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3.1.1空间向量及其加减与数乘运算+3.1.2共线向量与共面向量


1.空间向量及其运算

复习回顾: 平面向量

这是什么?

向量

既有大小又有方向的量。 1、定义:
几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b

b

a
向量加法的三角形法则

a
向量加法的平行四边形法则

a
b a
向量减法的三角形法则

ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

ka

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律

加法交换律: a ? b

?b?a ? a ? (b ? c)

加法结合律: ( a ? b) ? c 数乘分配律: k ( a ? b)

? k a+k b

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

问题 1:

C
向上

B
正北

如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=

O

正东

A
F2

?

问题 2:

已知F1=10N, F2=15N,F3=15N F3 F1
这需要进一步来认识空间中的向量

这三个力两两之间 的夹角都为90度, 它们的合力的大小 为多少N?

空间向量的有关概念: 空间向量:在空间中,具有大小和方向的量. ? ? ? 常用 a 、 、 ……等小写字母来表示. b c ? ? 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .

??? ? ??? ? 2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB ??? ? 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.

B
起点

终点

? a

? c ? b

A

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a

空间向量
具有大小和方向的量

加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零

空间向量
具有大小和方向的量

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a
ka

CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

(k>0)
空间向量的数乘

ka

(k<0)

思考:空间任意两个向量经过平移一定共面?
B

b

O

A

a
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

k (a ? b) ? k a+k b

空间中

向量加法结合律:
( a + b )+ c = a +( b + c )
O

O

a
A

a b
C A
+

c
B

C

b

B

c

b

c

(空间向量)

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

也叫封口向量

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?

定义: 数乘空间向量的运算法则
? ? a 仍然是一个向量.
⑴当 ? ⑵当 ? ⑶当 ?

? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积

?

? ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ? 0 时, ? a 是零向量.

例如:
? 3a

? a

? ?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律 ? ? ? ?

即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? (? a) ? (?? )a 其中?、?是实数。

类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、等概念。 (你认为应该怎样规定?)

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
A D B C A1 D1 B1 C1

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
D A B A1 G C D1 B1 C1

M

解:) AB ? BC AC; (1 =

(2) AB ? AD ? AA ? AC ? AA ? AC ? CC1 ? AC1 1 1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

F2

F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A A1 D1 B1 C1

D B

C

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1

练习:课本89页1,2
D1 A1 B1 C1

? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD)

? x ? 2.
A

D B

C

练习:课本89页1,2

2.共线向量与共面向量

复习回顾: 一、共线向量: (与平面向量中完全相同) 复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线(基线)互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量 ? ? 直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 ?? ? ? ? a ? 或平行向量. a 平行于 ba记作.// b . 向量. a 平行于 b 记作 ? // b ?? ? 规定: oo与任一向量 aa是共线向量. 规定: 与任一向量 是共线向量. ? ? ? ? ?? ? ? 2.共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 (bb≠ 00), 空间任意两个向量 a 、bb ≠ ) ( , 2.共线向量定理: ?? ?? ? ?? ? // 的充要条件是存在惟一实数 ? ? aa // bb的充要条件是存在实数 ? ,使?a,使ba.? ? b .

? ? ? 如果向量a的基线OA与平面? 平行或在?内,称向量a平行? ,记作a // ?

二.共面向量:

1、共面向量:平行于同一平面的向量,叫共面向量 即能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.

a
O A

?
注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意 三个向量就不一定共面的了。

平面向量基本定理:

?? ?? ? 如果是 e1?,2 同一平面内两个不共线的 ?e 向量,那么对于这一平面内的任一向 ? 量 a ,有且只有一对实数?1,?2,使 ? ? ? ?? ? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2 a
思考:空间任意向 ?? 量 p 与两个不共线 ? ? 的向量 a?, 共面时, ?b 它们之间存在怎样 的关系呢?
? b ?C b A ? B a

P

? ? 2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线,则向 b ? ? ? ? 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 b ? ? ? ? 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb .
?C b A ? B a
?? p

P

?C b? A a B
O

?? p

P

???? ? ???? ? 四点共面定理: 已知点 B 、 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ,对于空间任 C 意一点 O ∴点 P 在平面 ? 上 ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP ? OA ? xAB ? yAC ③

平面中:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
??? ? ??? ? ??? ? 外一点 , 且 OP ? xOA ? yOB ,得 x ? y =1

类比空间中 四点共面 B C 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 、 , B C 点 P 与 点 A、 、 四 点 共 面 , 向 量 关 系 式 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC 则 x ? y ? z ? 1
l

A

?

?

?

B P
O

?C b? A a B

?? p

P

O

例3、如图,已知平行四边形ABCD,从平 ??? ? ???? ??? ???? ? 面AC外一点O引向量 OE ? kOA , OF ? kOB,
???? ???? ???? ? ??? ? OG ? kOC , OH ? kOD ,

求证:四点E、F、G、H共面;

小结
平面中三点共线
??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB 则 x ? y ? 1
A
O

?

?

? B P

l

空间中四点共面

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC 则 x ? y ? z ? 1
?? p

?C b? A a B
O

P

?备用

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

B

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 =BM ? MG ? MB ? MG

B

M

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

作业
空间四边形 ABCD中, ? a , =b , ? c , AB BC AD
??? ? ??? ? ? ? 如图,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB ? a , AC ? b , ??? ? ? AD ? c ,若 M 为 BC 的中点, G 为 △BCD 的重心, ? ? ? A 试用 a 、 、 表示下列向量: b c ???? ? ???? ⑴ DM ⑵ AG

试用a, b, c来表示CD, , BD. AC

1 ? ? ? ( ? b) ? c a 2 1 ? ? ? ( ? b ? c) a 3

D

B
M

G C

D A B

C

a
D1 C1 B1

A1

b
D C B A

D B

C

A

平面中:已知A、B、P三点共线,O为直线AB
??? ? ??? ? ??? ? 外一点 , 且 OP ? xOA ? yOB ,求 x ? y 的值. ??? ??? ??? ? ? ? ? 解:∵ A 、 、 ?三点共线,∴ ?t??? R ,使 OP ? OA ? t AB B P ??? ??? ? ? ∴ OP ? (1 ? t )OA ? tOB ??? ? ??? ? ??? ? ∵ A 、 、 、 四点在同一个平面内,且 OP ? xOA ? yOB B P O

??? ??? ? ? ∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA 、 不共线 OB

∴由平面向量基本定理可知 x ? 1 ? t , y ? t
??? ? ??? ? ??? ? 反过来,如果已知 OP ? xOA ? yOB ,且 x ? y ? 1 ,
∴ x? y ?1

B P 那么 A 、 、 三点共线吗?
学习共面

空间:如图,平面 ? 为经过已知点 A 且平行两不共线的
? ? 非零向量 a 、 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P b ?? P 呢? p ?C

??? ? ? ? ⑴∵ AP与a 、b 共面,

??? ? ??? ? ? ? C ⑵∵已知点 B 、 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b

??? ? ? ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb . O ???? ? ? ∴点 P 在平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb ①

b? A a B

???? ???? ???? ∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xAB ? yAC ②

??? ? ???? ? ? C ⑶∵已知点 B 、 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 ? 上 ? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP ? OA ? xAB ? yAC ③ 注:①、②、③式都称为平面?的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.


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