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陕西省西安市第一中学2013届高三上学期期中考试(数学理)


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2011-2012 学年度第一学期期中 高三年级数学( (理科)试题 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 设集合 M ? { y | y ?| cos x ? sin x |, x ? R} , N ? {x ||
2 2

x |? 1 , i 为虚数单位, x? R } ,则 M ? N 为 i

( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

2. 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所 示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 , 则 A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 B . x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

?(a ? 3) x ? 5( x ? 1) ? 3. 已知函数 f ( x ) ? ? 2a 是 R 上的减函数,则 a 的取值范是( ? x ( x ? 1) ?
A. (0,3)
2 2

)

B. (0,3]

C. (0, 2)

D. (0, 2] ( )

4. 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3,0) 的直线,则 A. l 与 C 相交 项均有可能 B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 D.以上三个选

5. 函数

? f ( x) ? A sin(?x ? ? )(其中A ? 0,? ? ) 的图象如图所示,为 2

了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 f (x) 的图象 A.向右平移 ? 个长度单位 B.向右平移 ? 个长度单位
6 3

C.向左平移 ? 个长度单位
6

D.向左平移 ? 个长度单位
3

6. 如 果 执 行 右 边 的 程 序 框 图 , 输 入 正 整 数 N ( N ≥2) 和 实 数

a1 , a2 ,, aN ,输出 A , B ,(



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A. A + B 为 a1 , a2 ,, aN 的和 B.

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A? B 为 a1 , a2 ,, aN 的算术平均数 2

C. A 和 B 分别为 a1 , a2 ,, aN 中的最大数和最小数 D. A 和 B 分别为 a1 , a2 ,, aN 中的最小数和最大数 7. 已知 a ? 2 A.80

?

?

0

? a (cos( x ? )) dx ,则二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中 x 的系数为( 6 x
B.-10 C.10 D.-80



8.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R, f ?( x) ? 2 ,则 f(x)>2x+4 的解集为 A.(-1,1) B.(-1,+ ? ) C.(- ? ,-1) D.(- ? ,+ ? ) )

9. 在 ?ABC 中,D为BC中点,若 ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ?1 ,则 AD 的最小值是 ( (A)

1 2

(B)

3 2

(C)

2

(D)

2 2

10.已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n 公差为( )

数列 ? an ? 的 ,且满足 S3≤6,S4≥8,S5≤20,当 a4 取得最大值时,

A 1

B

4

C 2

D

3

二.填空题(本题共 5 小题,满分共 25 分) 11. 已知 a,b, c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinC= 12. 若 tan ? =

1 ? ,则 cos(2? + ) = 2 ?

.

13.观察下面的数阵, 容易看出, 第 n 行最右边的数是 n 2 , 那么第 20 行最左边的数是_____________.

14.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m ,第二次出现的点数为 n .向量

p =(m,n), q = (3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为



15、 (注意:只能从下列 A,B,C 三题中选做一题,如果多做,则按第一题记分)

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A.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 ? y ? ?1 ? 3sin ?


x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上的动点 P( x, y ) 到直线 l 距离的最大值为
B. (不等式选讲选做题) 若存在实数 x 满足不等式 | x ? 3 | ? | x ? 5 |? m2 ? m ,则实数 m

C

的取值范围为


B O E D A P

C. (几何证明选讲选做题)如图, PC 切 ? O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦

CD ? AB 于 点 E . 已 知 ? O 的 半 径 为 PC ?
. OE ? .

3 , PA ? 2 , 则

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (I)求 {an } 的通项 an ; (II)设 cn ?

5 ? an c , bn ? 2 n ,求 T ? log 2 b1 ? log 2 b2 ? log 2 b3 ? ? ? log 2 bn 的值。 2

17. 如图,在某港口 A 处获悉,其正东方向 20 海里 B 处有一艘渔船遇险等待营救,此 时救援船在港口的 南偏西 30 据港口 10 海里的 C 处,救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船. (Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离; (Ⅱ)试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处 救援?(已知 cos 49 0 ?
21 ). 7
C A 10
30°

0



20

B

18.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示) , E 为 VB 的中点. (1)求证:VD∥平面 EAC;

(2)求二面角 A—VB—D 的余弦值.

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19.经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下: 排队人数 概率 排队人数 概率 0~5 0.1 16~20 0.25 6~10 0,15 21~25 0.2 11~15 0.25 25 人以上 0.05

(1) 每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? (2) 一周 7 天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率大于 0.75,商场就需要增加 结算窗口。请问:该商场是否需要增加结算窗口? 20. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上 2

的点到焦点的最短距离为 1 ?

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P 0,)与椭圆 C 交于相异两点 A、, AP ? 3PB . ( m , B 且 2

(1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=ax-

a -2lnx x

(1)若函数 f(x)在其定义域内为递增函数,求实数 a 的取值函数;

(2)若函数 f(x)的图像在 x=1 处的切线的斜率为 0,并且 a n ?1

? ? ? ? 1 1 ' ? ? ? n 2 ? 1(n ? N ? ) . ? f ? a ? n ?1? 4 ? n ? 2 ? ?

①若 a1≥3,试证明 a n ? n ? 2 ;

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②若 a1=4,试比较

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1 1 1 1 2 与 的大小,并说明你的理由。 ? ? ??? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? an 5

西安市第一中学 2013 届数学(理科)答案 一 、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 A 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B

二、填空题 11. 1 12、 -

4 5

13. 362

14、

1 12

15,A. 3 ?

7 10 10

B.

(??, ?1) ? (2, ??)

C. 4 ,

9 5

三、解答题 16、 (Ⅰ)设 ? an ? 的公差为 d ,由已知条件, ?

? a1 ? d ? 1 , --------------------2 分 ? a1 ? 4d ? ?5

解得 a1 ? 3 , d ? ?2 .所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 .--------- 6 分 (Ⅱ)∵ an ? ?2n ? 5 ,∴ cn ? ∴ bn ? 2 n ? 2n
c

5 ? an 5 ? (?2n ? 5) ? ?n 2 2

----------------------------------------------- - 8 分

∴ T ? log 2 b1 ? log 2 b2 ? log 2 b3 ? ? ? log 2 bn

? log 2 2 ? log 2 22 ? log 2 23 ? ? ? log 2 2n

? 1? 2 ? 3 ?? ? n ?

n(n ? 1) -------------------12 分 2
0

17、解:(Ⅰ) 由题意得: ?ABC 中, AB ? 20, AC ? 10, ?CAB ? 120 ,

? CB 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos?CAB
2 2 2 0

……………3 分

即 CB ? 20 ? 10 ? 2 ? 20 ? 10 cos120 ? 700 , BC ? 10 7 ,所以接到救援 命令时救援船据渔船的距 离为 10 7 海里. ……………6

( Ⅱ ) ?ABC 中 , AB ? 20, BC ? 10 7 , ?CAB ? 120 0 , 由 正 弦 定 理 得
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AB BC 即 ? sin ?ACB sin ?C AB

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20 10 7 21 ………9 分 ? ? sin ?ACB ? 0 sin ?ACB sin ?120 7

? cos 49 0 ? sin 410 ? 21 ,? ?ACB ? 410 ,
7

故救援船应沿北偏东 710 的方向救援.

…………… 12 分

18.解:(1)由正视图可得:平面 VAB⊥平面 ABCD,连接 BD 交 AC 于 O 点,连 EO,由已知可得 BO=OD, VE=EB ∴ VD∥EO ---------------------------------------------4

又 VD ? 平面 EAC,EO ? 平面 EAC ∴ VD∥平面 EAC ---------------------------------------------------6 (2)设 AB 的中点为 P,则由题意可知 VP⊥平面 ABCD, 建立如图所示坐标系 设 n =(x,y,z)是平面 VBD 法向量,

BD =(-2,2,0)

VB ? (1,0,? 3 )

PO ? (0,1,0) --------------------------8
由 n ? BD , n ? VB ∴?

?? 2 x ? 2 y ? 0 ? x ? 3z ? 0

n ? ( 3 , 3 ,1) -------------------------10
∴二面角 A—VB—D 的余弦值 cos? ? 19.解: (1)每天不超过 20 人排队结算的概率
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n ? PO | n | ? | PO |

?

21 7

------------------12

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20

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P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75. 即 不 超 过 0.75.----------------------------------------5

人 排 队 结 算 的 概 率 是

1 --------7 2 0 1 一周 7 天中,没有出现超过 15 人排队结算的概率为 C 7 ( ) 7 ; 2 1 1 6 1 一周 7 天中,有一天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 7 ( )( ) 2 2 1 2 1 一周 7 天中,有两天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 7 ( ) 2 ( ) 5 --------10 2 2
(2)每天超过 15 人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05= 所以由 3 天或 3 天以上出现超过 15 人排队结算的概率为 1—[ C 7 ( ) + C 7 ( )( ) + C 7 ( ) ( ) ]=
0

1 2

7

1

1 1 2 2

6

2

1 2

2

1 2

5

99 >0.75 128

所以,该商场需要增加结算窗口.----------------------------12 y2 x2 2 c 2 20.解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c=1- , = ,∴a=1,b a b 2 a 2 =c= 2 2 x2 故 C 的方程为:y2+ =1 --------------------------4 1 2

(2)当直线斜率不存在时: m ? ?

1 --------------------------------------------------6 2

当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

? y ? kx ? m 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 --------------8 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 1
(m ?Δ =(2km)2-4(k2+2) 2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km x1+x2= 2 ,① k +2 m2-1 x1x2= 2 k +2 ② → ∵ AP =3PB ∴-x1=3x2 ③ ---10

-2km 2 m2-1 由①②③消去 x1,x2,∴3( 2 ) +4 2 =0……9 分整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 k +2 k +2 2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 = 2-2m2 1 1 ∴k2= 2 ? 0,∴ ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 把 k2 4m -1 2 2

2-2m2 1 1 代入(*)得 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 4m -1 2 2 -----12



?1 ? m ? ?

1 2



1 ? m ? 1 … … 11 2

分 , 综 上

m

范 围 为

?1 ? m ? ?

1 2



1 ? m ?1 2 -------------------------------------------13

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21.解:(1)由 f(x)可得 f ' (x)=
2

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ax 2 ? 2 x ? a , ∴f ' (x)≥0 在(0,+∞)恒成立 a
∴ a≥

∴ax -2x+a≥0 恒成立,

2x 在(0,+∞)恒成立 x ?1
2

故 a≥1--------------------------------------6 (2)∵函数 f(x)的图像在 x=1 处的切线的斜率为 0 ∴f ' (1)=0,即 a+a-2=0,解得 a=1

?1 ? ∴f (x)= ? ? 1? ?x ?
'

2

∴ a n ?1

? ? ? ? 1 1 ? ? n2 ?1 ? f '? n ? a ? ? 1? 4 ? n ? 2 ? ?
2

= ? an ?

? ?

n? 1 2 ? ? n ?1 2? 4

2

= a n ? nan ? 1(n ? N ? ) ---------------------------8 ① 用数学归纳法证明: (ⅰ)当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立。 (ⅱ)假设 n=k 时,不等式成立,即 ak≥k+2,那么 ak-k≥2>0, ∴ak+1=ak(ak-k)+1≥2(k+2)+1=(k+3)+k+2>k+3, 综上述可知,对于所有 n≥1 都有 a n ? n ? 2 ②

a n ?1 ? a n (a n ? n) ? 1











k



2





ak ? ak ?1 (ak ?1 ? k ? 1) ? 1 ? ak ?1 (k ? 1 ? 2 ? k ? 1) ? 1 ? 2ak ?1 ? 1
∴ a k ? 1 ? 2(a k ?1 ? 1) ? ? ? 2 ∵ a1=4,∴
k ?1

(a1 ? 1) ------------------------------10

1 1 1 2 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? k ?1 , ? ,于是当 k≥2 时, a k ? 1 a1 ? 1 2 5 2 a1 ? 1 5



1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ≤ 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? an a1 ? 1 2 2 2
=

2 1 2 (1 ? n ) < 5 5 2

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