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【走向高考】(春季发行)高三数学第一轮总复习 4-6正弦定理和余弦定理课件 新人教A版_图文

走向高考· 数学 人教A版 ·高考一轮总复习 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第四章 三角函数与三角形 第四章 第六节 正弦定理和余弦定理 基础梳理导学 3 考点典例讲练 思想方法技巧 4 课堂巩固训练 5 课后强化作业 基础梳理导学 重点难点 引领方向 重点:正余弦定理及三角形面积公式. 难点: 在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的 讨论. 夯实基础 稳固根基 1.正弦定理 a b c sinA=sinB=sinC=2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB; 2 2 2 b + c - a c2=a2+b2-2abcosC 或 cosA= 2bc , a2+c2-b2 a2+b2-c2 cosB= ,cosC= . 2ac 2ab 3.三角形中的常见结论 (1)A+B+C=π. (2)在三角形中大边对大角,大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)有关三角形内角的常用三角函数关系式 sin(A+B)=sinC; -cosC ; cos(A+B)=___________ A+B C - tan C tan(A+B)=______;_ sin 2 =cos 2 ; A+B A+B C C cos =sin ; tan =cot . 2 2 2 2 (5)△ABC 的面积公式有: 1 ①S=2a· h(h 表示 a 边上的高); 1 1 1 abc ②S= absinC= acsinB= bcsinA= ; 2 2 2 4R 1 ③S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 1 ④S= P?P-a??P-b??P-c?,其中 P=2(a+b+c). (6)在△ABC 中,A>B?a>b?sinA>sinB. 4.解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况: 已知条件 应用定理 正弦定理 (如a,B,C) 两边和夹角 余弦定理 (如a,b,C) 一般解法 一边和两角 由A+B+C=180°求出角A;由正弦定 理求出b与c;在有解时只有一解 由余弦定理求出第三边c;由正弦定理 求出小边所对的角;再由A+B+C= 180°求出另一角,在有解时只有一解 已知条件 三边 应用定理 一般解法 由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C =180°求出角C,在有解时只有一解 由正弦定理求出角B,由A+B+C=180° 余弦定理 (a,b,c) 两边和其中 一边的对角 (如a,b,A) 正弦定理 求出角C,再利用正弦定理求出c边,可有 两解,一解或无解,详见下表. 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角 或直角 图 形 A为锐角 A为钝角 或直角 bsinA<a<b 两解 _____ 关系式 解的个数 a<bsinA _____ 无解 a=bsinA 一解 ____ a≥b 一解 ___ a>b 一解 ____ a ≤b 无解 ___ 疑难误区 点拨警示 1.在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的 对角解三角形问题时,可能出现一解、两解或无解情况,应结 合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况, 作出 正确取舍. 2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关 系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系, 再用三角变换或代数式的恒等变形 (如因式分解、配方等 ) 求 解.注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否 则会有漏掉一种形状的可能. 3.一般地,sinα>sinβ?/ α>β,但在△ABC 中,sinA>sinB ?A>B. 思想方法技巧 一、判断三角形形状的方法 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径: (1)化边为角;(2)化角为边.具体有如下四种方法: ①通过正弦定理实施边角转换; ②通过余弦定理实施边角转换; ③通过三角变换找出角之间的关系; ④通过三角函数值符号的判断及正、 余弦函数有界性的讨 论; 注意:在△ABC 中,b2+c2-a2>0?A 为锐角,b2+c2-a2 =0?A 为直角,b2+c2-a2<0?A 为钝角. 二、解题技巧 1.在解斜三角形的问题中,有时所给问题在一个多边形 中, 需将多边形分割成三角形, 有时在同一个图形中有几个三 角形, 解题时要先分析条件, 将已知和待求量归结到一个可解 的三角形中, 如果不能归到同一个三角形中, 则应看待求量需 要在哪个三角形中解决, 这个三角形中的哪个量与已知条件所 在的三角形共用, 先解可解的三角形求出这个量或建立方程求 解. 2.在△ABC 中,给定 A、B 的正弦或余弦值,则 C 的正 弦或余弦有解(即存在)的充要条件是 cosA+cosB>0.简证如下: C 有解?A+B 有解?0<A+B<π?0<A<π-B<π?cosA>cos(π -B)?cosA>-cosB?cosA+cosB>0.因此判断 C 是否有解,只 需考虑 cosA+cosB 的符号即可.了解这一结论,对做选择题 或填空题来说,将十分方便. [例 1] 5 4 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,求 cosC. 13 5 5 12 解析:∵sinA= ,∴cosA=± , 13 13 12 当 cosA=13时,满足 cosA+cosB>0, 12 12 当 cosA=- 时,cosA+cosB<0,∴cosA=- 舍去, 13 13 ∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 5 3 12 4 33 =13×5-13×5=-65. 4 点评:可利用大边对大角讨论:由 cosB= 得, 5 3 5 sinB=5>13=sinA, 12 ∴b>a,即 B>A,∴A 为锐角,∴cosA=

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