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(学生版) 函数概念与基本初等函数学案(全套)


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第 1 课时

函数及其表示

一、映射 1.映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 元素,在 集合 B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射, 记作 . 2.象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做 象, 叫做原象。 二、函数 1.定义:设 A、B 是 ,f:A→B 是从 A 到 B 的一个映射,则映射 f:A→B 叫做 A 到 B 的 ,记作 . 2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才 能称为同一函数。 3.函数的表示法有 、 、 。 例 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). x A. y ? 1, y ? B. y ? x ? 1 x ? 1, y ? x2 ? 1 x C. y ? x, y ? 3 x3 解: D. y ?| x |, y ? ( x )2

变式训练 1:下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是 A.y= 解:
x x
2


x

) D.y= 2lo g2 x

x

)

2

例 2.给出下列两个条件: (1) f( x +1)=x+2 x 试分别求出 f(x)的解析式 解:

为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.

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变式训练 2:(1)已知 f( ? 1 )=lgx,求 f(x); (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f( 解:
1 )=3x,求 f(x) x

2 x

例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M,交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写出函数的定义 域 解:

? ?x 2 , ? ?1, 变式训练 3:已知函数 f(x)= ? 1 ?? , ? x
解:

x ? 0, x ? 0, x ? 0.

(1)画出函数的图象;(2)求 f(1),f(-1),f ? f (?1)? 的值.

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第 2 课时

函数的定义域和值域

一、定义域: 1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 2.常见的三种题型确定定义域: ① 已知函数的解析式,就是 . ② 复合函数 f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数 g(x)的 域是外函数 f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域: 1.函数 y=f (x)中,与自变量 x 的值 的集合. 2. 常见函数的值域求法, 就是优先考虑 , 取决于 , 常用的方法有: ①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧ 有界性法;⑨换元法(又分为 法和 法) 例如:① 形如 y= 或 用 等. 例 1. 求下列函数的定义域: (1)y= 解:
( x ? 1)0 | x | ?x
1 2? x
2

,可采用
2

法;② y= 2 x ? 1 ( x ? ? 2 ) ,可采用
3x ? 2 3



法;③ y=a[f (x)] +bf (x)+c,可采用 法;⑤ y=x- 1 ? x 2 ,可采用

法;④ y=x- 1 ? x ,可采
2 ? cos x

法;⑥ y= sin x 可采用



(2)y=

1
3

x2 ? 3

? 5 ? x2 ;

x ? 1· x ? 1

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变式训练 1:求下列函数的定义域: (1)y= 解:
lg(2 ? x) 12 ? x ? x 2

+(x-1) ;

0

(2)y=

x2 0 +(5x-4) ; lg(4 x ? 3)

(3)y= 25 ? x

2

例 2. 设函数 y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域 (1)y=f(3x); (3)y=f( x ? ) ? f ( x ? ) 解:
1 3 1 3

(2)y=f(

1 x

(4)y=f(x+a)+f(x-

变式训练 2: 若函数 f(x)的定义域是 [0, 1] , 则 f(x+a)·f(x-a) (0<a< ) 的定义域是 ( A. ? 解: [a,1-a] [-a,1+a] D.[0,1]

1 2



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例 3. 求下列函数的值域: (1)y= 解:
x2 ? x ; x2 ? x ? 1

(2)y=x- 1 ? 2 x

(3)y=

ex ?1 ex ?1

变式训练 3:求下列函数的值域: (1)y= 解:
1? x 2x ? 5

(2)y=|x| 1 ? x

2

例 4.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a、b 的值 解: 变式训练 4:已知函数 f(x)=x -4ax+2a+6 (x∈ (1)求函数的值域为[0,+∞)时的 a 的值; (2)若函数的值均为非负值,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域 解:
2

1 2

2

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第 3 课时

函数的单调性

一、单调性 1.定义:如果函数 y=f (x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、、 x2,当 x1、<x2 时,①都有 ,则称 f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数 的一个 ;②都有 ,则称 f (x)在这个区间上是减函数,而这个区 间称函数的一个 . 若函数 f(x)在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间,则 f(x)称为 . 2.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:① ;② ;③ . (2) 导数法, 若函数 y=f (x)在定义域内的某个区间上可导, ①若 , 则 f (x) 在这个区间上是增函数;②若 ,则 f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1.若 f (x), g(x)均为增(减)函数,则 f (x)+g(x) 函数; 2.若 f (x)为增(减)函数,则-f (x)为 ; 3.互为反函数的两个函数有 的单调性; 4.复合函数 y=f [g(x)]是定义在 M 上的函数,若 f (x)与 g(x)的单调相同,则 f [g(x)] 为 ,若 f (x), g(x)的单调性相反,则 f [g(x)]为 . 5.奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 . 例 1. 已知函数 f(x)=a + 证明
x

x?2 (a>1),证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x ?1

变式训练 1:讨论函数 f(x)=x+ 解:

a (a>0)的单调性. x

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例 2. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.
2

解:

变式训练 2:求函数 y= log (4x-x )的单调区间.
1 2

2

解:

例 3. (1)y=4- 3 ? 2 x ? x ;
2

(2)y=x+

4 ; x

(3)y= x ? 1 ? (2 ? x) ? 4 .
2 2

解:

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变式训练 3:在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每 2 月最多生产 100 台报警系统装置,生产 x(x>0)台的收入函数为 R(x)=3 000x-20x (单位:元), 其成本函数为 C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差. (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x (2)利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x 解:

例 4.(2009·广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( 且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1) (2)判断 f(x (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:

x1 ) =f(x1)-f(x2), x2

变式训练 4:函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 2 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3. 解:

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第 4 课时

函数的奇偶性

1.奇偶性: ① 定义:如果对于函数 f (x)定义域内的任意 x 都有 ,则称 f (x)为奇函数; 若 ,则称 f (x)为偶函数. 如果函数 f (x)不具有上述性质,则 f (x)不具 有 . 如果函数同时具有上述两条性质,则 f (x) . ② 简单性质: 1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称;一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数 f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2.与函数周期有关的结论: ①已知条件中如果出现 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、或 f ( x ? a) f ( x) ? m( a 、 m 均为非零常 数, a ? 0 ),都可以得出 f ( x) 的周期为 ;

② y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称或 y ? f ( x) 的图象关于直线

x ? a, x ? b 轴对称,均可以得到 f ( x) 周期

例 1.

判断下列函数的奇偶性.
2 2

(1)f(x)= x ? 1 ? 1 ? x ; (2)f(x)=log2(x+ x ? 1 ) (x∈R);
2

(3)f(x)=lg|x-2|. 解:

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变式训练 1: (1)f(x)=(x-2) (2)f(x)=
lg(1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2
?x ? 2 ?? x ? 2 ? ( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 ) .

2? x 2? x

(3)f(x)= ? ?0 解:

例 2 已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x) (2)如果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值.
+

1 2

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变式训练 2:已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解:

例 3 已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x) . (1)求证:f(x) (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 009]上的所有 x 的 个数.
1 2 1 2

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变式训练 3:已知函数 f(x)=x +|x-a|+1,a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性; (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 解:
1 2 1 2

2

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第 5 课时
1.根式:
n (1) 定义:若 x ? a ,则 x 称为 a 的 n 次方根

指数函数

① 当 n 为奇数时, a的n 次方根记作__________; ② 当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ________(a>0). (2) 性质:
n n ① ( a) ? a ;

② 当 n 为奇数时, n a n ? a ;
a(a ? 0) ③ 当 n 为偶数时, n a n ? _______= ? ? ? ? a(a ? 0)

2.指数: (1) 规定: ① a0= ② a-p= ③ a n ? n a m (a ? 0, m (2) 运算性质:
m

(a≠0); ; .

r s r ?s ① a ? a ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q)
r s r ?s ② (a ) ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q)

r r r ? 0, r ? ③ (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b(a>0, r、 s ? Q)

注:上述性质对 r、 s ? R 均适用. 3.指数函数: ① 定义:函数 称为指数函数,1) 函数的定义域为 ;2) 函数的值 域为 ;3) 当________时函数为减函数,当_______时为增函数. ② 函数图像: 1) 过点 ,图象在 ;2) 指数函数以 为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图 象向 无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向
x ?x 无限接近 x 轴);3)函数 y ? a 与y ? a 的图

象关于 对称. ③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1
a ?1

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① x ? 0时 ② x ? 0时 ③ x ? 0时

① x ? 0时 ② x ? 0时 ③ x ? 0时

例 1. 已知 a= ,b=9.求: 解:

1 9

(1) a 2 a ?3 ?

3

7

3

a ?8 ? a15 ;

3

(2)

a ?1 ? b ?1 . (ab) ?1

变式训练 1:化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)
( a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
6 2 ? 1 1 1

a ? b5

;

2 1 1 ? 5 13 ?2 ?3 2 3 2 ?1 (2) a ? b ? (?3a b ) ? (4a ? b ) . 6

解:

例 2. 函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 ( x x x x A.f(b )≤f(c ) B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同 解:

2

x

x



变式训练 2:已知实数 a、b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<
a b

1 2

1 3

a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 解:

) D.4 个

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例 3. (1)f(x)=3 解:
x 2 ? 5x ? 4

;

2)g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 .
x x

1 4

1 2

变式训练 3:求下列函数的单调递增区间: (1)y=( ) 解:

1 2

6? x ? 2 x 2

;(2)y=2

x2 ?x?6

.

例 4.设 a>0,f(x)=

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(1)求 a 的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 解:

变式训练 4: 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2, 且当 x∈(0,1)时, f(x)= (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数. 解:

2x . 4 ?1
x

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第 6 课时
1.对数: (1) 定义:如果 a b ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么称

对数函数



,记作

,其中

a 称为对数的底,N 称为真数.
① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 记作___________. ② 以无理数 e(e ? 2.71828?) 为底的对数称为自然对数, log e N 记作_________. (2) 基本性质: ① 真数 N 为 (负数和零无对数);② log a 1 ? 0
log a N

;③ log a a ? 1



④ 对数恒等式: a . ?N (3) 运算性质: ① loga(MN)=___________________________; ② loga M =____________________________;
N
n

③ logaM = ④ 换底公式:logaN=
n ⑤ log a b ? m log a b.
m

(n∈R). (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0) . ;2) 函数

n

2.对数函数: ① 定义:函数 称为对数函数,1) 函数的定义域为( 的值域为 ;3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数; 4) 函数 y ? log a x 与函数
y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数.

② 1) 图象经过点( ), 图象在 ; 2) 对数函数以 a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 时,图象向下无限接近 y 轴); 4) 函数 y=logax 与 的图象关于 x 轴对称. ③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1
a ?1

为渐近线(当 0 ? a ? 1

① x ? 1时 ② x ? 1时 ③ 0 ? x ? 1时

① x ? 1时 ② x ? 1时 ③ 0 ? x ? 1时

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例1

计算:(1) log

2? 3

(2 ? 3 )

2 (2)2(lg 2 ) +lg 2 ·lg5+ (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ;
2

(3) lg 解:

1 2

32 4 - lg 8 +lg 245 . 49 3

变式训练 1:化简求值. (1)log2
1 7 +log212- log242-1; 2 48
2

(2)(lg2) +lg2·lg50+lg25; (3)(log32+log92)·(log43+log83). 解:

例2

比较下列各组数的大小.
2 3 6 5

(1)log3 与 log5 ;
1 2 1 2

2)log1.10.7 与 log1.20.7;
b a c
1 2

(3)已知 log b<log a<log c,比较 2 ,2 ,2 的大小关系. 解:

变式训练 2:已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga 1 , log b, log 1 的大小关系是
b
a b

b





A.loga 1 ? log b ? log 1
b
a b

b

B. log b ? log
a

a

1 1 ? log b b b

C. log b ? log
a

b

1 1 ? log a b b

D. log

b

1 1 ? log a ? log a b b b

解:

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例 3 已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立, 试求 a 的取值范围. 解:

变式训练 3:已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞, 的取值范围. 解:

2

1- 3 ]上是单调递减函数.求实数 a

例 4 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过 A、B 作 y 轴的平行与 函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 解:

变式训练 4:已知函数 f(x)=log2 (1)求 f(x)的定义域; 解:

x ?1 +log2(x-1)+log2(p-x). x ?1

(2)求 f(x)的值域.

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第 7 课时

函数的图象

一、基本函数图象特征(作出草图) 1.一次函数为 ; 2.二次函数为 ; 3.反比例函数为 ; 4.指数函数为 ,对数函数为 . 二、函数图象变换 1.平移变换:①水平变换:y=f(x)→y=f(x-a) (a>0) y=f(x)→y=f(x+a) (a>0) ②竖直变换:y=f(x)→y=f(x)+b (b>0) y=f(x)→y=f(x)-b (b>0) 2.对称变换: ① y=f(-x)与 y=f(x)关于 对称 ② y=-f(x)与 y=f(x)关于 对称 ③ y=-f(-x)与 y=f(x)关于 对称 -1 ④ y=f (x)与 y=f(x)关于 对称 ⑤ y=|f(x)|的图象是将 y=f(x)图象的 ⑥ y=f(|x|)的图象是将 y=f(x)图象的 3.伸缩变换: ① y=Af (x) (A>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . ② y=f (ax) (a>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . 4. 若对于定义域内的任意 x, 若 f (a-x)=f (a+x) (或 f (x)=f (2a-x)), 则 f (x)关于 称,若 f (a-x)+f (a+x)=2b (或 f (x)+f (2a-x)=2b),则 f (x)关于 对称. 例1 作出下列函数的图象. (1)y= (lgx+|lgx|); (2)y= 解:
1 2 2x ?1 ; x ?1



(3)y= ( )

1 2

|x|

.

变式训练 1:作出下列各个函数的图象:(1)y=2-2 ; (2)y=|log (1-x)|;
1 2

x

(3)y= 解:

2x ?1 . x ?1

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例2

函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是 (



解:

变式训练 2: 设 a>1,实数 x,y 满足|x|-loga

1 =0,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 ( y

)

解:

例 3 设函数 f(x)=x -2|x|-1 (-3≤x≤3). (1)证明:f(x)是偶函数; (2)画出函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x) (4)求函数的值域. 解:

2

变式训练 3:当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,则 a 的取值范围为 解:

2

.

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第 8 课时

幂函数

1. 幂函数的概念: 一般地, 我们把形如 的函数称为幂函数, 其中 常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点 ; (2) 当 ? ? 0 时, 幂函数在 [0, ??) 上 (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 3.幂函数的性质: (1)都过点 ; (2)任何幂函数都不过 象限; (3)当 ? ? 0 时,幂函数的图象过

是自变量,



; 当 ? ? 0 时, 幂函数在 (0, ??) 上 ;当 ? ? ?1,1, 3, 时,幂函数是

; .

1 3



4.幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧,按 幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布; (2) 幂指数的分母为偶数时, 图象只在 象限; 幂指数的分子为偶数时, 图象在第一、 第二象限关于 轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限 关于 对称. 例 1.写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性: (1) y ? x
3

(2) y ? x 2
2 ?2
1 2

1

(3) y ? x
? 1 2

?2

(4) y ? x ? x 解:

(5) y ? x ? x

(6) f ( x) ? x ? 3(? x)

1 2

1 4

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变式训练 1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性: (1) y ? x
5

(2) y ? x

?

4 3

(3) y ? x 4 (4) y ? x

5

?

3 5

(5) y ? x

?

1 2

分析:要求幂函数的定义域和值域,可先将分数指数式化为根式. 解:

例 2 比较大小: (1) 1.5 ,1.7
?1
1 2 1 2

(2) (?1.2) ,(?1.25)
3 ?1 ?2

3

(3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5 解:

变式训练 2:将下列各组数用小于号从小到大排列:
2 2 2

(1) 2.5 3 ,(?1.4) 3 ,(?3) 3 (2) 0.16 4 ,0.5 2 ,6.258 (3) ( ) 3 , ( ) 2 , ( ) 3 ,33 , ( ) 3 解:
? 3 ? 3 3

2 3

?

1

2 5

1

5 3

?

1

1

3 2

2

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例 3 已知幂函数 y ? xm

2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,

求 m 的值. 分析:幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函 数为奇函数.结合 m ? Z ,便可逐步确定 m 的值. 解:

变式训练 3:证明幂函数 f ( x) ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数. 分析:直接根据函数单调性的定义来证明. 证明:

1

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第 9 课时

函数与方程

1.一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程 (以后还将学习一元二次不等式) 的关系一直是高中数学函数 这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二 次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解; 反之, 一元二次方程的解也 x 是对应的一元二次函数的图象与 轴的交点的横坐标. 2.函数与方程 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之,要求 方程 f ( x) ? g ( x) 的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标. 3.二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间 ( m, n ) ,则必有 f (m) ? f (n) ? 0 , 再取区间的中点 p ?

m?n ,再判断 f ( p) ? f (m) 的正负号,若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在区 2

间 (m, p) 中;若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在 ( p , n ) 中;若 f ( p) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按 照以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求),即 可得一个近似值. 例 1.(1)若 f ( x ) ?

x ?1 ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( x
C.2 D.-2

)

1 1 B.- 2 2 解:
A.

(2)设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数 根,则这 6 个实根的和为( A.0 B.9 解: ) C.12 D.18

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(3)已知

5b ? c ? 1 ,( a 、 b 、 c ∈R),则有( 5a

) D. b 2 ? 4ac

A. b 2 ? 4ac 解:

B. b 2 ? 4ac

C. b 2 ? 4ac

(4)关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 实数 m 的取值范围 解:

x 、 x 满足 x1 ? 3 ? x2 ,则
1 2

2

(5)若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值 范围是 解: 变式训练 1: 当 0 ? x ? 1时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围 是( A. a ? 解: )

1 2

B. a ? 1

C. a ? 或a ? 1

1 2

D.

1 ? a ?1 2

log 1 x ? 2 ? x , 例 2.设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log 2 ( x ? 2) ? ? x ,
2

2 ? x ? 2 的实数根,试比较 x1 , x2 , x3 的大小 .
x

解: 变 式 训 练 2 : 已 知 函 数 y ? f ( x) ( x ? R) 满 足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1), 且 x ∈ [ - 1,1] 时 , f ( x) ? | x |,则 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是( ) A.3 解: B.4 C.5 D.6

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例 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , 且方程 f ( x ) ? 2 x 有等根. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n ( m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n], 如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由. 解:

变式训练 3:已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ( (a ? 0, x ? 0) . a x

(1)求证: f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x ) ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围. 解:

例 4.若函数 f ( x) ? 2 A. 0 ? m ? 1 解:.

?| x ?1 |

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是(
C. m ? 1或m ? 0 D. m ? 1或m ? 0



B. 0 ? m ? 1

变式训练 4: 对于函数 f ( x) , 若存在 x 0 ∈R,使 f ( x0 )=x0 成立, 则称 x 0 为 f ( x) 的不动点. 已
2 知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0)

(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; 解:

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第 10 课时

函数模型及其应用

1.抽象概括:研究实际问题中量,确定变量之间的主、被动关系,并用 x、y 分别表示问题 中的变量; 2.建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都 是函数的解析式; 3.求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识 求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是: 实际问题 抽象概括 函数模型

运用函数的性质 实际问题的 解 还原说 明 函数模型的 解

例 1. 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB 上分别截 取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出最大面积. 解:

变式训练 1:某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个, 现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售 量就减少 10 个,问他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大 值. 解:

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例 2. 据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴 的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由. 解:

变式训练 2:某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台, 需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收 入函数为 R(x)=5xx2 (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2

(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本? 解:

例 3. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用 水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户 该月用水量分别为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解:

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变式训练 3:1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日”,提出了“人类对生育的选择将决定 世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿,若将人口平均增长率控制在 1%以内,我国人口 在 2008 年底至多有多少亿? 以下数据供计算时使用: 数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数 lgN 数N 对数 lgN 解: 0.004 3 3.000 0.477 1 0.006 5 5.000 0.699 0 0.007 3 12.48 1.096 2 0.117 3 13.11 1.117 6 0.301 0 13.78 1.139 2

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