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(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三角函数之三角函数的综合问题1新人教A版【含答案】

四、三角函数的综合问题: 典型例题: 例 1.若函数 f ( x) ? sin A. ? 2 x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? =【 3 2? 3? 5? B. C. D. 3 2 3 】 【答案】C。 【考点】偶函数的性质,和的三角函数公式。 【解析】∵函数 f ( x) ? sin 展开,得 sin ? ? 即 ? sin x ?? ?x ? ? x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,即 sin = sin 。 3 3 3 ? x ? x ? ? x? ? x? ? ? cos ? cos ? ? ? sin = sin cos ? cos sin , 3 3 3 3 3 3 ? 3? ? 3? x ? x ? x ? x ? x ? cos ? cos sin = sin cos ? cos sin ,即 2sin cos =0 。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? 3? ∴ cos =0 ,解得 =2k? ? ? ? =6k? ? 。 3 3 2 2 3? 又∵ ? ? [0, 2? ] ,∴ ? = 。故选 C。 2 例 2.如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? 【 D C 】 E A B A、 3 10 10 B、 10 10 C、 5 10 D、 5 15 【答案】B。 【考点】余弦定理,同角函数关系式。 【解析】∵ AE ? 1 ,正方形 ABCD 的边长为 1 , ∴ ED ? AE 2 +AD2 ? 2, EC ? AE 2 +AB2 ? 5,CD ? 1 。 ED 2 +EC 2 ? CD 2 3 10 ? 。 2ED ? EC 10 ∴ cos ?CED ? ∵ ?CDE 为钝角,∴ ?CED 为锐角。 1 ∴ sin ?CED ? 1 ? cos 2 ?CED ? 10 。故选 B。 10 】 例 3.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 8b =5c , C =2 B ,则 cos C =【 (A) 7 25 (B) ? 7 25 (C) ? 7 25 (D) 24 25 【答案】A 。 【考点】正弦定理,二倍角的三角函数公式。 【分析】∵ 8b =5c ,由正弦定理得 8sin B =5sin C 。 又∵ C =2 B ,∴ 8sin B =5sin 2 B 。∴ 8sin B =10sin B cos B , ∵ sin B ? 0 ,∴ cos B = 例 4.函数 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? A. 4 7 2 , cos C = cos 2 B=2cos B ? 1 = 。故选 A 。 5 25 】 D. ? ? ? 6 ) 的值域为【 3? ? ? ?2, 2? B. ? ? ? 3, C. ? ?1, 1? ? ? 3 3? , ? 2 2 ? 【答案】B。 【考点】三角恒等变换。 【解析】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? ) ???1,1? ,求得 f ( x ) 的值 域: ? 3 ? ? 3 1 3 3 1 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? ) ? sinx ? cosx ? sinx ? sinx ? cosx ? 3 ? sin x ? cos x ? ? 2 ? 6 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 ? cos sinx ? sin cosx ? ? 3sin ? x ? ? 6 6 6? ? ? ? ∵ sin( x ? ? 6 ) ? ? ?1,1? ,∴ 3sin ? x ? ? ? ?? ? ? ? ? 3, 6? ? ?。 3? ∴函数 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? ? 6 ) 的值域为 ? ? ? 3, 3? ? 。故选 B。 ▲ 。 例 5.当函数 y=sin x ? 3 cos x ? 0 ? x < 2? ? 取得最大值时, x= 【答案】 ? 。 【考点】三角函数性质的运用。 5 6 【解析】求解值 域的问题,首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图 像得到最值点。 2 ?1 ? ? 3 ? ? ?? ? ? y =sin x ? 3 cos x=2 ? cos sin x ? sin cos x ? =2sin ? x ? ? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? =2 ? 3 3 3? ? ? ? ? ? ∵ 0 ? x < 2? ,∴ ? ? 3 ? x? ? 3 < 5? 。 3 ?? ? ∵ ?2 ? 2sin ? x ? ? ? 2 , 3? ? ∴当且仅当 x ? ? ? 3 = 2 即 x= 5? 时,函数取得最大值。 6 例 6.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? ,cos B ? 【答案】 3 5 5 , b ? 3, 则 c ? 13 ▲ 14 。 5 【考点】同角三角函数的基本关系式,两角和的三角公式,正弦定理的应用。 【分析】∵ cos A ? 3 4 12 5 ,∴ sin A ? 1 ? cos2 A = 。∵ cos B ? ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B = 。 5 5 13 13 56 ∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos Asin B ? 。 65 b sin C 14 由正弦定理得, c ? ? 。

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