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余庆中学高二数学(文科)半期考试试题及答案


2013-2014 年度余庆中学高二(下)文科半期考试数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题且要求的。 1.复数 A.-

1 i ? 的值是 1? i 2
B.

1 2

1 2
n

C.
2

1? i 2

D.

1? i 2

2. 当 n ? 1,2,3,4,5,6 时,比较 2 和 n 的大小并猜想
n 2 A. n ? 1 时, 2 ? n n 2 C. n ? 4 时, 2 ? n n 2 B. n ? 3 时, 2 ? n n 2 D. n ? 5 时, 2 ? n

3.下列判断错误的是 A.“ am ? bm ”是“a<b”的充分不必要条件
2 2

B.命题“ ?x ? R, x

3

? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”

C.若 p?q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.”x=2”是“x =4”的充分不必要条件 4.满足线性约束条件 ? ? x ? 2 y ? 3, 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是
? ? x ? 0, ? ?y ? 0 ?2 x ? y ? 3,
2

A. 1

B.

3 2

C. 2

D. 3

5.已知向量 a ? (2,1), a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2, 则 | b | = A. 5
2

B. 10

C.5

D.25

6. 过抛物线 y =8x 的焦点作直线 L 交抛物线于 A、 B 两点, 若线段 AB 的中点的横坐标为 4, 则|AB|等于 A.14 B.12 C.10 D.8 2 7.在回归分析中,R 的值越大,说明残差平方和: A. 越小 B. 越大 C. 可能大也可能小 D. 以上都不对

8.执行右边的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ? A.3 B. 4 C. 5 D. 6

开始 输入 p

9.设 a,b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同 的平面,则下列四个命题中正确的是 A.若 a⊥b, a⊥ ? ,则 b∥ ? B.若 a∥ ? , ? ? ? , 则 a⊥ ? C.若 a⊥ ? , ? ? ? , 则 a∥ ? D.若 a⊥b, a⊥ ? , b ? ? ,则 ? ? ? 10.抛物线 y ? x2 上到直线 2 x-y =4 距离最近的点的坐标是 A.(

n ? 1,S ? 0

S? p?




S?S?

1 2n

输出 n 结束

n ? n ?1

3 5 , ) 2 4
a

B.(1,1)

.(

3 9 , ) 2 4

D.(2,4)

2 2 11. 点 P 在双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, F1 , F2 是这条双曲线的两个焦点, ?F1PF2 ? 900 , 2 2

b

且 ?F PF 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是
1 2

A.2

B.3

C.4

D .5

12.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? ?4 C. a ? 0或a ? ?4 D. a ? 0或a ? ?4

二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上. 13 .若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 __________. 14 .已知曲线 y ?

? 10,0?,则双曲线的方程是

1 3 x 上一点 M 处的切线与直线 y ? 3 ? x 垂直,则此切线的方程为 3
_____

__________________。
? 15.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 120 ,则 AB ? BC

2 1 2 1 2 3 1 2 3 4 16.观察数列 1 ,,,,,,,,,, ,则数 将出现在此数列的第_______项。 6 2 1 3 2 1 4 3 2 1

2013-2014 年度余庆中学高二(下)文科半期考试数学答题卷
一.选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二.填空题 13._____________ 14._____________ 15._____________ 16._____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17.(本题满分 10 分)已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 {bn } 的前 n 项和公式

18. (本题满分 12 分)若 x,y,z 均为实数,且 a ? 4 y ? x ?
2

2? 4? , b ? 4z ? y2 ? , 3 3

c ? 4 x ? z 2 ? 2? ,求证:a,b,c 中至少有一个小于零。

19. (本题满分 12 分)某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥,在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99 乙:110,115,90,85,75,115,110 (1)求出这两组数据的平均值和方差(用分数表示) ;并说明哪个车间的产品较稳定. (2)从甲中任取一个数据 x(x≥100) ,从乙中任取一个数据 y(y≤100) ,求满足条件|x-y| ≤20 的概率.

20. (本题满分 12 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销 售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高, 市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x ? 0 ? x ? 1? ,那么月平均销售 量减少的百分率为 x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元). (Ⅰ)写出 y 与 x 的函数关系式; (Ⅱ)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
2

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? a)e x (a ? 2, x ? R) (Ⅰ)当 a ? 1 时, 求f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的极大值为 3;若存在,求出 a 的值,若不存在,请 说明理由。

x2 2 22. (本题满分 12 分)设双曲线 C: 2 ? y ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两 a
个不同的点 A、B. (I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

5 PB . 求 a 的值. 12

2013-2014 年度余庆中学高二(下)文科半期考试数学答案
一.选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

D

C

C

C

B

A

B

D

B

D

C

二.填空题

13.

x2 ?

y2 ?1 9

14. y ? x ?

2 3

15. -

3 2

16.

23

三.解答题 17.(本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ? 18. (本题满分 12 分)

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

证明:假设 a,b,c 都不小于零,即 a ? 0,b ? 0, c ? 0 ,则 a+b ? c ? 0 。

所以: a+b+c ? 4 y ? x ?
2

2? 4? ? 4z ? y2 ? ? 4 x ? z 2 ? 2? 3 3

? -[(x-2)2 +(y-2)2 +(z-2)2 ]-4? +12 ? 0
因为 -[(x-2)2 +(y-2)2 +(z-2)2 ] ? 0 所以 -4? +12 ? 0 即 ? ? 3 与事实矛盾。 故 a,b,c 中至少有一个小于零。 19. (本题满分 12 分)

102+101 ? 99 ? 98 ? 103 ? 98 ? 99) =100 ; 解:(1) x 甲 = (

1 7 1 x乙 = ( 110+115 ? 90 ? 85 ? 75 ? 115 ? 110) =100 7 1 24 s甲2 = (4 ? 1 ? 1 ? 4 ? 9 ? 4 ? 1 ) = 7 7 1 1600 s乙2 = (100 ? 225 ? 100 ? 225 ? 625 ? 225 ? 100) = ; 7 7 ∵ s甲2 ? s乙2 ,故甲车间产品比较稳定.

(2)所有可能的情况有: (102,90),(102,85),(102,75),(101,90),(101,85),(101,75),(103,90),(103,85), (103,75),不满足条件的有:(102,75),(101,75),(103,75) 所以 P( | x ? y |? 20 )=120. (本题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ)改进工艺后,每件产品的销售价为 20 ?1 ? x ? ,月平均销售量为 a 1 ? x 件,

1 2 ? 3 3

, ??? ? 20 ?1 ? x ? ? 15? ? (元) ∴ y 与 x 的函数关系式为 y ? 5a ?1 ? 4 x ? x ? 4 x ? ? 0 ? x ? 1? 则月平均利润 y ? a 1 ? x
2

?

?

?

2

3

.????6 分

2 (Ⅱ)由 y ? ? 5a 4 ? 2 x ? 12 x ? 0 得 x1 ?

?

?

1 2 , x ? ? (舍), ?????8 分 2 3

当0 ? x ?

1 1 时 y? ? 0 ; ? x ? 1 时 y? ? 0 , 2 2

2 3 ∴函数 y ? 5a 1 ? 4 x ? x ? 4 x

?

取得最大值. ? ? 0 ? x ? 1? 在 x ? 1 2

故改进工艺后, 产品的销售价为 20 ?1 ?

? ?

1? ? ? 30 元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利 2?

润最大. 21. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x , f ?( x) ? (2x ? 1)e x ? ( x 2 ? x ? 1)e x

? ( x 2 ? 3x ? 2)e x ,
当 f ?( x) ? 0时解得x ? ?2或x ? ?1,当f ?( x) ? 0时解得 ? 2 ? x ? ?1, 所以函数的单调增区间为(- ? ,-2) , (-1,+ ? ) ; 单调减区间为(-2,-1) (Ⅱ) f ' ( x) ? (2x ? a)e x ? ( x 2 ? ax ? a)e x ? [ x 2 ? (2 ? a) x ? 2a)e x

? ( x ? a)(x ? 2)e x ? 0,
? x ? ?a, x ? ?2,
列表如下:? a ? 2,? ?a ? ?2 x

(??,?2)
+

-2 0 极大

(-2, -a) -

-a 0 极小

(?a,??)
+

f ?( x) f ( x)

由表可知 f 极大 ( x) ? f (?2) ? (4 ? 2a ? a)e 数 a,使 f ( x) 的极大值为 3。

?2

? 3, 解得 a ? 4 ? 3e 2 ? 2 ,所以存在实

22. (本题满分 12 分) 解: (I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ?
有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①

2 ? ?1 ? a ? 0. 所以? 4 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0.

解得0 ? a ? 2且a ? 1.
双曲线的离心率

e?

1? a2 ? a

1 ? 1. a2

? 0 ? a ? 2且a ? 1, ?e ? 6 且e ? 2 2 6 , 2 ) ? ( 2 ,??). 2

即离心率e的取值范围为 (

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), P(0,1)

? PA ?

5 PB, 12 5 ( x 2 , y 2 ? 1). 12

? ( x1 , y1 ? 1) ? 由此得x1 ?

5 x2 . 12

由于 x1+x2 都是方程①的根,且 1-a2≠0,

17 2a 2 x2 ? ? . 12 1? a2 5 2 2a 2 x2 ? ? . 12 1? a2 2a 2 289 消去, x 2 , 得 ? ? 2 60 1? a 17 由a ? 0, 所以a ? 13 所以


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