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河北省邯郸市2013-2014学年高一上学期期末考试


2013-2014 学年度第一学期期末高一数学试题
一 、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知全集 U ? {2,3, 4} ,若集合 A ? {2,3} ,则 CU A ? A. 1 2.过点 A ( B. 2 C. 3 D. 4

3,1) 且倾斜角为 60? 的直线方程为
B. y ? 3x ? 2 C. y ?
3 x?2 3

A. y ? 3x ? 2

D. y ?

3 x?2 3

3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之后增长 越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用 A .一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数

4.点 M (3, ?4) 和点 N (m, n) 关于直线 y ? x 对称,则 A. m ? ?4, n ? ?3 B. m ? 4, n ? ?3 C. m ? ?4, n ? 3 3 4 4
主4视 图 侧 视 图

D. m ? 4, n ? 3 3 4

5.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是 A. 80
16 B. 64 ? 13 3

C. 104 D. 80 ? 8 13 6.已知直线 l 上两点 A, B 的坐标分别为 (3,5), (a, 2) ,且 直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂直,则 a 的值为 A. ?
3 4

4 4
俯视图

B.

3 4

C. ?

4 3

D.

4 3

7.函数 f ( x) ? 1 ? e x 的图象大致是
y O x
O x y

y
O

y x

O

x

A

B

C

D

-1-

8.函数 f ( x) ? ln x ? A. (e?4 , e?2 )

1 的零点所在的区间是 2

B. (e?2 ,1)

C. (1, e 2 )

D. (e2 , e4 )

9.下列函数中既是奇函数又是 (1, ??) 上的增函数的是 A. f ( x) ? 2 x ? 2? x B. f ( x) ? 2? x ? 2 x C. f ( x) ? x ? ln x D. f ( x) ? x ln | x |

10.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等,底面边长为 2 ,则该三棱锥的外接球的表 面积是 A. 6? B. 12?
0.3

C. 18?
2

D. 24?

11.已知函数 f ( x) ? log 2 x , a ? 2 , b ? log 2 5, c ? 0.3 ,则下列选项正确的是 A. f (a) > f (b) > f (c) C. f (c) > f (b) > f (a) B. f (b) > f (a) > f (c) D. f (c) > f (a) > f (b)

? 4 ?1 ? ( x ? 4) 12.已知函数 f ? x ? ? ? x ,若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有两个不同的根,则实数 k 的取 ? ?log 2 x( x ? 4)

值范围是 A. (??,1) B. (??, 2) C. (1, 2) D. [1, 2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 f ( x) ? a x (a ? 1) 在 [1, 2] 上的最大值比最小值大
a ,则 a ? 2

14.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 BD 与 AD1 所成角度为 15.已知两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 3x ? 4 y ? m ? 0 之间的距离为 2 ,则 m ? 16.设 l 、 m 、 n 表示不同的直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列四个命题正确的是 ①若 m ∥ l ,且 m ? ? ,则 l ? ? ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? ,则 l ∥ ? ;

③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 m ∥ l ∥ n ; ④若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , ? ? ? ? n ,且 n ∥ ? ,则 m ∥ l .

-2-

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? log a (2 ? x), a ? 0 且 a ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明.

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥平 面 ABCD, SA ? AB ? BC ? 2 . (Ⅰ)求证: 平面SAB ? 平面SBC ; (Ⅱ)求直线 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值. S

B

C

A

D

19. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1 过点 A(2,1), B(0,3) ,直线 l 2 的斜率为 ?3 且过点 C (4, 2) . (Ⅰ)求 l1 、 l 2 的交点 D 的坐标;
15 7 (Ⅱ)已知点 M (?2, 2), N ( , ) ,若直线 l3 过点 D 且与线段 MN 相交,求直线 l3 的斜率 k 的 2 2

取值范围.

-3-

20. (本小题满分 12 分) 已知在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为 CC1 的中点. (Ⅰ)求证: AC1 ∥ 面DBE ; (Ⅱ)求三棱锥 B1 ? DBE 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为 20000 元,每生产一组该组合床柜需要 ì 1 ? ? - x 2 + 400 x(0 #x 400) ? 增加投入 100 元,已知总收益满足函数: R( x) = í 2 ,其中 x 是组合 ? ? ( x > 400) ? ? 80000 床柜的月产量. (Ⅰ)将利润 y 元表示为月产量 x 组的函数; (Ⅱ)当月产量为何值时,该厂所获得利润最大?最大利润是多少? (总收益=总成本+利润)

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
a ( a ? 0 ). x

(Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ] 上是减函数,在 [ a , ??) 上是增函数,并写出 当 x ? 0 时 f ( x) 的单调区间;
4 (Ⅱ)已知函数 h ? x ? ? x ? ? 8, x ? ?1,3? ,函数 g ? x ? ? ? x ? 2b ,若对任意 x1 ? ?1,3? ,总存在 x
x2 ? ?1,3? ,使得 g ? x2 ? ? h ? x1 ? 成立,求实数 b 的取值范围.
-4-

2013-2014 学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷答案及评分标准
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1-5 DADCA 6-10BABDA 11-12BC

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.

3 2

14. 60

o

15. ?8或12

16. ①④

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分) 解: (Ⅰ)由题得 ?

?x ? 2 ? 0 ,…………………………………………3 分 ?2 ? x ? 0

所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | ?2 ? x ? 2} …………………………………………………5 分 (Ⅱ)函数 f ( x) 为奇函数…………………………………………6 分 证明:由(Ⅰ)知函数 f ( x) 的定义域关于原点对称………………7 分 且 f (? x) ? log a (? x ? 2) ? log a (2 ? x) ? ? log a (2 ? x) ? log a (2 ? x)

? ?[log a (2 ? x) ? log a (2 ? x)] ? ? f ( x)
所以函数 f ( x) 为奇函数…………………………………………………10 分 18. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:∵ SA ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ∴ SA ? BC …………………………………………………………2 分 又∵ ?ABC ? 90 即 AB ? BC
?

∵ AB、SA ? 面SAB ∴ BC ? 面SAB ………………………………………………………4 分 又∵ BC ? 面SBC

S

∴ 平面SAB ? 平面SBC ………………………………………………6 分 (Ⅱ)解:连接 AC ∵ SA ? 平面ABCD ∴ AC 是 SC 在底面 ABCD 内的射影
-5-

B

C

A

D

∴ ?SCA 为直线 SC 与底面 ABCD 所成角………………9 分 ∵ AB ? BC ? 2 , ?ABC ? 90 ∴ AC ? 2 2 又∵ SA ? 2 ∴ tan ?SCA ? 19. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)∵直线 l1 过点 A(2,1), B(0,3) , ∴直线 l1 的方程为
?

2 2 2

?

2 2 ,即直线 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 …12 分 2 2

y ?1 3 ?1 ,即 y ? ? x ? 3 ………………………2 分 ? x?2 0?2

又∵直线 l 2 的斜率为 ?3 且过点 C (4, 2) ∴直线 l 2 的方程为 y ? 2 ? (?3)( x ? 4) ,即 y ? ?3x ? 14 ………………4 分

11 ? x ? ? ? y ? ?3 x ? 14 11 5 ? 2 ∴? ,解得 ? 即 l1 、 l 2 的交点 D 坐标为 ( , ? ) ………6 分 2 2 ? y ? ?x ? 3 ?y ? - 5 ? ? 2
说明:在求直线 l1 的方程的方程时还可以利用点斜式方程或一般式方程形式求解.

5 11 ? k ( x ? ) ………………7 分 2 2 15 又由已知可得线段 MN 的方程为 3x ? 19 y ? 44 ? 0(?2 ? x ? ) …………8 分 2
(Ⅱ)法一:由题设直线 l3 的方程为 y ? ∵直线 l3 且与线段 MN 相交

5 11 ? y ? ? k (x ? ) ? ? 2 2 ∴? ?3x ? 19 y ? 44 ? 0(?2 ? x ? 15 ) ? ? 2
解得 ?2 ?

209k ? 183 15 ? ………………………………………………10 分 38k ? 6 2

得 k ? ? 或k ? 3 ∴直线 l3 的斜率 k 的取值范围为 k ? ? 或k ? 3 .…………………………12 分

3 5

3 5

-6-

法二:由题得右图,……………………7 分

5 ? ?2 3 2 ∵ kMD ? ? ? ……8 分 11 5 ? (?2) 2 5 7 ? ? k ND ? 2 2 ? 3 ……………………9 分 11 15 ? 2 2
∴直线 l3 的斜率 k 的取值范围为

y

M EM ?2 BE 去 D Equ EM ati BE on. D DS Equ MT ati 4 on. | } DS
?2

去 O

2去

7 2

N N Ex 11 15 2 2M D去BE D E Eq Mua ti BE D on Eq.D uaS ti M T4 on .D| S} B1 M T4
|
?2

3 k ? ? 或k ? 3 .…………………………………12 分 5
20. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:如图,连接 AC 交 BD 于点 F ,连接 EF , 则由题在 ?ACC1 中, EF 是两边 CC1 、 AC 上的中位线, ∴ EF ∥ AC1 ……………………………………4 分 又∵ EF ? 面DBE ∴ AC1 ∥ 面DBE ………………………………6 分 (Ⅱ)解:由题 VB1 ? DBE ? VD ? B1BE …………………………8 分 而在三棱锥 D ? B1BE 中, S?B1BE ? ∴ VD ? B1BE

MT 4 |}
?2

E EM 5 ?M BE2 BE D D Equ Eq ati ua on. ti DS on MT .D 4 S |} M D1 T4
?2

C1

|

?2

A1

}

E

D F A

?2

C

} B

1 ? 2 ? 2 ? 2 ,高为正方体的棱长, 2 1 1 4 4 ? S B1BE ? h ? ? 2 ? 2 ? ? VB1 ? DBE ,即 VB1 ? DBE ? .……………12 分 3 3 3 3

21. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由题设,总成本为 20000 ?100 x ,………………………………2 分

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400 则y?? 2 ………………………………6 分 ? x ? 400 ?60000 ? 100 x, 1 2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 400 时, y ? ? ( x ? 300) ? 25000 , 2 当 x ? 300 时, ymax ? 25000 ;…………………………………………9 分 当 x ? 400 时, y ? 60000 ? 100 x 是减函数, 则 y ? 60000 ? 100 ? 400 ? 20000 ? 25000 .………………………………11 分 ∴当 x ? 300 时,有最大利润 25000 元.………………………………12 分
22. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, ① 设 x1 , x2 是区间 (0, a ] 上的任意两个实数,且 x1 ? x2 ,则
-7-

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

a a ) ? ( x2 ? ) x1 x2 a a ? ) x1 x2 x2 ? x1 ) x1 x2

? ( x1 ? x2 ) ? (

? ( x1 ? x2 ) ? a( ? ( x1 ? x2 )(1 ?

a ) ……………2 分 x1 x2
a ,∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? a

∵ 0 ? x1 ? x2 ?

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在 (0, a ] 是减函数……………4 分 ②同理可证 f ( x) 在 [ a , ??) 是增函数………………………………………5 分 综上所述得:当 x ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ] 是减函数,在 [ a , ??) 是增函数. ……………6 分 ∵函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 是奇函数,根据奇函数图像的性质可得 x

当 x ? 0 时, f ( x) 在 [? a , 0) 是减函数,在 ( ??, ? a ] 是增函数……………8 分 (Ⅱ)解:∵ h( x) ? x ?

4 ? 8 ( x ? ?1,3? )………8 分 x

由(Ⅰ)知: h ? x ? 在 ?1,2? 单调递减, ?2,3? 单调递增 ∴ h ? x ?min ? h ? 2 ? ? ?4 ,

h ? x ?max ? max ?h ? 3? , h ?1?? ? ?3 , h ? x ? ? ? ?4, ?3? ………………………10 分
又∵ g ? x ? 在 ?1,3? 单调递减, ∴由题意知: ? ?4, ?3? ? ? ?3 ? 2b, ?1 ? 2b ? 于是有: ?

? ?3 ? 2b ? ?4 1 ,解得 ? b ? 1 .………………………………12 分 2 ? ?1 ? 2b ? ?3

-8-


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