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2012年上学期高一数学综合测试卷(十)及答案


高一上学期数学综合测试卷(十)
全卷满分 150 分。考试用时 150 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 U={x︱x 是小于 6 的正整数},A={1,2}, B ? (CU A) ={4},则 CU ( A ? B) =( )

A.{3,5} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,4} 2.设 A={x| 0 ? x ? 2 },B={y|1 ? y ? 2 },下列图形表示集合 A 到集合 B 的函数图形的是 ( )

A B 3.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( A.y=
x x
2

C ) C. y ? ln e x

D
log 2 x

B.y=( x )
1

2

D.y= 2

4.给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间
2

(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A. ①④ B. ①②
x

C. ②③

D.③④

5.由表格中的数据可以判定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个零点所在的区间 (k , k ? 1)(k ? N ) , 则 k 的值为( x ) -1 0.37 1 B.1 0 1 2 1 2.72 3 C.2 ) 2 7.39 4 D.3 3 20.09 5

ex
x?2

A.0

6.下列幂函数中,定义域为 R 且为偶函数的个数为( (1) y ? x A.1 个
?2

(2) y ? x B.2 个

(3)

y ? x3
1 3

1

(4) C.3 个

y ? x3
D.4 个

2

m p q 7. 设 m, n, p 均为正数,且 3 ? log 1 m , ( ) ? log 3 p , ( ) ? log 1 q ,则( 3
3

1 3



A.m>p>q

B. p>m>q

C. m>q>p

D. p>q>m

8.设 a<0,角α 的终边经过点 P(-3a,4a),那么 sinα +2cosα 的值等于: A.

2 5

B.-

2 5

C.

1 5

D.-

1 5

9.若 cos(π +α )=-

1 3 , π <α <2π ,则 sin(2π -α )等于: 2 2
B.

A.-

3 2

3 2

C.

1 2

D.±

3 2

10. 已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是: A.若α ,β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α ,β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ

第Ⅱ卷(非选择题
2

共 100 分)
log 1 x },则 M ? N ?
2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x| y ? .

12.不查表,化简: log 2
1 2 ? 1 2

7 1 ? log 2 12 ? log 2 42 为 48 2
3 2 ? 3 2

.

13. 已知 a ? a

? 3 ,则 a ? a

的值等于__________. . .

14. 函数 y ? sin 2 x 的定义域是

15. 若 f ( n) ? sin n? ,f (1) ? f (3) ? f (5) ? ?? ? f (101 = ) 6

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知全集 U=R, A ? {x | f ( x) ? ( x ?1)( x ? 2)} , B ? {x | log 2 ( x ? a) ? 1} . (1)若 a=1,求 (CU A) ? B . (2)若 (CU A) ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

3π sin(π -α )cos(2π ―α ).tan(―α + ) 2 17. 已知α 为第三象限角,且 f(α )= . cotα .sin(π +α ) (1)化简 f(α ); 3π 1 (2)若 cos(α - )= ,求 f(α )的值; 2 5 (3)若α =-1860°,求 f(α )的值.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b 为实数), x ? R , (1)若 f(x)有一个零点为-1,且函数 f ( x ) 的值域为 ? 0, ? ? ? ,求 f ( x ) 的解析式; ? (2)在(1)的条件下,当 x ? [?2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;

19.(12 分) 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线

x?

?
8

.

(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间;

20. (本题满分 13 分) 某公司生产一种产品每年需投入固定成本为 0.5 万元, 此外每生产 100 件这种产品还 需要增加投入 0.25 万元.经预测知,当售出这种产品 t 百件时,若 0 ? t ? 5 ,则销售所得 的收入为 5t ?

1 2 1 23 t 万元:若 t ? 5 ,则销售所得收入为 t ? 万元. 2 8 2

(1)若该公司的这种产品的年产量为 x 百件 ( x ? 0) , 请把该公司生产并销售这种产品所得 的年利润 y 表示为当年生产量 x 的函数; (2)当年产量为多少时,当年公司所获利润最大? (3)当年产量为多少时,当年公司不会亏本?(取 21.5625 为 4.64)

21.(本题满分 14 分)

已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? a

2x ? 1

是奇函数

(1)求 a 值; (2)判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值 范围; (4)设关于 x 的函数 f (4x ? b) ? f (?2x?1 ) 有零点,求实数 b 的取值范围;

数学试卷参考答案
一、 选择题:
题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 B 9 C 10 D

二、 填空题
11. (0,1] 12. ?

1 2

13.18

14. ? k? , k? ? ? ? ( k ? Z ) 15.2 ? ?

?

2?

三、解答题
16. (本题满分 12 分) 解:由已知得 A ? {x | x ? 1或x ? 2} , B ? {x | a ? x ? a ? 2}

?CU A ? {x |1 ? x ? 2}

……………………4 分

(1)当 a=时, B ? {x |1 ? x ? 3} , ?(CU A) ? B ? {x |1 ? x ? 2} ………………6 分 (2)若 (CU A) ? B ? ? ,则 a ? 2 或 a ? 2 ? 1 ,? a ? 2 或 a ? 1 . 即 a 的取值范围为 (??,1] ? [2, ??) .
2 6 1 17. (1)f(α )=-cosα . (2) f(α )= .(3) f(α )=- . 5 2

…………………12 分

18. (本题满分 12 分)

?a ? b ? 1 ? 0 ? 解:(1)由题意得: ? b ?? 2a ? ?1 ?
所以: f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 (2)由(1)得 g ( x) ? x ? (2 ? k ) x ? 1
2

?a ? 1 解得: ? ?b ? 2

…………………6 分

当 x ? ?? 2,2? 时, g (x) 是单调函数的充要条件是:

?

2?k 2?k ? 2或 ? ? ?2 2 2

解得: k ? 6或k ? ?2

…………………12 分

19.(本小题满分 12 分)

(1) ?

3 ?? ? 4

(2)

1 7 ? ? ? k? ? 8 ? , k? ? 8 ? ? ( k ? Z ) ? ?
…………………12 分

20. (本题满分 13 分)
2 解:(1)当 0 ? x ? 5 时, f ( x) ? 5x ? 0.5x2 ? (0.5 ? 0.25x) = ?0.5x ? 4.75x ? 0.5

当 x ? 5 时, f ( x) ?

1 23 x ? ? (0.5 ? 0.25 x) ? ?0.125 x ? 11 8 2
………………4 分

??0.5 x 2 ? 4.75 x ? 0.5, 0 ? x ? 5 ? f ( x) ? ? ??0.125 x ? 11, x ? 5

2 (2)当 0 ? x ? 5 时, f ( x ) = ?0.5x ? 4.75x ? 0.5 = ?0.5( x ? 4.75)2 ? 10.78125

? 当 x ? 4.75 时, f ( x)max ? 10.78125
当 x ? 5 时, f ( x ) ? ?0.125 x ? 11 ? ?0.125 ? 5 ? 11 ? 10.375 ? 10.78125

? 当年产量为 4.75(百件)时,当年公司所得利润最大,最大为 10.78125 万元.……9 分
(3)由题意知 f ( x) ? 0
2 当 0 ? x ? 5 时, ?0.5x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ,即 ? 21.5625 ? 4.75 ? x ? 21.5625 ?4.75

? 0.11 ? x ? 9.39 ,又 0 ? x ? 5 ,? 0.11 ? x ? 5
当 x ? 5 时, ?0.125x ? 11 ? 0,?5 ? x ? 88 综上可得,? 0.11 ? x ? 88 ? 当年产量为 11 件 ? 8800 件之间时,公司不会亏本. 21.(本小题满分 14 分)
1? ? 解:(1)由题设,需 f (0) ? ?12 a ? 0,? a ? 1,? f ( x) ? 1? 2x 2
x

………………13 分

经验证, f ( x) 为奇函数,? a ? 1 ---------------------------------------(2 分) (2)减函数-----------------------------------------------------------------(3 分) 证明:任取 x1, x2 ? R, x1 ? x2, ?x ? x2?x1 ? 0 ,
2(2 ? 1? 2 1? 1 由(1) ?y ? f ( x 2) ? f ( x1) ? 1?2x2 ? 1?2x1 ? (1? 2x1 )(12 2x)2 ) 2 2 ?
x x x1 x2

??y ? 0 ? 该函数在定义域 R 上是减函数-------------------------------------(7 分) (3)由 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) , ? f ( x) 是奇函数

? x1 ? x 2,? 0 ? 2 x1 ? 2 x 2 ,? 2 x1 ? 2 x 2 ? 0, (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x 2 ) ? 0

? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ,由(2), f ( x) 是减函数 ? 原问题转化为 t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 , 即 3t 2 ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立-----------------------------(10 分)

?? ? 4 ? 12k ? 0, 得 k ? ? 即为所求--- --------------------------(11 分)

1 3

(4)原函数零点的问题等价于方程 f (4x ? b) ? f (?2x?1 ) ? 0 由(3), 4 x ? b ? 2 x ?1 ,即方程 b ? 4 x ? 2 x ?1 有解--------(13 分)

? 4 x ? 2 x?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1,
?当b ? [?1,??) 时函数存在零点-------------------------(14 分)


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