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2019届高三数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算(含解析)

问题 01 数集与点集的运算
一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题. 给定集合来判定 集合间的关系、集合的交、 并、补运算是考查 的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多 出现在试卷的前 3 题中. 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数 集、点集还是其他类型的集合;如下面几个集合请注意其区别:
? ? ? ? ? ? ? ? ① x x2 ? 2x ? 0 ;② x y ? x2 ? 2x ;③ y y ? x2 ? 2x ;④ ? x, y? y ? x2 ? 2x .
(2) 二 元 方 程 的 解 集 可 以 用 点 集 形 式 表 示 , 如 二 元 方 程 xy ? 2 的 整 数 解 集 可 表 示 为
??1,2?,?2,1?,??1, ?2?,??2, ?1??.
(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问 题. (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个 集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表 示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示, 此时要注意端点的情况. (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙 述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; ②用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运 算与性质. 三、知识拓展 1.若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n-1.
? ? ? ? 2.A? B?A∩B=A?A∪B=B ? A 痧U B ? ? ? A U B ? U . ? 3.奇数集: x x ? 2n ?1, n?Z? ? ?x x ? 2n ?1, n?Z? ? ?x x ? 4n ?1.n?Z? .
4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复 选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种

(或几种)运算是封闭的.自然数集 N 对加法运算是封闭的;整数集 Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数 集、 复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设 F 是由一些数所构成的集合,其中包含 0 和 1,如果对 F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为 0),仍是 F 中的数,即运算封闭,则称 F 为数域.

四、题型分析 (一)与数集有关的基本运算

【例 1】【2018 年理新课标 I 卷】已知集合

A.

B.

C.

D.

【分析】首先利用一元二次不等式的解法,求出 中元素的特征,求得结果.

,则 的解集,从而求得集合 A,之后根据集合补集

【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中,需要明确一元二次不等式的解集 的形式以及补集中元素的特征,从而求得结果,要注意端点值 的取舍.
? ? ? ? 【小试牛刀】【2017 全国 1 理 1】已知集合 A ? x x ?1 , B ? x 3x ? 1 ,则( ).

A. A B ? ?x x ? 0? B. A B ? R

C. A B ? ?x x ?1? D. A B ? ?

【答案】A

【解析】 A ? ?x x ? 1? , B ? ?x 3x ?1? ? ?x x ? 0?,所以 A B ? ?x x ? 0? , A B ? ?x x ? 1? .

故选 A. (二)与点集有关的基本运算

【例

2】已知 M

?

??( x, ?

y) |

y?3 x?2

?

3??, N ?

? {(x,

y) | ax ? 2 y

?a

?

0}, M

N ? ? ,则 a ?( )

A.-2

B.-6

C.2

D.一 2 或-6

【 分 析 】 首 先 分 析 集 合 M 是 除 去 点 (2, 3) 的 直 线 y ? 3x ? 3 , 集 合 N 表 示 过 定 点 (?1, 0) 的 直

线, M N ? ? 等价于两条直线平行或者直线 ax ? 2 y ? a ? 0 过 (2, 3) ,进而列方程求 a 的值.
【解析】由 y ? 3 ? 3 ? y ? 3x ? 3(x ? 2) 若 M N ? ? ,则①:点 ( 2, 3)在直线 ax ? 2 y ? a ? 0 上,即 x?2
2a ? 6 ? a ? 0 ? a ? ?2;②:直线 y ? 3x ? 3与直线 ax ? 2y ? a ? 0 平行,∴ ? a ? 3 ? a ? ?6 , 2
∴ a ? ?2 或 ?6 .
【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键.

【小试牛刀】【2018 年理数全国卷 II】已知集合 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A

,则 中元素的

【解析】

,当

时,

;当 时,





时,

;所以共有 9 个,选 A.

(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围

【例 3】设常数 a∈R,集合 A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若 A∪B=R,则 a 的取值范围为( )

A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)

【分析】先得到 A=(-∞,1]∪[a,+∞),B=[a-1,+∞),再根据区间端点的关系求参数范围.

【点评】求解本题的关键是对 a 进行讨论. 【小试牛刀】已知 P={x|2<x<k,x∈N},若集合 P 中恰有 3 个元素,则 k 的取值范围为________. 【答案】(5,6] 【解析】因为 P 中恰有 3 个元素,所以 P={3,4,5},故 k 的取值范围为 5<k≤6. (四) 数集、点集与其他知识的交汇
【例 4】已知集合 M 是满足下列性质的函数 f (x) 的全体:存在非零常数 T,对任意 x ∈R,有 f (x ? T ) ? Tf (x)
成立.
(1)函数 f (x) ? x 是否属于集合 M?说明理由;
(2)设函数 f (x) ? ax (a ? 0 且 a ? 1)的图象与 y ? x 的图象有公共点,证明: f (x) ? ax ∈M;(3)若函数

f (x) ? sin kx ∈M ,求实数 k 的取值范围.

【分析】抓住集合 M 元素的特征,集合 M 是由满足 f (x ? T ) ? Tf (x) 的函数构成.

【解析】(1)对于非零常数 T,f (x+T)=x+T,Tf (x)=Tx. 因为对任意 x∈R,x+T =Tx 不能恒成立,所以 f (x)=x M . (2)因为函数 f (x)=ax (a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点,

所以方程组:

?? ?

y

?

a

x

有解,消去 y 得 ax=x,

??y ? x

显然 x=0 不是方程的 ax=x 解,所以存在非零常数 T,使 aT=T.

于是对于 f (x)=ax ,有

f (x+T)=ax+T = aT·ax=T·ax =T f (x),故 f (x)=ax∈M.

【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种:其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取 值范围,进而利用集合的知识处理;其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而 转化为几何问题处理.
【 小 试 牛 刀 】 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 全 集 U ? {(x, y) | x, y ? R} , 集 合 A ? {(x, y) | x c o? ?s ( y ? 4) s i? n? 1,0 ? ? ? 2?} ,已知集合 A 的补集 CU A 所对应区域的对称中心为 M , 点 P 是线段 x ? y ? 8(x ? 0, y ? 0) 上的动点,点 Q 是 x 轴上的动点,则 ?MPQ周长的最小值为( )

A. 24
【答案】B

B. 4 10

C.14

D. 8 ? 4 2

(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例 5】若集合 A 具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; (Ⅱ)若 x∈A,y∈A,则 x-y∈A,且 x≠0 时,1x∈A. 则称集合 A 是“好集”.下列命题正确的个数是( ) (1)集合 B={-1,0,1}是“好集”;

(2)有理数集 Q 是“好集”;

(3)设集合 A 是“好集”,若 x∈A,y∈A,则 x+y∈A.

A.0 B.1 C.2

D.3

【分析】抓住新定义的特点, 根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证.

【解析】选 C,(1)集合 B 不是“好集”,假设集合 B 是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这 与-2?B 矛盾.(2)有理数集 Q 是“好集”,因为 0∈Q,1∈Q,对任意的 x∈Q,y∈Q,有 x-y∈Q,且 x≠0 时,1x ∈Q,所以有理数集 Q 是“好集”.(3)因为集合 A 是“好集”,所以 0∈A,若 x∈A,y∈A,则 0-y∈A,即-y∈A,

所以 x-(-y)∈A,即 x+y∈A.

【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程

中.

【小试牛刀】【2017 浙江温州高三模拟】已知 集合 M ? {(x, y) | x2 ? y2 ? 1} ,若实数 ? , ? 满足:对任意的

(x, y) ? M ,都有 (? x, ? y)? M ,则称 (?, ?) 是集合 M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数
对”的是( )
A.{(?, ?) | ? ? ? ? 4}

B.{(?, ?) | ? 2 ? ? 2 ? 4}

C.{(?, ?) | ?2 ? 4? ? 4}

D.{(?, ?) | ? 2 ? ? 2 ? 4}
【答案】C.
【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对 (?, ?) 所构成 的集合为{(?, ?) | ?1 ? ? ? 1, ?1 ? ? ? 1}, 将其看作点的集合,为中心在原点, (?1,1) , (?1, ?1) , (1, ?1) , (1,1) 为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分 别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项 C 为抛物线,有公共点 (0, ?1) ,故选 C.
五、迁移运用

1.【安徽省宿州市 2018 届第三次质检】已知全集



()

A.

B.

C.

【答案】A

,集合 D.

,集合



2.【四川省成都市 2018 届模拟】设

,则



A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件

【答案】A

的( ) D. 既不充分也不必要条件

【解析】由

得 或 ,作出函数



,以及 的图象,如图所示,则由图象可知



时,

,当

的充分不必要条件,故选 A.

时,

,因为

,所以 “

”是“



点睛:本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题,其中正确作出相应函数的图象,利用数形结合法 求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想方法的应用,以及推理与论证能力.

3.【辽宁省葫芦岛市 2018 届第二次模拟】设集合



,则

()

A.

B.

【答案】B

C.

D.

【解析】



的子集个数为

故选 C.

4.【河南省洛阳市 2018 届三模】设集合

A. 4 B. 8 【答案】C

C. 16

D. 32



,则 的子集个数为( )

5.【安徽省皖江八校 2018 届联考】设集合

A.

B.

【答案】B

C.

D.

【解析】∵

,∴

,即

, ,∴

6.【山东省济南 2018 届二模】设全集 部分表示的集合为( )

,集合

,若
,故选 B. ,集合

,则 ( ) 则下图中阴影

A.

B.

【答案】D

【解析】由题意可得:

故选:D

C. ,

D. ,∴

7.【安徽省江南十校 2018 届二模理】已知全集为 ,集合



,则

()

A.

B.

【答案】C

C.

D.

【解析】因为



,所以

,即



8.【2018 届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}, 若 A ? B ? B,

则实数 a 的取值范围是()

A. a ?1 B. a ?1 C. a ? 2 D. a ? 2
【答案】D
? ? 【解析】集合 A ? ?x | x ? a?, B ? x | x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?x |1 ? x ? 2?, A ? B ? B,?B ? A,则 a ? 2 ,

故选 D.

9.【2018 届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合 A ? ?0,1?, B ? ??1,0, a ? 3? ,若 A ? B ,则 a 的值

为( )
A. ?2 B. ?1
【答案】A

C. 0

D. 1

【解析 】 因为 A ? ?0,1?, B ? ??1,0, a ? 3?,且 A ? B , 所以 a ? 3 ?1,所以 a ? ?2 ,故选 A.

? ? 10 .【 2018 届湖 南省 五市 十 校教 研 教改 共 同体高 三 12 月 联考 】已 知集 合 M ? x x2 ? x ? 2 ? 0 ,

? ? N ? x y ? x ?1 ,则 M ? N ? ( )

A. ?x x ? ?1? B. ?x 1 ? x ? 2? C. ?x ?1? x ? 2? D. ?x x ? 0?

【答案】A

【解析】 M ?{x | ?1? x ? 2}, N ? ?1, ????M ? N ? ?1, 2?,选 A.

11.已知集合



()

A.

B.

C.

D.

【答案】B

,则

的元素个数为

12.设集合



则点集 所表示的轨迹长度为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

,记



【解析】由题意

的圆心为

而圆心(-3sinα ,-3cosα ),满足(-3sinα )2+(-3cosα )2=9,

故圆心在以(0,0)圆心,半径为 3 的圆上,

∴集合 A 对应的几何图形为圆 x2+y2=4 和 x2+y2=16 之间的圆环区域,

,半径为 1,

? ? 13.【2017 全国 2 理 2】设集合 A ? ?1, 2, 4? , B ? x x2 ? 4x ? m ? 0 .若 A B ?1,则 B ? ().

A. ?1, ?3?

B. ?1, 0?

C.?1,3?

D.?1,5?

【答案】C
【解析】由题意知 x ?1 是方程 x2 ? 4x ? m ? 0 的解,代入解得 m ? 3 ,所以 x2 ? 4x ? 3 ? 0 的解为 x ?1或 x ? 3,
从而 B ? ?1,3? .故选 C.

? ? 14.若集合 M ?

x? N | x2 ?8x ? 7 ? 0

,

P

?

? ?

x

?

|

x 3

?

N

? ? ?

,则

M

P 等于(



A. ?3, 6?

B. ?4, 5?

C.?2, 4,5?

D. ?2, 4, 5, 7?

【答案】C

? ? 【 解 析 】 因 为 M ?

x? N | x2 ?8x ? 7 ? 0

?

?x

?

N

|1

?

x

?

7?=?2,3, 4,5, 6?,

P

?

? ?

x

?

|

x 3

?

N

? ? ?

,





M P ? ?2, 4,5?,故选 C.
? ? 15.已知集合 A ? x y ? x ?1 , A ? B ? ? ,则集合 B 不可能是( )
? ? A. x 4x ? 2x?1

B.?(x, y) y ? x ?1?

C.?y ? x ?1?
? ? D. y y ? log2(?x2 ? 2x ?1)
【答案】D
? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】 A ? x y ? x ?1 ? x x ? 1 , y y ? log2(?x2 ? 2x ?1) ? y y ?1 ,故选 D.

16.已知集合 M 是由具有如下性质的函数 f (x) 组成的集合:对于函数 f (x) ,在定义域内存在两个变量 x1, x2



x1

?

x2 时有

f

( x1) ?

f

( x2 )

?

x1

?

x2 .则下列函数①

f

(x)

?

ex(x

? 0) ;②

f

(x)

?

ln x x

;③

f

(x)

?

x;

④ f (x) ? 1 ? sin x 在集合 M 中的个数是

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【答案】B

对于③ f (x) ?

x,

f

?( x)

?

1 2x

? 0 ,函数

f (x)

在 (0, ??) 单调递增,在定义域内存在两个变量

x1, x2



x1 ? x2 时,在 f (x) 单调增区间时有 0 ? f ?(x) ? 1 ,此时只须 x ?1 时可得 0 ? f ?(x) ? 1 .满足题意

对于④ f (x) ? 1? sin x,, f ?(x) ? cos x ,函数 f (x) 在 (2k? ? ? , 2k? ? 3? )(k ? Z ) 单调递减,在定义域内

2

2

存在两个变量 x1, x2 且 x1 ? x2 时,在 f (x) 单调减区间时有 f ?(x) ? 0 ,满足题意.

17.设 {an} 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2, ) ,若数列 {bn} 有连续四项在集合

{?53, ?23,19,37,82}中 ,则 q ? ( )

A. ? 3 2
【答案】A

B. ? 4 3

C. ? 2 3

D. 3 2

18.已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合 A ? B={(x1+ x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,( x2,y2)∈B},则 A ? B 中元素的个数为( )

A.77

B.49

C.45

D.30

【答案】C

【解析】如图,集合 A 表示如图所示的所有圆点“ ”,集合 B 表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,

集合 A ? B 显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}

之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合 A ? B 表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点

“ ”+所有圆点“ ”,共 45 个.故 A ? B 中元素的个数为 45.故选 C.

19.非空集合 G 关于运算 ? 满足:(1)对任意 a , b ?G ,都有 a ?b?G ;(2)存在 e ?G ,使得对一切 a ?G ,
? ? 都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集”.现给出下列集合和运算:① G ? 非负整数 , ? ? ? ? ? 为 整 数 的 加 法 ; ② G ? 偶数 , ? 为 整 数 的 乘 法 ; ③ G ? 平面向量 , ? 为 平 面 向 量 的 加 法 ; ? ? ? ? ④ G ? 二次三项式 , ? 为多项式的加法;⑤ G ? 虚数 , ? 为复数的乘法.其中 G 关于运算 ? 为“融
洽集”的是( )

A.①③ 【答案】B

B.②③

C.①⑤

D.②③④

20.若集合 E ? ?? p,q,r, s? | 0 ? p ? s ? 4,0 ? q ? s ? 4,0 ? r ? s ? 4且p,q,r, s ? N? , F ? ??t,u,v, w? | 0 ? t ? u ? 4,0 ? v ? w ? 4且t,u,v, w? N? ,用 card ? X ? 表示集合 X 中的元素个数,则

card ?E? ? card ?F ? ? ( )

A.50 【答案】D

B.100

C.150

D.200

【解析】 card ?E? ? card ?F ? ?13 ? 23 ? 33 ? 43 ?10?10 ? 200,故选 D.

? ? 21.【2018 届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合 A ? ??1, 2, 2m ?1? ,集合 B ? 2, m2 ,

若 B ? A ,则实数 m ? __________.
【答案】1
【解析】由题意得 m2 ? 2m ?1? m ? 1,验证满足 22.设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a 、b ? P ,都有 a ? b 、a ? b 、ab 、a ? P(除数 b ? 0 ),
b 则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题:

①数域必含有 0,1 两个数;②整数集是数域;③若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域;④数域必为无限

集.其中正确的命题的序号是



【答案】①④

【解析】当 a ? b 时, a ? b ? 0, a ? 1? P ,故可知①正确;当 a ? 1,b ? 2, 1 ? Z 不满足条件,故可知②不正

b

2

确;对③当 M 中多一个元素 i 则会出现1? i ? M 所以它也不是一个数域;故可知③不正确;根据数据的性

质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知④正确,故答案为①④.

【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是:通

过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的

基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义
问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、
运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意 a 、b ? P ,都有 a ? b 、a ? b 、ab 、a ? P b
这一性质展开的.