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复习 椭圆的简单几何性质


2.1.2椭圆的简 单几何性质
高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程
1

知识目标:掌握椭圆的几何性质,掌握求椭圆性 质的一般方法与步骤。 ? 能力目标:培养分析、抽象、概括等思维能力; 加强数形结合、化归转化等数学思想的培养。 ? 情感目标:培养合作交流、独立思考等良好的个 性品质;以及勇于批判、敢于创新的科学精神。 ? 教学重点:椭圆性质的研究基本方法与步骤 。 ? 教学难点:椭圆性质的合理应用。
?

2

复习:
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

3

二、椭圆
x 1、范围: 2 ? 1, a -a≤x≤a,
2

简单的几何性质
y2 ? 1得: 2 b -b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2 A1

b F1 c

a F2

A2

o:
B1

4

椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

X

5

2、对称性:
从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于原点成中 y 心对称。
B2

坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心, 叫椭圆的中心。

A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

6

3、椭圆的顶点(截距) 2 2 x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b
令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? *顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。
B2 (0,b) A1

y

b

a F2

*长轴、短轴:线段A1A2、 (-a,0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

o c
B1 (0,-b)

A2 (a,0)

7

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围:0<e<1

4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)

[2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆

思考:当e=0时,曲线是什么?当e=1时曲 线又是 什么? c a ?b b [3]e与a,b的关系: e ? ? ? 1? a a a
2 2 2 2 2

8

问:对于椭圆C1 : 9 x ? y ? 36与椭圆C : ?
2 2

C2 。 更接近于圆的是?????????

x2 2 16

y2 12

? 2,

9

标准方程 范围
对称性

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

顶点坐标
焦点坐标 半轴长

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

离心率
a、b、c的关 系

c e ? a

a2=b2+c2

同前
10

题型一:利用椭圆方程,研究其几何性质

例1.已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是: 10 。短轴长是:
焦距是: 8 焦点坐标是: (0, ?4) 外切矩形的面积等于: 。 离心率等于:

6
4 5




(?5, 0), (0,。 ?3) 。顶点坐标是:
60
2

x y ? ?1 解题的关键: 25 9 1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b
2、确定焦点的位置和长轴的位置
11



2

练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率。
(1)x2+9y2=81

(2) 25x2+9y2=225 (4) 4x2+5y2=1
x2 y 2 (2) ? ?1 9 25
x2 y2 (4) ? ?1 1 1 4 5
12

(3) 16x2+y2=25
x2 y 2 (1) ? ?1 81 9
x2 y 2 (3) ? ?1 25 25 16

练习:已知椭圆 x2 ? (m ? 3) y 2 ? m(m ? 0) 的离心率
e?

标、顶点坐标。

3 , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2
m m(m ? 2) 2 a ? m, b ? ,c ? m?3 m?3
2 2

x2 y2 椭圆: ? ?1 m m m?3
m?2 3 e ? ? m?3 4
2

?m ? 1

?长轴长 ? 2a ? 2

3 , 0) ?短轴长 ? 2b ? 1 ? 焦点坐标( ? 2 1 ? 顶点坐标( ? 1, 0), (0, ? ) 2

13

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解: ⑴方法一: 设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 将点的坐标方程,求出m=1/9,n=1/4。
x2 y 2 ? 所求椭圆方程为: ? ?1 9 4 注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤:

⑴定位; ⑵定量

14

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解:(1)方法二:利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的 交点就是椭圆的顶点, 于是焦点在x轴上,且点P、Q分别是 椭圆长轴与短轴的一个端点, x2 y 2 ? ?1 故a=3,b=2,所以椭圆的标准方程为 9 4 注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量
15

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

c 3 解(2): 2a ? 20, e ? ? a 5

? a ? 10, c ? 6

? b ? 8.

x2 y 2 y 2 x2 ? 椭圆方程为: ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64

注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量
16

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解:(3)一焦点将长轴分成2:1的两部分 ? (a ? c) : (a ? c) ? 2 :1 ? a ? 3c ? b2 ? 8c 2
x2 y2 x2 y2 ? 椭圆方程可设为: 2 ? 2 ? 1或 2 ? 2 ? 1 9c 8c 8c 9c
2 2 2 2 ( ? 3 2) 4 ( ? 3 2) 4 椭圆过P ?3 2, 4 , ? ? 2 ? 1或 ? 2 ?1 2 2 9c 8c 8c 9c 145 ? c 2 ? 4或c 2 ? x2 y2 y2 x2 ? 1或 ? ?1 36 ? 椭圆方程为: ? 145 290 36 32 17 4 9

?

?

练习:已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴 上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P(3, 0),求椭圆的方程。
2a ? 3 ? 2b a ? 3b

? a ? 3, b ? 1

或b ? 3,a ? 9

2 2 x2 x y 2 ? y ? 1或 ? ?1 9 9 81

分类讨论的数学思想
18

题型三:椭圆的离心率问题
x2 y 2 例3:(1)椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点

F1 (?c,0),

A(?a, 0), B(0, b) 是两个顶点,如果到F1直线AB的 b 1 距 离为 ,则椭圆的离心率e= . 7 2 解 : 直线AB方程为: bx ? ay ? ab ? 0 ?bc ? ab b 2 2 2 b ? a ? c d F1 ? AB ? ? . 2 2 7 b ?a 2 2 2 2 2 ? 5 a ? 14 ac ? 8 c ?0 ?7(a ? c) ? 2a ? c ? a ? 2c或5a ? 4c. ? e ? c ? 1 . a 2

19

题型三:椭圆的离心率问题
x2 y 2 例3:(2)设M为椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1、F2

为椭圆的焦点,

如果 ?MF1F2 ? 75 , ?MF2 F1 ? 15,求椭圆的离心率。

解: ?MF1F2 ? 75 , ?MF2 F1 ? 15 , ??F1MF2 ? 900
MF1 MF2 F1 F2 由正弦定理: ? ? sin15 sin 75 sin 90 MF1 ? MF2 F1 F2 2a 2c ? ? ? ? sin 75 ? sin15 sin 90 sin 75 ? sin15 sin 90

c sin 90 3 ?e ? ? ? a sin 75 ? sin15 3

20

当堂检测
xOy

? 答案:

21

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性 质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中, 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
22


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