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两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用


高一数学
一、本讲教学内容
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用

二、典型例题选讲 例 1 已知 tan(α ? β ) = k ? tan(α + β )
求证:
sin 2α 1 + k = . sin 2 β 1 ? k

(k ≠ 1).

注 意 到 已 知 条 件 中 的 角 α ? β 、 α + β 与 欲 证 等 式 中 的 角 2α 、 2 β 的 关 系 : 2α = (α + β ) + (α ? β ), 2 β = (α + β ) ? (α ? β ), 因此可用两角和与差的正弦公式变形,再用已知条件代入进行证 明.

分析

证:

sin 2α sin[(α + β ) + (α ? β )] sin(α + β ) ? cos(α ? β ) + cos(α + β ) ? sin(α ? β ) = = = sjin 2 β sin[(α + β ) ? (α ? β )] sin(α + β ) ? cos(α ? β ) ? cos(α + β ) ? sin(α ? β )

tan(α + β ) + tan(α ? β ) tan(α + β ) + k ? tan(α + β ) 1 + k = = . tan(α + β ) ? tan(α ? β ) tan(α + β ) ? k ? tan(α + β ) 1 ? k

评析

tan(α ? β ) tan(α ? β ) 1+ k tan(α + β ) + tan(α ? β ) tan(α + β ) 本题也可以由已知得 k = ,代入右边,得 = = tan(α + β ) tan(α + β ) ? tan(α ? β ) 1 ? k 1 ? tan(α ? β ) tan(α + β ) 1+

∵ tan A ± tan B =

sin A sin B sin A ? cos B ± cos A ? sin B sin( A ± B ) ± = = , cos A cos B cos A ? cos B cos A ? cos B 3 4



1 + k sin[(α + β ) + (α ? β )] sin 2α = = . 1 ? k sin[(α + β ) ? (α ? β )] sin 2 β

例2

已知 sin α + sin β = , 求 cosα + cos β 的取值范围.

分析 cosα + cos β 难以直接用 sin α + sin β 的式子来表达,因此设 cosα + cos β = t ,并找出 t 应满足的等 式,从而求出 cosα + cos β 的取值范围. 解 令 cosα + cos β
= t ,①

由已知, sin α + sin β =

3 . ② 4 9 , 16 55 ]. 16

①2+②2 : cos 2 α + 2 cosα ? cos β + cos2 β + sin 2 α + 2 sin α ? sin β + sin 2 β = t 2 +
2 + 2 cos(α ? β ) = t 2 + 9 , 16 t2 = 23 + 2 cos(α ? β ). 16

∵ ?1 ≤ cos(α ? β ) ≤ 1,∴ t 2 ∈ [0,

t ∈ [?

55 55 55 55 , ], 即 cosα + cos β ∈ [? , ]. 4 4 4 4 f (x) 的解析式中既有 sin x ,又有 cos x ,若由 sin 2 x + cos 2 x = 1 将 cos x 表示成 ± 1 ? sin 2 x 或将 sin x 表示

例 3 求函数 f ( x) = sin x ? cos x + 3sin x ? cos x 的值域 分析
成 ± 1 ? cos 2 x , 都会出现根式, 且需要讨论符号, 因此这种做法不可取.注意到 (sin x ? cos x) 2 = 1 ? 2 sin x ? cos x , 因此可作代换: sin x ? cos x = t , 则 sin x ? cos x 和 sin x ? cos x 都可以用 t 表示, f (x) 就可以变形为 t 的二次函数, 再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得 f (x) 的值域.

解 令 t = sin x ? cos x, 则 t 2 = 1 ? 2 sin x ? cos x,
f ( x) = sin x ? cos x + 3 sin x ? cos x = t + 3 ?

sin x ? cos x =

1? t2 . 2

1? t2 3 3 3 1 1 3 = ? t 2 + t + = ? (t ? ) 2 + + . 2 2 2 2 3 6 2

∵ t = sin x ? cos x = 2 (sin x ? cos

π
4

? cos x ? sin

π
4

) = 2 sin( x ?

π
4

). ∴ t ∈ [? 2 , 2 ].

当 t = , f ( x)max = +

3 5 3 3 3 = ; 当 t = ? 2 , f ( x)min = ? (? 2 )2 ? 2 + = ? ? 2 . 2 3 2 2 2 3 5 ∴ f (x) 的值域为 { y ? ? 2 ≤ y ≤ }. 2 3 2 sin( x ?

1 3

1 6

评析 相应于 sin x ? cos x =

π
4

) ,还有更一般的情况:

a sin x + b cos x = a 2 + b 2 (sin x ? a a2 + b2 = cos ? , b a2 + b2

a a +b
2 2

+ cos x ?

b a +b
2 2

),

∵(

a a +b
2 2

)2 + (

b a +b
2 2

) 2 = 1, ∴可以设

= sin ? , 则 a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) , 并由此可求出 a sin x + b cos x 的取值范围.
3 5 4 5 3 5 4 5

如 3 sin x ? 4 cos x = 5(sin x ? ? cos x ), 设 cos ? = , sin ? = ,
3 sin x ? 4 cos x ∈ [?5,5].

则 3 sin x ? 4 cos x = 5 sin( x ? ? ),



x ∈ R,



例 4 已知 sin α ? sin β + sin γ 解

= 0, cosα + cos β ? cos γ = 0, 且 α 、 β 、 γ 均为钝角,求角 α + β 的值.

?sin α ? sin β = ? sin γ , ① 由已知, ? ?cosα + cos β = cos γ . ②

sin 2 α ? 2 sin α ? sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2 cosα ? cos β + cos2 β = sin 2 γ + cos 2 γ . 1 4π π π 2 + 2 cos(α + β ) = 1, cos(α + β ) = ? . ∵ < α < π , < β < π , ∴ π < α + β < 2π ,α + β = . 2 2 2 3 评析 仅由 cos(α + β ) = ? 1 ,不能确定角 α + β 的值,还必须找出角 α + β 的范围,才能判断 α + β 的值. 由 2 1 2π 4π 单 位 圆 中 的 余 弦 线 可 以 看 出 , 若 0 ≤ α + β < 2π , 使 cos(α + β ) = ? 的 角 为 或 ; 若 α + β ∈ R, 则 2 3 3 2π 4π α+β = + 2kπ 或 α + β = + 2kπ (k ∈ Z ). 3 3 例 5 已知 tan α ? tan β = 8 , tan α ? β = ? 1 , 求 cos(α + β ) 的值. 9 2 2

①2+②2:

分析

因 cos(α + β ) = cosα ? cos β ? sin α ? sin β , 所 以 只 要 求 出 cosα ? cos β 和 sin α ? sin β 的 值 . 由 已 知 ,
α?β 8 cosα ? cos β , 所 以 如 能 由 tan 求 出 cos(α ? β ) = cosα ? cos β + sin α ? sin β 的 值 , 即 可 求 得 9 2

sin α ? sin β =

cos(α + β ) 的值.

1 α?β α?β α?β cos2 ? sin 2 1 ? tan 2 1 ? (? ) 2 1 2 2 = 2 = 2 = 3. 解 ∵ tan = ? ,∴ cos(α ? β ) = 1 2 2 2α ?β 2α ?β 2α?β cos + sin 1 + tan 1 + (? )2 5 2 2 2 2 8 3 3 8 8 ∴ cosα ? cos β + sin α ? sin β = . ∵ tan α ? tan β = ,∴ sin α ? sin β = cosα ? cos β , cos α ? cos β + cos α ? cos β = , 5 9 9 9 5 27 8 27 24 27 24 3 cosα ? cos β = . sin α ? sin β = ? = . ∴ cos(α + β ) = cosα ? cos β ? sin α ? sin β = ? = . 85 9 85 85 85 85 85 评析 一般地, cos(α + β ), cos(α ? β ) 和 tan α ? tan β 之间有关系: cos(α ? β ) ? cos(α + β ) = tan α ? tan β , 或写成 cos(α ? β ) + cos(α + β )

α?β

cos(α ? β ) 1 + tan α ? tan β = . cos(α + β ) 1 ? tan α ? tan β

例 6 已知 tan α ? β
2

=

1 , ,求 sin 2 (α + β ) ? sin 2α ? sin 2 β 的值. 3

分析 由 tan
式子.

α?β
2

可以求出 α ? β 的三角函数,因此需要把欲求值的式子变形为关于 α ? β 的三角函数的



cos(2α + 2 β ) = cos 2α ? cos 2 β ? sin 2α ? sin 2 β , 1 ∴ cos(2α ? 2 β ) ? cos(2α + 2 β ) = 2 sin 2α ? sin 2 β , sin 2α ? sin 2 β = [cos(2α ? 2 β ) ? cos(2α + 2 β )]. 2 1 ? cos(2α + 2 β ) 1 1 sin 2 (α + β ) ? sin 2α ? sin 2 β = ? [cos(2α ? 2 β ) ? cos(2α + 2 β )] = [1 ? cos(2α ? 2 β )] = sin 2 (α ? β ). 2 2 2 1 α ?β α ?β α?β 2× 2 sin ? cos 2 tan 3 = 3. 2 2 2 ∵ sin(α ? β ) = = = 1 2 5 α?β α?β α?β cos2 + sin 2 1 + tan 2 1+ ( ) 2 2 2 3 3 2 9 2 2 ∴ sin (α + β ) ? sin 2α ? sin β = ( ) = . 5 25 评析 与 sin A ? sin B = 1 [cos( A ? B) ? cos( A + B)] 类似,有 cos A ? cos B = 1 [cos( A ? B) + cos( A + B)]. 2 2

∵ cos(2α ? 2 β ) = cos 2α ? cos 2 β + sin 2α ? sin 2 β ,

例7 分析 解
1+

3π , 求 cos 2 α + cos 2 β + 2 cosα cos β 的值. 4 1 由例 6 评析, α ? cos β = [cos(α ? β ) + cos(α + β )], 因此希望把 cos 2 α + cos 2 β 也变形为 α + β 和 α ? β 的 cos 2

已知 α + β =

三角函数.
cos 2 α + cos 2 β + 2 cosα ? cos β = 1 + cos 2α 1 + cos 2 β 1 + + 2 ? [cos(α ? β ) + cos(α + β )] = 2 2 2
∵ cos 2α + cos 2 β = cos[(α + β ) + (α ? β )] + cos[(α + β ) ? (α ? β )] 2 2 [cos(α ? β ) ? ]= 2 2

cos 2α + cos 2 β 2 3π + [cos(α ? β ) + cos ] . 2 2 4

= 2 cos(α + β ) ? cos(α ? β ) ,
1 + cos

∴ cos 2 α + cos 2 β + 2 cosα cos β = 1 + cos(α + β ) ? cos(α ? β ) +

3π 2 1 1 ? cos(α ? β ) + cos(α ? β ) ? = . 4 2 2 2

评析

若 令 A = 2α , B = 2 β , 则 由 上 述 解 题 过 程 可 知 , cos A + cos B = 2 cos
A+ B A? B ? sin . 2 2

A+ B A? B ? cos ,类似地有 2 2

cos A ? cos B = ?2 sin

例 8 求值: (1) sin 63 分析 (1) 66
84 =

? cos 63 + 2 2 sin 66 ? cos 84 ;

(2)

sin 20 ? cos 50 cos 80

.

+ 84 = 150 为特殊角, 84 ? 66 = 18 ,因此有 66 =

150 ? 18 = 75 ? 9 , 2

150 + 18 = 75 + 9 ; 2 70 ? 30 70 + 30 = 35 ? 15 ,50 = = 35 + 15 . 2 2

(2) 50 ? 20 = 30 为特殊角, 50 + 20 = 70 ,因此有 20 = 解 (1) sin 63 ? cos 63 + 2 2 sin 66 ? cos 84 = 2 (sin 63 ?

2 2 ? cos 63 ? ) + 2 2 sin(75 ? 9 ) ? cos(75 + 9 ) = 2 2

2 sin(63 ? 45 ) + 2 2 (sin 75 ? cos 9 ? cos 75 ? sin 9 )(cos 75 ? cos 9 ? sin 75 ? sin 9 ) = 2 sin 18 + 2 2 (sin 75 ? cos 75 ? cos2 9 + sin 75 ? cos 75 ? sin 2 9 ? cos 2 75 ? sin 9 ? cos 9 ? sin 2 75 ? sin 9 ? cos 9 )

= 2 sin 18 + 2 2 (sin 75 ? cos 75 ? sin 9 ? cos 9 ) = 2 sin 18 + 2 (sin 150 ? sin 18 ) = 2 sin 150 = (2) =
sin 20 ? cos 50 cos 80 cos 80 = sin(35 ? 15 ) ? cos(35 + 15 ) cos 80 =

2 . 2

=

sin 35 ? cos15 ? cos 35 ? sin 15 ? cos 35 ? cos15 + sin 35 ? sin 15 cos 80 = ? 2 sin 10 ? 2 sin 60 sin 10 = ? 3.

(sin 35 ? cos 35 )(cos15 + sin 15 )

2 sin(35 ? 45 ) ? 2 sin(15 + 45 ) sin 10


一、选择题
1.
1 + cos 4 等于 2




π



C. sin 2 D. ? sin 2 33 5 2.已知 α ∈ (0, ), β ∈ ( ,π ) ,且 sin(α + β ) = , cos β = ? ,则 sin α 的值等于 ( ) 2 2 65 13 3 4 13 36 B. C. D. A. 5 5 65 65 2 π 1 π 3.已知 tan(α + β ) = , tan( β ? ) = ,则 tan(α + ) 等于 ( ) 5 4 4 4 3 13 3 13 A. B. C. D. 18 18 22 22 A. cos 2
π

B. ? cos 2

4.下列式子中不正确的是 A. cos 40 +
1 2 3 sin 40 = cos 20 2



) B. 1 ? tan40 = tan5
1 + tan40

C. tan 20 + cot 20 = 2 csc 40 5.已知 tan α = ? ,则 sin 2α 的值等于 A.
3 5 3 5 1 2

D. cot 20 = ( ) C.
θ
2 4 5

sin 40 1 + cos 40

B. ?

3 5

D. ?

4 5

6.已知 sin θ = ? ,且 θ 是第三象限角,则 tan 的值是 A. ?3
1 B. ? 3

C. ?3 或 ?

1 3

D. 3 或

1 3

二、填空题
7.求值: sin 15 ? sin 30 ? sin 45 ? sin 60 ? sin 75 = .
3 4 8.已知 sin α = ? , cosα = ,则角 2α 是第 象限角. 5 5 1 1 1 9.已知 α 、 β 、 γ 均为锐角,且 tan α = , tan β = , tan γ = ,则 α + β + γ = 2 5 8

.

10.求值: (tan 5 ? cot 5 ) ?

cos 20 ? 1 cos 70

=

.
π
12 5π . 12

三、解答题
11.求值: (1) cos ? cos
9

π

2π 4π ? cos ; 9 9

(2) sin

? cos

12.已知 tan α = 3 ,求 2 sin 2 α ? 5 cos 2α 的值. 13.求证: (1)

1 + sin 2α 1 1 3 1 1 = tan α + ; (2) sin 4 α = ? cos 2α + cos 4α ; 1 + sin 2α + cos 2α 2 2 8 2 8 α+β α?β 2 (3) (1 ? sin α )(1 ? sin β ) = (sin ? cos ) . 2 2 1 3 14. (1)已知 sin α + cos β = , cosα + sin β = , 求 sin(α + β ); 2 4

(2)已知 sin(α + β ) =

5 2 2 tan α , sin(α ? β ) = ,求 . 8 4 tan β

答案与提示 [答案]
一、1.B 二、7.
6 32 1 8

2. A 8.四 (2)
2? 3 4 7 (2) 3

3.C 9.
π
4

4.D 10.2 12.
29 5

5.D

6.A

三、11. (1) , 14. (1)
19 , 32

13.略

[提示]
一、1.
1 2 1 + cos 4 π = cos 2 ,∵ < 2 < π ,∴ cos 2 = ? cos 2. 2 2 3 1 ? tan 40 sin 40 = cos(60 ? 40 ) = cos 20 , = tan(45 ? 40 ) = tan 5 , 2 1 + tan 40 1 = 2 sin 40 2 sin 20 ? cos 20 = tan 20
tan 20 + cot 20 =

4. cos 40 + +
cos 20 sin 20

sin 20 cos 20

, = sin 40 1 + cos 40 2 cos 2 20 1 2 × (? ) 2 sin α ? cosα 2 tan α 2 = ? 4. = = 5. sin 2α = 2 5 cos α + sin 2 α 1 + tan 2 α 1 + (? 1 ) 2 2

=

sin 20 ? cos 20

3 4 6. ∵ sin θ = ? ,θ 是第三象限角, ∴ cosθ = ? . 5 5

tan

θ
2

=

sin cos

θ θ
2 = 2

1 ? cosθ = = θ θ sin θ 2 sin ? cos 2 2 2

2 sin 2

θ

4 1 ? (? ) 5 = ?3. 3 ? 5

3 4 4 二、8. sin 2α = 2 ? ( ? ) ? < 0, cos 2α = 2 ? ( ) 2 ? 1 > 0. 5 5 5 1 1 7 1 + + 2 5 = 7 , tan(α + β + γ ) = 9 8 = 65 = 1. 9. tan(α + β ) = 1 1 9 7 1 65 1? ? 1? ? 2 5 9 8 π 3π α + β + γ ∈ (0, ),∴ α + β + γ = . 4 4



π 1 1 1 < 1, < 1, < 1,∴ α 、 β 、 γ ∈ (0, ). 2 5 8 4

10. (tan 5 ? cot 5 ) ?

cos 20 ? 1 cos 70

=(

sin 5 cos 5

?

cos 5 sin 5

)?

? 2 sin 2 10
sin 20

=

cos 2 5 ? sin 2 5 sin 5 ? cos 5

?

2 sin 2 10 2 sin 10 ? cos10

=

cos10 ? sin 10 = 2. 1 sin 10 ? cos10 2

2π 4π 三、11. (1) cos ? cos ? cos = 9 9 9
1 ? cos 2

π

8 sin

π
9

? cos

π

2π 4π 8π ? cos sin 9 9 = 9 = 1. π π 8 8 sin 8 sin 9 9 9 ? cos

5π π (2) sin ? cos = sin 2 12 = 12 12

π

π

6 = 2? 3. 4

12. 2 sin 2 α ? 5 cos 2α = 2 sin 2 α ? 5(cos2 α ? sin 2 α ) =

7 sin 2 α ? 5 cos 2 α sin α + cos α
2 2

=

7 tan 2 α ? 5 tan α + 1
2

=

7 × 32 ? 5 3 +1
2

=

29 . 5

1 + sin 2α 1 + sin 2α (sin α + cosα ) 2 sin α + cosα 1 1 13. (1) = = = = tan α + . 2 1 + sin 2α + cos 2α 2 cos α + sin 2α 2 cosα (cosα + sin α ) 2 cosα 2 2 1 ? cos 2α 2 1 1 1 1 1 1 1 + cos 4α 3 1 1 (2) sin 4 α = ( ) = ? cos 2α + cos2 2α = ? cos 2α + ? = ? cos 2α + ? cos 4α . 2 4 2 4 4 2 4 2 8 2 8

? cos ) 2 ? (sin ? cos ) 2 = (sin sin + cos cos ? sin cos ? cos sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α?β α+β 2 α+β α ?β 2 = (cos ? sin ? cos ) = (sin ) . 2 2 2 2 1 3 14. (1) sin α + cos β = , ① cosα + sin β = , ② 2 4 13 19 1 9 2 2 ① +② : 2 + 2 sin α ? cos β + 2 cosα ? sin β = + , 2 sin(α + β ) = ? 2, sin(α + β ) = ? . 16 32 4 16

(3) (1 ? sin α )(1 ? sin β ) = (sin

α

α

β

β

α

β

α

β

α

β

α

β

(2) sin α ? cos β + cosα ? sin β = ①+② : sin α ? cos β = , 16 2 ③ ④ :
tan α 7 = . tan β 3 7 2

5 2 , 8

① ①-② 2

sin α ? cos β ? cosα ? sin β =

2 , 4

② ④



: cosα ? sin β =

3 2 , 16


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