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10.4排列组合问题的几种基本方法


2010年1月16日星期六
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1. 分组(堆)问题 分组( 分组( 问题的六个模型: 无序不等分; 分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分; 无序等分; 无序局部等分; ④有序不等分; ②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分; 有序等分; 有序局部等分.) ⑤有序等分;⑥有序局部等分 处理问题的原则: 处理问题的原则: ①若干个不同的元素"等分"为 m个堆,要将 若干个不同的元素"等分" 个堆 要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 选取出每一个堆的组合数的乘积除以 若干个不同的元素局部"等分" 个均等堆, ②若干个不同的元素局部"等分"有 m个均等堆 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 非均分堆问题, ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. 法原理作积 要明确堆的顺序时, ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列. 作元素个数作全排列
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1. 分组(堆)问题 分组( 有四项不同的工程, 例1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要 有四项不同的工程 要发包给三个工程队, 求每个工程队至少要得到一项工程. 求每个工程队至少要得到一项工程 共有多少种不同 的发包方式? 的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: 要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴先将四项工程分为三"堆",有 先将四项工程分为三"
2 1 C4 C2C11 =6 2 A2

种分法; 种分法;

⑵再将分好的三"堆"依次给三个工程队, 再将分好的三" 依次给三个工程队, 种给法. 有3!=6种给法 = 种给法 种不同的发包方式. ∴共有6×6=36种不同的发包方式 共有 × = 种不同的发包方式
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2.插空法: 插空法: 插空法 解决一些不相邻问题时,可以先排" 解决一些不相邻问题时,可以先排"一 元素然后插入"特殊"元素, 般"元素然后插入"特殊"元素,使问题得以 解决. 解决 ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
人排成一排.甲 乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 例2 . 7人排成一排 甲,乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 人排成一排 解:分两步进行: 分两步进行: 第1步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法 步 把除甲乙外的一般人排列:
5

插孔): 第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中 插孔 : 步 将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔

有A62 =30种插入法
∴ 共有120 × 30=3600种排法
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几个元素不能相邻 先排一般元素, 时,先排一般元素, 先排一般元素 再让特殊元素插孔. 再让特殊元素插孔
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3.捆绑法 捆绑法 相邻元素的排列,可以采用"局部到整体" 相邻元素的排列,可以采用"局部到整体"的 排法,即将相邻的元素局部排列当成"一个"元素, 排法,即将相邻的元素局部排列当成"一个"元素, 然后再进行整体排列. 然后再进行整体排列
人排成一排.甲 乙两人必须相邻,有多少种不的排法 有多少种不的排法? 例3 . 6人排成一排 甲,乙两人必须相邻 有多少种不的排法 人排成一排 解:(1)分两步进行: )分两步进行: 第一步,把甲乙排列 捆绑 捆绑): 第一步,把甲乙排列(捆绑 : ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2

有A2=2种捆法

第二步,甲乙两个人的捆看作一个元素与其它的排队: 第二步,甲乙两个人的捆看作一个元素与其它的排队:

∴ 共有2 × 120=240种排法
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有 A55= 120种 排 法

几个元素必须相邻时,先 几个元素必须相邻时 先 捆绑成一个元素, 捆绑成一个元素,再与 其它的进行排列. 其它的进行排列
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4.消序法 留空法) 消序法(留空法 消序法 留空法 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列, 顺序一定的排列问题 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再 消去这几个元素的顺序.或者 或者, 消去这几个元素的顺序 或者,先让其它元素选取位置 排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了 个人站成一排, 例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少 个人站成一排 种站法? 种站法? 5 种站法, 解法1: 个人依次站成一排, 解法 :将5个人依次站成一排,有 A5 种站法, 个人依次站成一排 2 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 A55 3 = 5 × 4 × 3 = A5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A2 2 解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出 个站好, 个位置选出3个站好 解法 :先让甲乙之外的三人从 个位置选出 个站好, 3 有 A5 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有 种站法 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 × 1 = A5
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4.消序法 留空法 消序法(留空法 消序法 留空法) 解: 如图所示 变式:如下图所示,有 变式:如下图所示 有5 B 竖构成的方格图,从 横8竖构成的方格图 从 竖构成的方格图 A到B只能上行或右行 到 只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 共有多少条不同的路线 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B ①②③ A 顺序一定的排列, ④顺序一定的排列, 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格: 排法 格
A 种排法. 种排法 其中必有四个↑和七个 组成! 和七个→组成 其中必有四个 和七个 组成 所以, 四个↑和七个 一个排序就对应一条路经, 和七个→一个排序就对应一条路经 所以 四个 和七个 一个排序就对应一条路经 5 4 C(511)+(81) = C11 条不同的路径 所以从A到 共有 所以从 到B共有 条不同的路径.
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4 7 A4 A7

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7

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5.剪截法(隔板法): 剪截法(隔板法): 剪截法 n个 相同小球放入 个盒子里,要求每个 个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里 要求每个 个盒子里 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 盒子里至少有一个小球的放法等价于 个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成 段. 个结点剪截成m段 串成一串从间隙里选 个结点剪截成 某校准备参加今年高中数学联赛,把 个选手 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛 把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班 每班至少一个 个教学班,每班至少一个 名额分配到高三年级的 名额,则不同的分配方案共有 则不同的分配方案共有___种. 名额 则不同的分配方案共有 种 问题等价于把16个相同小球放入 个盒子里, 个相同小球放入4个盒子里 解: 问题等价于把 个相同小球放入 个盒子里 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题 3 将16个小球串成一串,截为4段有 C15 = 455 个小球串成一串,截为 段有 个小球串成一串 种截断法,对应放到4个盒子里 个盒子里. 种截断法,对应放到 个盒子里 因此,不同的分配方案共有 因此,不同的分配方案共有455种 . 种
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5.剪截法: 剪截法: 剪截法 n个 相同小球放入 个盒子里,要求每个 个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里 要求每个 个盒子里 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 盒子里至少有一个小球的放法等价于 个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成 段. 个结点剪截成m段 串成一串从间隙里选 个结点剪截成 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把 个选 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛 把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班 每班的名额 个教学班,每班的名额 手名额分配到高三年级的 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有 则不同的分配方案共有___种. 不少于该班的序号数 则不同的分配方案共有 种 问题等价于先给2班 个 解: 问题等价于先给 班1个,3班2个,4班3个, 班 个 班 个 再把余下的10个相同小球放入 个盒子里,每个盒子 个相同小球放入4个盒子里 再把余下的 个相同小球放入 个盒子里 每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 至少有一个小球的放法种数问题 3 个小球串成一串, 将10个小球串成一串,截为 段有 C9 = 84 个小球串成一串 截为4段有 种截断法,对应放到4个盒子里 种截断法,对应放到 个盒子里. 个盒子里 因此,不同的分配方案共有84种 因此,不同的分配方案共有 种 .
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6.错位法: 错位法: 错位法 编号为1至 的 个小球放入编号为 个小球放入编号为1到 的 个盒 编号为 至n的n个小球放入编号为 到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球 每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 子里 每个盒子放一个小球 要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 这种排列称为错位排列 号都不同 这种排列称为错位排列 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为 时的错位数各为1,2,9,44. 特别当 时的错位数各为 例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为 至6的6个 编号为 至 的 个小球放入编号为1至 的 个 个小球放入编号为 盒子里,每个盒子放一个小球 其中恰有2个小球与盒 每个盒子放一个小球,其中恰有 盒子里 每个盒子放一个小球 其中恰有 个小球与盒 子的编号相同的放法有____种. 子的编号相同的放法有 种 2 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C6 = 15 其余4组球与盒子需错位排列有 种放法. 种,其余 组球与盒子需错位排列有 种放法 其余 组球与盒子需错位排列有9种放法 故所求方法有15× = 故所求方法有 ×9=135种. 种
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7.剔除法 剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数, 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一 种间接解题的方法. 种间接解题的方法
排列组合应用题往往和代数,三角,立体几何,平面 排列组合应用题往往和代数,三角,立体几何, 解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性, 解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解 答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍. 答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍

例7. 从集合 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 个元素分别作为直 中任取3个元素分别作为直 中任取 线方程Ax+By+C=0中的 ,B,C,所得的经过坐标 中的A, , , 线方程 中的 原点的直线有_________条. 原点的直线有 条 解:所有这样的直线共有
3 A7 = 210 条, 1 2 其中不过原点的直线有 A6 × A6 = 180 条,
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∴所得的经过坐标原点的直线有210-180=30条. 所得的经过坐标原点的直线有 = 条
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巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒, 将 个不同的邮筒, 则不同的投法 的种数是( 的种数是( B ) A. 3
4

B. 4

3

C. A

3 4

D. C

3 4

2.从黄瓜,白菜,油菜,扁豆 4 种蔬菜品种中选出 从黄瓜,白菜,油菜, 从黄瓜 3 种, 分别种在不同土质的三块地上, 分别种在不同土质的三块地上, 其中黄瓜必须种 不同的种植方法共有( 植,不同的种植方法共有( B ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种

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巩固练习
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 则不同的分配方案共有( 查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( A )
4 4 A. C12 C84 C 4 种 4 4 B.3 C12 C84 C 4 种

4 3 C. C12 C 84 A3 种

4 4 C12 C84 C 4 D. 种 3 A3

4. 5个人排成一排,其中甲,乙不相邻的排法种数是 个人排成一排,其中甲, 个人排成一排 (C ) A.6 B.12 C.72 D.144
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小结 ①分堆问题; 分堆问题; ②解决排列,组合问题的一些常用方法: 解决排列,组合问题的一些常用方法: 错位法,剪截法(隔板法),捆绑法, ),捆绑法 错位法,剪截法(隔板法),捆绑法, 剔除法,插孔法,消序法(留空法 留空法). 剔除法,插孔法,消序法(留空法).

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