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2012年全国高考江西理科数学试题详细解析


2012 年全国高考江西 理科数学试题详细解析
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、若集合 A = {?1,1} , B = {0, 2} ,则集合 {z | z = x + y, x ∈ A, y ∈ B} 中的元素的个数为 A. 5 【答案】C B. 4 C. 3 D. 2

【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出 x + y 只能取 ?1,1,3 等 3 个数值.故共有

3 个元素.
【点评】集合有三种表示方法:列举法,图像法,解析式法.集合有三大特性:确定性、互异 性、无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算,Venn 图的考查等. 2、下列函数中,与函数 y = A. y =

3

1 定义域相同的函数为 x
C. y = xe
x

1 sin x

B. y =

ln x x

D. y =

sin x x

【答案】D 【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数 y=

3

1 sin x 的 定 义 域 为 ( ?∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ ) , 而 答 案 中 只 有 y = 的定义域为 x x

( ?∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ ) .
【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根 据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于 0 ; (4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域, 来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 3、若函数 f ( x) = ? A. lg101

? x 2 + 1, x ≤ 1 ? lg x,
B. 2

x >1

,则 f ( f (10)) = C. 1 D. 0

【答案】B 【解析】本题考查分段函数的求值. 因为 10 > 1 ,所以 f (10 ) = lg10 = 1 .所以 f ( f (10)) = f (1) = 1 + 1 = 2 .
2

【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数 的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区间,就使 用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的 分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式.

4、若 tan θ + A.

1 5

1 = 4 ,则 sin 2θ = tan θ 1 B. 4

C.

1 3

D.

1 2

【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为 tan θ +

1 sin θ cos θ sin 2 θ + cos 2 θ 1 1 = + = = = 4 ,所以. sin 2θ = . 1 tan θ cos θ sin θ sin θ cos θ 2 sin 2θ 2 sin θ 转化;另外, cos θ

【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式 tan θ =

sin 2 θ + cos 2 θ 在转化过程中常与“ 1 ”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的
齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求 理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 5、下列命题中,假命题为 A.存在四边相等的四边形不 是正方形 . B. z1 , z2 ∈ C , z1 + z2 为实数的充分必要条件是 z1 , z2 互为共轭复数 C.若 x, y ∈ R ,且 x + y > 2, 则 x, y 至少有一个大于 1 D.对于任意 n ∈ N , Cn + Cn +
0 1 n + Cn 都是偶数

【答案】B 【解析】本题以命题的真假为切入点,综合考查了充要条件,复数、特称命题、全称命题、 二项式定理等. (验证法)对于 B 项,令 z1 = ?1 + mi, z2 = 9 ? mi ( m ∈ R ) ,显然 z1 + z2 = 8 ∈ R ,但 z1 , z2 不 互为共轭复数,故 B 为假命题. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念,理解全称命题,存在命题的意义.来年需要注意充 要条件的判断,逻辑连接词“或” 、 “且” 、 “非”的含义等. 6、 观察下列各式: a + b = 1, a + b = 3, a + b = 4, a + b = 7, a + b = 11,
2 2 3 3 4 4 5 5

则a +b
10

10

=

B. 76 C. 123 A. 28 【答案】C 【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为 1,3, 4, 7,11,... ,

D. 199

发现从第 3 项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为 1,3, 4, 7,11 ,

18, 29, 47, 76,123,... ,故 a10 + b10 = 123.
【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推 理.来年需要注意类比推理等合情推理.

7 、 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , 点 D 是 斜 边 AB 的 中 点 , 点 P 为 线 段 CD 的 中 点 , 则

| PA |2 + | PB |2 = | PC |2
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】本题主要考查两点间的距离公式,以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数 学思想. 不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令 AC = BC = 4 ,则

AB = 4 2 , CD =

1 1 AB = 2 2 , PC = PD = | CD |= 2 , 2 2

PA = PB = | AD |2 + | PD |2 =
所以

(2 2 ) + ( 2 )
2

2

= 10 ,

| PA |2 + | PB |2 10 + 10 = = 10 . | PC |2 2

【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题,由于是选择题,不妨尝试将图形特殊化,以 方便求解各长度, 达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意 点到直线的距离公式. 8、某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 ? 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)分别为 A. 50, 0 B. 30, 20 C. 20,30 D. 0,50

【答案】B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及 实 践 能 力 . 设 黄 瓜 和 韭 菜 的 种 植 面 积 分 别 为 x, y 亩 , 总 利 润 为 z 万 元 , 则 目 标 函 数 为

z = (0.55 × 4 x ? 1.2 x) + (0.3 × 6 y ? 0.9 y ) = x + 0.9 y .
? x + y ≤ 50, ? x + y ≤ 50, ?1.2 x + 0.9 y ≤ 54, ?4 x + 3 y ≤ 180, ? ? 线性约束条件为 ? 即? ? x ≥ 0, ? x ≥ 0, ? ? ? y ≥ 0. ? y ≥ 0. ? x + y ≤ 50, ?4 x + 3 y ≤ 180, ? 表示的可行域, 作出不等式组 ? ? x ≥ 0, ? ?y ≥ 0

易求得点 A ( 0,50 ) , B ( 30, 20 ) , C ( 0, 45 ) .

平移直线 z = x + 0.9 y ,可知当直线 z = x + 0.9 y 经过点 B ( 30, 20 ) , 即 x = 30, y = 20 时,z 取得最大值,且 zmax = 48 (万元). 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值 问题. 9、样本( x1 , x2 , ( x1 , x2 ,

, xn )的平均数为 x ,样本( y1 , y2 ,

ym )的平均数为 y ( x ≠ y ) ,若样本
1 ,则 n, m 的大小 2

, xn , y1 , y2 ,

ym )的平均数 z = α x + (1 ? α ) y ,其中 0 < α <

关系为 A. n < m B. n > m C. n = m D.不能确定 【答案】A 【解析】本题考查统计中的平均数,作差法比较大小以及整体思想. 由统计学知识,可得 x1 + x2 +

+ xn = nx, y1 + y2 +

+ ym = m y ,

x1 + x2 +

+ xn + y1 + y2 +

? + ym = ( m + n ) z = ( m + n ) ? ?α x + (1 ? α ) y ? .

= ( m + n ) α x + ( m + n )(1 ? α ) y ,
所以 nx + m y = ( m + n ) α x + ( m + n )(1 ? α ) y . 所以 ?

? ?n = ( m + n ) α , ? ?m = ( m + n )(1 ? α ) .

故 n ? m = (m + n)[α ? (1 ? α )] = (m + n)(2α ? 1) .

因为 0 < α <

1 ,所以 2α ? 1 < 0 .所以 n ? m < 0 .即 n < m . 2

【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征:如平均数,中位数,方差,标准差等的求法. 体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.来年需要注意频率分布 直方图中平均值,标准差等的求解等. 10、如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1 ,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂 直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记 SE = x(0 < x < 1), 截面下面部分的体积为

V ( x), 则函数 y = V ( x) 的图像大致为
S E

D A B

C

【答案】A 【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函数的思想,导数法解决几 何问题等重要的解题方法. (定性法)当 0 < x < 越来越快;当

1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ( x ) 单调递减,且递减的速度 2

1 ≤ x < 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ( x ) 单调递减,且递减的速度 2

越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合. 【点评】对于函数图象的识别问题,若函数 y = f ( x ) 的图象对应的解析式不好求时,作为选 择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计 算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定 性法,不但求解快速,而且准确节约时间.

第Ⅱ卷
二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11、计算定积分



1

?1

( x 2 + sin x)dx = ___________。

【答案】

2 3

【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.

? x3 ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 1 1 2 2 x x dx ( sin ) + = ? ? cos x ? |?1 = ? ? cos1? ? ? ? cos1? = + = . ∫?1 ?3 ? ? 3 ? 3 3 3 ? 3 ?
1

【点评】这里,许多学生容易把原函数写成

x3 + cos x ,主要是把三角函数的导数公式记混而 3

引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等. 12、设数列 {an },{bn } 都是等差数列,若 a1 + b1 = 7 ,a3 + b3 = 21 ,则 a5 + b5 = ___________。 【答案】 35 【解析】 (解法一)因为数列 {an },{bn } 都是等差数列,所以数列 {an + bn } 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ( a5 + b5 ) + ( a1 + b1 ) = 2 ( a3 + b3 ) ,即 ( a5 + b5 ) + 7 = 2 × 21 ,解得

a5 + b5 = 35 .
(解法二)设数列 {an },{bn } 的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 + b3 = ( a1 + 2d1 ) + (b1 + 2d 2 ) = ( a1 + b1 ) + 2( d1 + d 2 ) = 7 + 2( d1 + d 2 ) = 21 , 所以 d1 + d 2 = 7 .所以 a5 + b5 = (a3 + b3 ) + 2(d1 + d 2 ) = 35 . 【点评】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 .对于等差数列的计算问题,要注意 掌握基本量法这一通法, 同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解 等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前 n 项和,等差中项的性质等.

x2 y 2 13 、椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 F1 , F2 。若 a b
| AF1 |,| F1 F2 |,| F1 B | 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
【答案】 【解析】 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:AF1 = a ? c ,F1 F2 = 2c ,F1 B = a + c . 又已知 AF1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,故 (a ? c)( a + c) = (2c) ,即 a ? c = 4c ,则
2

5 5

2

2

2

a 2 = 5c 2 .故 e =

c 5 5 .即椭圆的离心率为 . = a 5 5

【点评】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与 方程,转化与化归思想.求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a, c 的方程,然后化 为有关 a, c 的齐次式方程,进而转化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲 中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等. 14、下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是______________.
是 开始 是 a=1
k=k+1

k<6



输出T

结束

否 a=0

【答案】 3 【解析】由程序框图可知: 第一次: T = 0, k = 1, sin 继续循环; 第二次: sin π = 0 > sin 第三次: sin

π
2

= 1 > sin 0 = 0 成立, a = 0, T = T + a = 1, k = 2 满足判断条件,

π
2

= 1 不成立, a = 0, T = T + a = 1, k = 3 满足判断条件,继续循环;

3π = ?1 > sin π = 0 不成立,a = 0, T = T + a = 1, k = 4 满足判断条件,继续循环; 2 3π 第四次: sin 2π = 0 > sin = ?1 成立,a = 1, T = T + a = 2, k = 5 满足判断条件,继续循环; 2 5π 第五次: sin 跳出循环, = 1 > sin 2π = 0 成立,a = 1, T = T + a = 3, k = 6 不满足判断条件, 2 故输出 T = 3.

【点评】本题考查算法程序框图的应用以及运算求解的能力.对于循环结构的算法框图问题, 要观察什么时候刚好退出循环, ,直到循环终止为止.体现考纲中要求理解输出语句,了解算法 的含义与思想.来年需要注意判断条件的求解,程序的输出功能等. 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答。若两题都做,则按第一题评阅计分。本题共 5 分。 15.(1) (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x + y ? 2 x = 0 ,以原点为
2 2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。 【答案】 (1) ρ = 2 cos θ 【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归 的数学思想. 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 ?

? x = ρ cos θ , 2 2 2 得 x + y ? 2 x = ρ ? 2 ρ cos θ ? y = ρ sin θ ,

= 0 ,又 ρ > 0 ,所以 ρ = 2 cos θ .
【点评】 公式 x =

ρ cos θ , y = ρ sin θ 是极坐标与直角坐标的互化的有力武器.体现考纲中要求

能进行坐标与直角坐标的互化.来年需要注意参数方程与直角坐标的互化,极坐标与直角坐标

的互化等. 15.(2) (不等式选做题)在实数范围内,不等式 | 2 x ? 1| + | 2 x + 1|≤ 6 的解集为___________。 【答案】 (2) ? x ∈ R | ?

? ?

3 3? ≤x≤ ? 2 2?

【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.

1 ? ?x ≤ ? , 原不等式可化为 ? ① 2 ? ?1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ≤ 6, 1 ? 1 ?? < x < , ② 或? 2 2 ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ≤ 6, 1 ? ?x ≥ , ③ 或? 2 ? ?2 x ? 1 + 2 x + 1 ≤ 6,

3 1 ≤x≤? ; 2 2 1 1 由②得 ? < x < ; 2 2 1 3 由③得 ≤ x ≤ , 2 2
由①得 ? 综上,得原不等式的解集为 ? x ∈ R | ?

? ?

3 3? ≤ x ≤ ?. 2 2?

【点评】不等式的求解除了用分类讨论法外,还可以利用绝对值的几何意义——数轴来求解; 后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式. 来年需要注意绝对值不等式公式 a + b ≤ a + b , a ? b ≤ a ? c + c ? b 的转化应用. 四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = ? (1)确定常数 k ,并求 an ;

1 2 ,且 S n 的最大值为 8 。 n + kn (其中 k ∈ N + ) 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 。 2n 1 2 【解析】 (1)当 n = k ∈ N + 时, s = ? n + kn 取最大值, 2 1 2 1 2 2 即 8 = Sk = ? k + k = k . 2 2
(2)求数列 {

故 k = 16 , k = 4 .
2

9 ? n(n ≥ 2). 2 7 9 又 a1 = s1 = ,所以 a n = ? n. 2 2
从而 a n = s n ? s n ?1 = (2)因为 bn =

9 ? 2a n n = n ?1 , n 2 2

n ?1 n 2 3 + 2 + ? ? ? ? n ? 2 + n ?1 , 2 2 2 2 1 1 n 1 n n+2 所以 Tn = 2Tn ? Tn = 2 + 1 + + ... + n ? 2 ? n ?1 = 4 ? n ? 2 ? n ?1 = 4 ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2 Tn = b1 + b2 + ... + bn = 1 +
【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用

? S1 (n = 1), 来 实 现 an 与 S n 的 相 互 转 化 是 数 列 问 题 比 较 常 见 的 技 巧 之 一 , 要 注 意 an = ? ? S n ? S n ?1

an = Sn ? Sn ?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 = S1 来求解.运用错位相减法求数列
的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等 比数列. 17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 。 已知 A = (1)求证: B ? C = (2)若 a =

π
4

,b sin(

π

π
2

+ C ) ? c sin( + B ) = a 。 4 4

π

2 ,求 ?ABC 的面积。

【 解 析 】( 1 ) 证 明 : 由 b sin(

π

sin B sin(

π
4

+ C ) ? sin C sin(

π
4

+ C ) ? c sin( + B) = a , 应 用 正 弦 定 理 得 4 4

π

+ B) = sin A.

? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 sin B ? sin cos sin sin cos , C C C B B + ? + = ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2
整理得 sin B cos C ? cos B sin C = 1 , 即 sin (B ? C ) = 1 , 由于 0 < B, C <

3 π π ,从而 B ? c = . 4 2 5π 3π π (2) B + c = π ? A = ,因此 B = ,c = . 8 8 4

5π a sin B a sin C π ,c = = 2 sin = 2 sin , 4 sin A 8 sin A 8 π π π 1 1 5π 所以 ?ABC 的面积 s = bc sin A = ? 2 sin sin = 2 cos sin = . 2 8 8 8 8 2
由a =

2, A =

π

,得 b =

【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的 应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边 长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式, 辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来 年需要注意第二种题型的考查. 18、 (本题满分 12 分) 如图,从 A1 (1, 0, 0) , A2 (2, 0, 0) , B1 (0,1, 0) , B2 (0, 2, 0) , C1 (0, 0,1) , C2 (0, 0, 2) 这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ,记该“立体”的体 积为随机变量 V (如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V = 0 ) 。 (1)求 V = 0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望 EV 。

z C2 C1 O A1 A2 x
【解析】 (1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C 6 = 20 种取法,选取的 3 个点与原点在同一
3

B1

B2 y

平面内的取法有 C 3 C 4 = 12 种,因此 V = 0 的概率为 P (V = 0) =
1 3

12 3 = . 20 5

(2) V 的所有可能取值为 0, , ,

1 1 2 4 , 因此 V 的分布列为 6 3 3 3

由 V 的分布列可得

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 EV = 0 × + × + × + × + × = ? 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40
【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概

率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特 征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率, 独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 19、 (本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB = AC = AA1 = 投影是线段 BC 的中点 O 。 (1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E ,使得 OE ⊥ 平面 BB1C1C ,并求出 AE 的长; (2)求平面 A1 B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值。

5 , BC = 4 , A1 在底面 ABC 的

A1 B1

C1

A O B

C

【解析】 (1)证明:连接 AO ,在 ?AOA1 中,作 OE ⊥ AA1 于点 E , 因为 AA1 // BB1 ,所以 OE ⊥ BB1 . 因为 A1O ⊥ 平面 ABC , 所以 A1O ⊥ BC. 因为 AB = AC , OB = OC ,所以 AO ⊥ BC.

BC ⊥ 平面 AA1O , BC ⊥ OE , OE ⊥ 平面 BB1C1C . AO = AB 2 ? BO 2 = 1 , AA1 = 5 ,

所以 AE =

AO 2 5 = . AA1 5

(2)如图分别以 OA, OB, OA1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,

则 A(1,0,0) , B (0,2,0) , C (0,?2,0) , A1 (0,0,2) .

4 2 1 AA, 得点 E 的坐标为 ( ,0, ) . 5 5 5 4 2 由(1)得平面 BB1C1C 的法向量 : OE = ( ,0, ) . 5 5
由 AE ≡= 设平面 A1 B1C 的法向量 n = ( x, y, z ) , 由?

? ? n ? AB = 0 ? ?n ? A1C = 0

得?

?? x + 2 y = 0 . ? y+z =0

令 y = 1, 得 x = 2, z = ?1 ,即 n = (1, 2, ?1) , 所以 cos OE , n =

OE ? n OE ? n

=

30 , 10 30 . 10

即平面 A1 B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值是

【点评】本题考查线面垂直,二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的 能力. 高考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直,平行有关的线 面关系的证明;二、考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等 角度问题.前两种考查多出现在第 1 问,第 3 种考查多出现在第 2 问;对于角度问题,一般有 直接法与空间向量法两种求解方法. 20、 (本题满分 13 分) 已知三点 O (0, 0) , A(?2,1) , B (2,1) ,曲线 C 上任意一点 M ( x, y ) 满足

| MA + MB |= OM ? (OA + OB) + 2 .
(1)求曲线 C 的方程; (2)动点 Q ( x0 , y0 )(?2 < x0 < 2) 在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 。问:是否存在定 点 P (0, t )(t < 0) ,使得 l 与 PA, PB 都相交,交点分别为 D, E ,且 ?QAB 与 ?PDE 的面积之 比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。

【解析】 (1)由 MA = ( ?2 ? x,1 ? y ) , MB = ( 2 ? x,1 ? y ) ,

MA + MB =
由已知得

( ?2 x ) + ( 2 ? 2 y )
2 2 2

2

, OM ? (OA + OB) = ( x, y ) ? ( 0, 2 ) = 2 y,

( ?2 x ) + ( 2 ? 2 y )
2

= 2 y + 2,

化简得曲线 C 的方程为 x = 4 y. (2)假设存在点 P(0, t )(t < 0) 满足条件, 则直线 PA 的方程为 y =

t ?1 1? t x + t , 直线 PB 的方程为 y = x + t. 2 2
? x0 x2 x2 ? x ? 0 , 它与 y 轴的交点为 F ? 0, ? 0 ? . 2 4 4 ? ?

曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为 y = 由于 ?2 < x0 < 2, 因此 ?1 <

x0 < 1. 2 x t ?1 1 t ?1 ①当 ?1 < t < 0 时, ?1 < . < ? ,存在 x0 ∈ ( ?2, 2 ) , ,使得 0 = 2 2 2 2 即 l 与直线 PA 平行,故当 ?1 < t < 0 时不符合题意. x 1? t x t ?1 ②当 t ≤ ?1 时, ≤ ?1 < 0 , ≥ 1 > 0 , 所以直线 l 与 PA, PB 一定相交. 2 2 2 2 1? t t ?1 ? ? y= x+t ?y = x+t ? ? ? 2 2 和? , 分别联立方程组 ? 2 2 ? y = x0 x ? x0 ? y = x0 x ? x0 ? ? ? ? 2 4 2 4
解得 D, E 的横坐标分别是

xD =

2 2 x0 + 4t x0 + 4t , xE = ,则 2 ( x0 + 1 ? t ) 2 ( x0 + t ? 1) 2 x0 + 4t

xE ? xD = (1 ? t )

2 x0 ? ( t ? 1)

2

,
2

2 2 x0 1 1 ? t ( x0 + 4t ) . ? ? t , 有 S ?PDE = FP xE ? xD = 又 FP = ? 2 2 8 ( t ? 1)2 ? x0 4 2 ? x 2 ? 4 ? x0 1 , S ?QAB = × 4 × ?1 ? 0 ? = 2 4 ? 2 ?
2 2 2 2 4 ? 2 ? ? ? 2 4 ( x0 ? 4 ) ? x0 ? ( t ? 1) ? 4 x0 ? ? 4 + ( t ? 1) ? x0 + 4 ( t ? 1) . = ? = ? 2 4 2 2 2 1? t 1 t x 8 tx 16 t ? + + 0 0 x 4 t + (0 )

于是

S?QAB S?PDE

对任意的 x0 ∈ ( ?2, 2 ) , 要使

S?QAB S?PDE

为常数,即只须 t 满足

?? ? 4 + ( t ? 1)2 ? = 8t S?QAB ? ? ? ,解得 t = ?1, 此时 = 2. ? 2 2 S?PDE ? ? = t t 4 1 16 ) ? (
故存在 t = ?1, 使得 ?QAB 与 ?PDE 的面积之比是常数 2. 【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨 论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程, 离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问 题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相 关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合 起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容. 21、 (本小题满分 14 分) 若函数 h( x) 满足 (1) h(0) = 1 , h(1) = 0 ; (2)对任意 a ∈ [0,1] ,有 h(h(a )) = a ; (3)在 (0,1) 上单调递减。

1? x p p 则称 h( x) 为补函数。已知函数 h( x) = ( ) (λ > ?1, p > 0) 。 1+ λ x p
(1)判函数 h( x) 是否为补函数,并证明你的结论; (2) 若存在 m ∈ [0,1] , 使得 h( m) = m , 称 m 是函数 h( x) 的中介元。 记p= 的中介元为 xn ,且 S ( x) =

1

1 ( n ∈ N + ) 时 h( x ) n

∑ x ,若对任意的 n ∈ N
i =1 i

n

+

,都有 S n <

1 ,求 λ 的取值范围; 2

(3)当 λ = 0 , x ∈ (0,1) 时,函数 y = h( x) 的图像总在直线 y = 1 ? x 的上方,求 p 的取值范 围。 【解析】 (1)函数 h( x) 是补函数.证明如下:

1? x p p 对于 h( x) = ( ) (λ > ?1, p > 0) , 1+ λ x p

1

? 1?1 ? p ? 1? 0 ? p h(0) = ? ? = 0; ? = 1 , h(1) = ? ? 1+ λ ? ? 1+ 0 ?
对任意 a ∈ [0,1] ,有

1

1

? 1? a p 1 ? 1 p ? 1? a p ? ? 1+ λa p h(h(a )) = h ? ( ) ?=? p p ? 1+ λa ? ? ? ? ? 1+ λ ? 1? a 1+ λa p ?
令 g ( x) = h ( x)

?p 1 ? ? (1 + λ ) a p ? p ? =? ? = a; + λ 1 ? ? ? ? ?

1

(

)

p

=
'

1? x p ,则 1+ λ x p

p ?1 p p p ?1 ? 1 ? x p ? ? px (1 + λ x ) ? (1 ? x )( λ px ) ? p (1 + λ ) x p ?1 = = g ( x) = ? . p ? p 2 p 2 ? 1+ λ x ? (1 + λ x ) (1 + λ x ) '

因为 λ > ?1, p > 0 ,所以当 x ∈ (0,1) 时, g ( x ) < 0, g ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,
'

1? x p p ) (λ > ?1, p > 0) 在 (0,1) 上单调递减. 故函数 h( x) = ( 1+ λ x p
(2)当 p =
2 1 1 (n ∈ N + ) 时,由 h( x) = x 得 λ x n + 2 x n ? 1 = 0 n n

1

?1? (i)当 λ =0 时,中介元 xn = ? ? ; ?2?
(ii)当 λ > ?1 且 λ ≠ 0 时,由 λ x n + 2 x n ? 1 = 0 得
2 1

xn =

1

1 1 1 ∈ ( 0,1) 或 x n = ? [ 0,1] ; 1+ λ +1 1? 1+ λ n

1 ? ? 因此得到中介元 xn = ? ? . ? 1+ λ +1? 1 ? ? 综合(i)、(ii),对任意的 λ > ?1 中介元为 xn = ? ? ( n ∈ N+ ). ? 1+ λ +1 ?
于是当 λ > ?1 时,有
n

1 1 ? ? Sn = ∑ ? ? = 1+ λ i =1 ? 1 + λ + 1 ?
n n

i

n ? ? 1 1 ? ? , ?1 ? ? ? ?< λ λ 1 1 1 + + + ? ? ? ? ? ?

1 1 ? ? , 当 n 无限增大时, ? ? 无限接近于 0 , Sn 无限接近于 1+ λ ? 1+ λ +1?

故对任意的 n ∈ N + , S n <

1 1 1 成立等价于 ≤ ,即 λ ∈ [3, +∞ ) . 2 1+ λ 2
p 1 p 1

? 1?p (3)当 λ = 0 时, h( x) = (1 ? x ) ,中介元 x p = ? ? , ?2?

1 ? 1?p 1 (i)当 0 < p ≤ 1 时, ≥ 1 ,中介元 x p = ? ? ≤ , 2 p ?2?
所以点 x p , h x p

1

(

( ) ) 不在直线 y = 1 ? x 的上方,不符合条件.
p 1 p

(ii)当 p > 1 时,依题意只须 (1 ? x ) > 1 ? x 在 x ∈ (0,1) 时恒成立, 即 x + (1 ? x ) < 1 在 x ∈ (0,1) 时恒成立.
p p

设 ? ( x ) = x + (1 ? x ) , x ∈ [ 0,1] ,
p p

? ' ( x ) = p ? x p ?1 ? (1 ? x )
?
由? ( x) = 0 得 x =
'

p ?1

?, ?

1 ? 1? ?1 ? ' ' ,且当 x ∈ ? 0, ? 时 ? ( x ) < 0 ,当 x ∈ ? ,1? 时 ? ( x ) > 0 , 2 ? 2? ?2 ?

又因为 ? ( 0 ) = ? (1) = 1, 所以 x ∈ (0,1) 时 ? ( x ) < 1 恒成立. 综上, p 的取值范围是 (1, +∞ ) . 【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义,函数与不等式的综合应用以及分类讨论,数 形结合的数学思想. 高考中,导数解答题一般有以下几种考查方向:一、导数的几何意义, 求函数的单调区间;二、用导数研究函数的极值,最值;三、用导数求最值的方法证明不等 式.


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