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江西省赣州市十二县(市)2013届高三下学期期中联考数学(文)试卷


2012—2013 学年第二学期赣州市十二县(市)期中联考 高三数学(文科)试卷
命题学校:上犹中学、赣县中学、赣州一中
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)

a ? 2i ) ? b ? i ( a,b ? R,i 为虚数单位)则 a ? b ? ( i A.1 B.2 C. ?1 D. ?3 2 2 2.已知集合 A ? {( x, y ) | x ? y ? 0} , B ? {( x, y ) | x ? y ? 1} , C ? A ? B ,则 C 中元素的个数是
1.已知 ( ) A. 1 B.2 C.3 D. 4 3. ab ? 4 ” 是“直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 bx ? 2 y ? 2 ? 0 “ 平行” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 值是( ) A. ?1 B. C.

3 2

2 3

D.4

5.设函数 f ( x) ? A sin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,? 的图像关于直线 x ?

?
2

?? ?

?
2

)

2? 对称,它的周期是 ? ,则( ) 3 ? 1? ? ? 2? ? A. f (x) 的图象过点 ? 0, ? B. f (x) 在 ? , 上是减函数 ? 2? ?12 3 ? ? ? 5? ? C. f (x) 的一个对称中心是 ? D. f (x) 的最大值是 4 ,0 ? ? 12 ? ? 6. AB 是圆 O 的直径, P 是圆弧 AB 上的任意一点, M , N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 uuur uuu r AB ? 6, MN ? 4 ,则 PM gPN ( )
A.13 B.7 C.5 7 .在 平面 直角 坐标系 xoy 中 , 已知 平面区 域 A ? (x,y )|x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 , 则平面 区域

B ? ? x ? y,x ? y )|(x, y )? A? 的面积为( (
A. 2 B. 1
x

?

D.3

?


1 2

C.

D.

1 4

8.若 a ? 1 ,设函数 f ( x) ? a ? x ? 4 的零点为 m, g ( x) ? log a x ? x ? 4 的零点为 n , 则

1 1 ? 的取值范围是( m n



·1·

?7 ? ?9 ? C. ?4,?? ? D. ? , ?? ? , ?? ? B. ?1,?? ? ?2 ? ?2 ? 9.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数, f (1) ? 10 ,且对于任意 x ? R 都有 f ( x ? 20) ? f ( x) ? 20 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 , 若 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x, 则 ) g (10) ? ( A.19 B. 20 C. 9 D.10
A. ? 10.如图,不规则四边形 ABCD 中:AB 和 CD 是线段, AD 和 BC 是圆弧,直线 l⊥ 于 E,当 l 从左至右移 AB 动(与线段 AB 有公共点)时,把四边形 ABCD 分成两部 分,设 AE= x ,左侧部分面积为 y ,则 y 关于 x 的大致 图象为( )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11 . 已 知 抛 物 线 y ? ?8 x 的 准 线 过 双 曲 线
2

x2 y2 ? ?1 的 右 焦 点 , 则 双 曲 线 的 离 心率 m 3





12.已知向量 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ),| a ? b |? 则 cos(? ? ? ) 的值为

?

?

? ?

2 5 5

.



13.已知某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24, 则正(主)视图中 a 的值为 14.设 x ? .

1 1 ? 2 cos A 成立,可得 x 2 ? 2 ? 2 cos 2 A , x x 1 1 x3 ? 3 ? 2 cos 3 A,??? , 由此推得 x n ? n (n ? N * ) ? x x



15.函数 y ? ? k | x ? a | ?b 的图像与函数 y ? k | x ? c | ? d 的图像( k ? 0 且 k ?

1 )交于两点 (2,5) 、 3

(8,3) ,则

a?c 的值是 b?d



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
·2·

16. (本小题满分 12 分) .已知函数 f ( x) ? 3 sin(? ? ? x) ? sin( 高点的坐标分别为 ( (1)求 ? 的值;

?
2

? ? x)(?>0) 的图像上两相邻最

?

4 ,2), ( ? ,2) . 3 3
b ? 2c 的取值范围. a

(2)在△ABC 中, a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 2 求

17. (本小题满分 12 分) .我校数学老师这学期分别用 A, B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两 个班(人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同,勤奋程度和自觉性都一样) 。现随机抽 取甲、乙两班各 20 名的数学期末考试成绩,得到茎叶图:

(1) 依茎叶图判断哪个班的平均分高? (2) 现从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学, 求成绩为 86 分的同学至少有一个 被抽中的概率; (3) 学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在犯错误的概率不 超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 下面临界值表仅供参考:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (参考公式: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18. (本小题满分 12 分) .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , ?PAD 是 正 三 角 形 , 已 知

BD ? 2 AD ? 8, AB ? 2 DC ? 4 5 (1) 设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD ? 平面 PAD ; (2) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

·3·

19. 本小题满分 12 分) ( 已知点 ? 1, ? 是函数 f ( x)=a x ( a ? 0 且 a ? 1 )图象上的一点, 等比数列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 ?bn ? ( bn ? 0 ) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足

? 1? ? 3?

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 ? n ? 2 ? .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? ?

1 an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn . 2

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1nx , a ? R ,其中 e 是自然对数的底数. (1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值; (2)对于任意的 x ? (0, e] , f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

6 ,焦距为 4, 椭 3 圆 W 的左焦点为 F , 过点 M (?3, 0) 任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A 、B , 点 A 关于 x 轴的对称点为 C .
21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆 W 的方程; (2) CF ? ? FB ( ? ? R )是否成立?并说明理由; ?MBC 面积 S 的最大值.

uuu r

uur

(3)求

·4·

(3)

????9 分



因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关??12 分 18.解(1)在 ?ABC 中,AD=4,BD=8,AB= 4 5
·5·

∴ AD 2 ? BD 2 ? AB 2

故AD ? BD ????2 分

Sn-Sn-1=( Sn- Sn-1)( Sn+ Sn-1)= Sn+ Sn-1(n≥2). 又∵bn>0, Sn>0,∴ Sn- Sn-1=1. 数列{ Sn}构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2. ???5 分
当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当 n=1 时,b1=1 也适合该通项公式,∴bn=2n- 1(n∈N*).???6 分

1 1 -2 1 (2) cn=-2an·n=-2·3n · b (2n-1)=3n· (2n-1),???7 分 设数列{cn}的前 n 项和为 Pn,则 1 1 1 1 1 Pn=c1+c2+?+cn=1·+3·2+5·3+?+(2n-3)·n-1+(2n-1)·n,① 3 3 3 3 3
·6·

1 1 1 1 1 1 Pn ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 4 ? ?? ? (2n ? 3) ? n ? (2n ? 1) ? n ?1 ,②???9 分 3 3 3 3 3 3

2 1 1 1 1 1 1 ① -②得: Pn ? ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ?? ? n ) ? (2n ? 1) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3
2 1 1 1 1 1 1 1 Pn ? 2( ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? ? n ) ? (2n ? 1) ? n ?1 ? 3 3 3 3 3 3 3 3
n 1? ?1? ? 1? ? ? ? ? 3? ?3? ? 2 ? ? (2n ? 1) ? 1 ? 1 ? 2 ? 2n ? 2 ???11 分 Pn ? 2 ? 1 3n ?1 3 3n ?1 3 3 1? 3 n+1 ∴Pn=1- 3n ???12 分

21 . 解: (1)设椭圆 W 的方程为

x y ? 2 ? 1 ,由题意可知 2 a b
·7·

2

2

y ? c 6 ? , ? A ? 2a 2 3 2 B ? M ?a ? b ? c , 解得 a ? 6 , c ? 2 , b ? 2 , O F ? 2c ? 4, ? C ? ? x2 y 2 所以椭圆 W 的方程为 ? ? 1 . ????3 分 6 2 (2)解:点 M 坐标为 (?3, 0) .于是可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) .

x

·8·


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