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2018-2019学年高中数学人教A版必修5课件:2.3等差数列的前n项和(44张)

【课标要求】 1.掌握等差数列的前 n 项和公式,了解推导等差数列前 n 项 和公式的方法——倒序相加法. 2.能够利用等差数列的前 n 项和公式进行有关的计算. 3.掌握等差数列前 n 项和的最值问题的解法. 4.掌握等差数列前 n 项和的性质及其应用. 5.理解 an 与 Sn 的关系,会利用这种关系解决有关的问题. 自主学习 |新知预习| 基础认识 1.数列前 n 项和的概念 a1+a2+…+an 为数列{an}的前 n 项和,记作 Sn. a1+a2+a3+…+an-1=Sn-1(n≥2). 2.等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 n?a1+an? n?n-1? 求和公式 Sn= Sn=na1+ 2 d 2 3.等差数列前 n 项和的主要性质 (1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列; (2)若 S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,公差为 d, S奇 an ①当项数为偶数 2n 时,S 偶-S 奇=nd, = ; S偶 an+1 S奇 n ②当项数为奇数 2n-1 时,S 奇-S 偶=an, = .S - = S偶 n-1 2n 1 (2n-1)an. |化解疑难| 1.对等差数列前 n 项和公式的理解 (1)等差数列的前 n 项和公式有两种形式,涉及 a1,an,Sn, n,d 五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答方 法就是解方程组. n?a1+an? (2)当已知首项 a1 和末项 an 及项数 n 时, 用公式 Sn= 2 来求,用此公式时常结合等差数列的性质. (3)当已知首项 a1 和公差 d 及项数 n 时,用公式 Sn=na1+ n?n-1? 2 d 来求和. 2.对等差数列前 n 项和性质的理解 (1)等差数列的前 n 项和是所有奇数项与所有偶数项的和, 我们可以根据等差数列的性质,得出结论. (2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题,要根据项数来分 析,当项数为奇数或偶数时,S 奇与 S 偶的关系是不相同的. |自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差,可求 S10.( √ ) (2)已知等差数列的首项、末项 a17,可求 S17.( √ ) (3)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+n+1,则数列{an}是等 差数列.( × ) 2.(教材同类改编)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+ a5=10,则它的前 10 项的和 S10 等于( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析:由 a2+a4=4,a3+a5=10,可得 d=3,a1=-4. 10×9 所以 S10=-40+ 2 ×3=95. 答案:C 3.(教材同类改编)等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35, 则 a1 等于( ) A.5 或 7 B.3 或 5 C.7 或-1 D.3 或-1 ? ?an=11, 解析:由? ? ?Sn=35, ?a1+2?n-1?=11, ? 即? n?n-1? na + 2 ×2=35. ? ? 1 ? ?n=5, 解得? ? ?a1=3, ? ?n=7, 或? ? ?a1=-1. 故选 D. 答案:D ( S4 1 S8 4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若S =3,则S 等于 8 16 ) 3 1 A.10 B.3 1 1 C.9 D.8 解析:设 S4=m(m≠0),则 S8=3m,所以 S8-S4=2m,由等 差数列的性质知,S12-S8=3m,S16-S12=4m,所以 S16=10m, S8 3 故S =10. 16 答案:A 5.(北京卷)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1 =6,a3+a5=0,则 S6=________. 解析:∵a3+a5=2a4,∴a4=0. ∵a1=6,a4=a1+3d,∴d=-2. 6×?6-1? ∴S6=6a1+ d=6. 2 答案:6 课堂探究 互动讲练 类型一 等差数列前 n 项和的基本运算 [例 1] (1)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1 25 ; =1,a4=7,则 S5=________ (2)已知{an}是等差数列, Sn 为其前 n 项和, n∈N*.若 a3=16, 110 . S20=20,则 S10 的值为________ 【解析】 (1)设{an}的公差为 d,依题意有 a1+3d=7, 而 a1=1, 所以 d=2. 5×4 5×4 于是 S5=5a1+ 2 d=5×1+ 2 ×2=25. (2)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, a +2d=16, ? ? 1 依题意可得? 20×19 20 a + ? 2 d=20, ? 1 ? ?a1+2d=16, 即? ?2a1+19d=2, ? ? ?a1=20, 解得? ? ?d=-2. 10×9 因此 S10=10a1+ 2 d 10×9 =10×20+ 2 ×(-2) =110. 方法归纳 a1,n,d 称为等差数列的三个基本量,an 和 Sn 都可以用这 三个基本量来表示,五个量 a1,n,d,an,Sn 中可知三求二,即 等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题, 一 般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)求解,这种方法 是解决数列问题的基本方法, 在具体求解过程中应注意已知与未 知的联系及整体代换思想的运用. 跟踪训练 1 已知等差数列{an}中: 3 1 (1)a1=2,d=-2,Sm=-15,求 m 及 am; (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d; 3 m?m-1? ? 1? ?- ?=-15, 解析:(1)因为 Sm=m×2+ × 2 ? 2? 整理,得 m2-7m-60=0, 解得 m=1