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《双曲线及其标准方程》参考教案


双曲线及其标准方程
一、教学目标 (一)知识教学点 1.掌握双曲线定义、标准方程; 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系; 3.认识双曲线的变化规律. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、推理等能力. (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用,与椭圆进行类比、设想,使学生得到关于双曲线的定 义、标准方程一个比较深刻的认识. 二、教材分析 1.重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程. (解决办法:通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;对于双曲线 的标准方程通过比较加深认识.) 2.难点:双曲线的标准方程的推导. (解决办法:引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.) 3.疑点:双曲线的方程是二次函数关系吗? (解决办法:教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在 课外去研究在什么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式.) 三、活动设计 教学方法 启发引导式 教具准备 三角板、双曲线演示模板、幻灯片 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结. 四、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么?(学生回答,教师板书) 平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强 调条件:(1)平面内;(2)到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数;(3)常数 2a>|F1F2|.
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2.椭圆的标准方程是什么?(学生口答,教师板书)

(二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的 呢? 1.简单实验(边演示、边说明) 如图 2-23,定点 F1、F2 是两个按钉,MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿 过套管, 点 M 移动时, |MF1|-|MF2|是常数, 这样就画出曲线的一支; 由|MF2|-|MF1|是同一常数, 可以画出另一支.

注意:常数要小于|F1F2|,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线. 2.设问 问题 1:定点 F1、F2 与动点 M 不在平面上,能否得到双曲线? 请学生回答,不能.强调“在平面内”. 问题 2:|MF1|与|MF2|哪个大? 请学生回答,不定:当 M 在双曲线右支上时,|MF1|>|MF2|;当点 M 在双曲线左支上时, |MF1|<|MF2|. 问题 3:点 M 与定点 F1、F2 距离的差是否就是|MF1|-|MF2|? 请学生回答,不一定,也可以是|MF1|-|MF2|.正确表示为|MF1|-|MF2|. 问题 4:这个常数是否会大于等于|F1F2|? 请学生回答,应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时,轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射 线;当常数>|F1F2|时,无轨迹. 3.定义 在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义:
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平面内与两定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这 两个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记. (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程. 我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设 问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学 生给出双曲线的方程的推导. 标准方程的推导: (1)建系设点 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴(如图 2-24)

建立直角坐标系. 设 M(x,y)为双曲线上任意一点, 双曲线的焦距是 2c(c>0),那么 F1、F2 的坐标分别是(-c, 0)、(c,0).又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合 由定义可知,双曲线就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=± 2a}. (3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项,两边平方得:

化简两边再平方,整理得: (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
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(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义,2c>2a 即 c>a,所以 c2-a2>0.

设 c2-a2=b2(b>0),代入上式得: b2x2-a2y2=a2b2.

这就是双曲线的标准方程. 两种标准方程的比较(引导学生归纳):

教师指出: (1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; (2)如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. (3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c2=a2+b2,不同于椭圆方程中 c2=a2-b2. (四)练习与例题 1.求满足下列的双曲线的标准方程: 焦点 F1(-3,0)、F2(3,0),且 2a=4;

3.已知两点 F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是 6 的点的轨迹方程.如 果把这里的数字 6 改为 12,其他条件不变,会出现什么情况?
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由教师讲解: 按定义,所求点的轨迹是双曲线,因为 c=5,a=3,所以 b2=c2-a2=52-32=42.

因为 2a=12,2c=10,且 2a>2c.所以动点无轨迹. (五)小结 1.定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.

3.图形(见图 2-25):

4.焦点:F1(-c,0)、F2(c,0);F1(0,-c)、F2(0,c). 5.a、b、c 的关系:c2=a2+b2;c=a2+b2. 五、布置作业 1.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点 A(-5,2);

3.已知圆锥曲线的方程为 mx2+ny2=m+n(m<0<m+n),求其焦点坐标. 作业答案:

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2.由(1+k)(1-k)<0 解得:k<-1 或 k>1

六、板书设计

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