ? ln | x | ? 2 arcsin x ? C 2 2 x 1? x

( 4)

?

1 x2 ? 1 ? x2 dx ? ? 2 dx 2 2 2 x (1 ? x ) x (1 ? x )

1 1 1 ? ?( 2 ? ) dx ? ? ? arctanx ? C 2 x 1? x x
7

例2 求下列不定积分

x4 x4 ? 1 ? 1 ( x 2 ? 1)( x 2 ? 1) ? 1 ( 5) ? dx ? ? dx dx ? ? 2 2 2 1? x 1? x 1? x
1 x ? ? (x ?1? ) dx ? ? x ? arctanx ? C 2 1? x 3
2

3

8

例3 求下列不定积分

三角恒等变形

si n2 x 2 sin x cos x (1) ? dx ? ? dx ? ? 2 sin x dx cos x cos x
? ?2 cos x ? C
2 2 cos x 2 cos x ? sin x ( 2) ? dx ? ? dx 1 ? sin x cos x ? sinx

? ? (cos x ? sin x ) dx ? sin x ? cos x ? C
2 2 1 sin x ? cos x ( 3) ? 2 d x ?? dx 2 2 2 sin x cos x sin x cos x

? ? (sec x ? csc x ) dx ? tan x ? cot x ? C
2 2
9

例3 求下列不定积分

cos2 x cos2 x ? sin2 x ( 4) ? dx ? ? dx cos x ? sin x cos x ? sinx
? ? (cos x ? sin x ) dx ? sin x ? cos x ? C

( 5)

2 2 ? (sec x ? 1) dx ? tan x ? x ? C tan x d x ? ?

x 1 ? cos x 1 (6) ? si n dx ? ? dx ? ( x ? sin x ) ? C 2 2 2 dx 1 ? sinx 1 ? sin x (7) ? ?? dx ? ? dx 2 1 ? sin x (1 ? sinx )(1 ? sinx ) cos x
2

? ? (sec x ? sec x tan x ) dx ? tan x ? sec x ? C
2

10

训练:求下列不定积分
1 5 2 3 (1) ? ( x ? 1) dx ? ? ( x ? 2 x ? 1) dx ? x ? x ? x ? C 5 3 3 x?9 2 ( 2) ? dx ? ( x ? 3 ) d x ? x 2 ? 3 x ? C ? x ?3 3 1 ? cos x 1 2 x ( 3) ? cos dx ? ? dx ? ( x ? sin x ) ? C 2 2 2
2 2

4

2

1 ? cos x 1 ? cos x ( 4) ? dx ? ? dx 2 2 sin x 1 ? cos 2 x 1 1 2 ? ? (csc x ? csc x cot x ) dx ? ? (cot x ? csc x ) ? C 2 2 2 1 ? x2 ) dx ? ? x ? 2 arctan x ? C ( 5) ? dx ? ? ( ?1 ? 2 2 1? x 1? x 11


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