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【轻松突破120分】2014高考数学精炼6 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 6
【选题明细表】 知识点、方法 几何体的表面积 几何体的体积 几何体的展开与折叠 与球有关的问题 题号 2、8、12 1、3、4、5、9、11、12 6、7 10

一、选择题 1.(2013 重庆青木关中学高三月考)如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为 全等的等腰直角三角形,且直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为( A )

(A) (B) (C) (D)1 解析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,如图为该三棱锥的直观图, 三棱锥的底面是一个腰长是 1 的等腰直角三角形,

∴底面的面积是 ×1×1= . 垂直于底面的侧棱长是 1,即高为 1, ∴三棱锥的体积是 × ×1= . 故选 A. 2.一个斜三棱柱(侧棱与底面不垂直),底面是边长为 5 的正三角形,侧棱长为 4,侧棱与底面三 角形两边所成的角都是 60°,则这个斜三棱柱的侧面积是( B ) (A)40 (B)20(1+ ) (D)30 )

(C)30(1+

-1-

解 析 : 如 图 所 示 , 若 ∠ A1AC= ∠ A1AB=60°, 则 可 证 明 ? BB1C1C 为 矩 形 , 因 此 ,S =2 + =2×4×5×sin 60°+4×5=20(1+ ).故选 B.



3. (2013 宜宾高三综合考试)如图所示,在三棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P,Q 满足 A1P=BQ,过 P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( B )

(A)3∶1 (C)4∶1 (D)

(B)2∶1 ∶1

解析:考查点 P、Q 特殊位置时的情况:当 P 与 A 点重合,点 Q 与 B1 点重合,设底面 ABC 的面积为 S,三棱柱高为 h,则 = Sh= ,∴截面所分成两部分体积比为 2∶1.故选 B.

4.(2013 成 都 高 三 检 测 )P 为 矩 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 , 且 PA ⊥ 平 面 ABCD,PB=2 ,PC= ,PD= ,则四棱锥 PABCD 的体积等于( B )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)12 解析:在 Rt△PBC 中,BC=3, 在 Rt△PCD 中,CD=2, 在 Rt△ABC 中,AC= 在 Rt△PAC 中,PA=2, ∴V= ×3×2×2=4. 故选 B. 3 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm )为( A ) ,

-2-

(A)π + (B)2π +

(C)2π +

(D)π +

解析:由三视图想象其直观图如图,该组合体上部是一个三棱锥,下部是一圆柱.由图中数据知

V 圆柱=π ×1 ×1=π . 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为 2 的等边三角形,故其高即为三棱锥的高,高为 为 . ,底面三角形的面积 ,故棱锥高

2

由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为 2,故两直角边长度都是

是 ×

×

=1.

故 V 棱锥= ×1×

= ,故该几何体的体积是π + .故选 A.

6. (2012 北京市朝阳区高三上学期期末)已知正方形 ABCD 的边长为 2

,

将△ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC⊥平面 ACD,得到如图所示的三棱锥 BACD.若 O 为 AC 边 的中点,M,N 分别为线段 DC,BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 NAMC 的体 积 y=f(x)的函数图象大致是( B )

-3-

解析:等腰△ABC 中,O 为 AC 的中点,∴OB⊥AC. 又因 OB? 平面 BAC,且平面 ABC⊥平面 ACD, ∴OB⊥平面 ACD,∴三棱锥 NAMC 的高为 NO, Rt△ABC 中,AB=BC=2 ,∴OB=2,∴NO=2-x,

S△AMC= x·2

=

x,



= (2-x)·

x= (-x +2x),

2

即 f(x)= (-x +2x)(0<x<2).故选 B. 二、填空题 7.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角 形组成,则该多面体的体积是 .

2

解析:易知该几何体是正四棱锥. 设正四棱锥 PABCD,连接 BD,

由 PD=PB=1,BD=

,则 PD⊥PB.

设底面中心 O,则四棱锥高 PO= ,

-4-

则其体积是 V= Sh= ×1 × = .

2

答案: 8.如图所示,BD 是边长为 3 的正方形 ABCD 的对角线,将△BCD 绕直线 AB 旋转一周后形成的几

何体的体积等于

.

解析:旋转后形成的几何体是一个圆柱体挖去一个倒置的圆锥 ,其中圆柱、圆锥的底面半径、 高均为 3,所以 V=V 柱体-V 锥体=π ×3 ×3- ×π ×3 ×3=18π . 答案:18π 9.(2013 成都外国语学校高三月考)已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等且为 1,A1 在 底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心 O,则三棱柱 ABCA1B1C1 体积等于 . 解析:∵△ABC 为正三角形, 且边长为 1,
2 2

∴AO= × = ,

∴A1O=

=

= ,



= ×1 × = .

2

答案:

-5-

10.已知一个空间几何体的三视图如图所示 ,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上 , 则这个球的表面积是 .

解析:由三视图可知,这个空间几何体是一个各棱长都为 2 的正三棱柱,如图所示,其中 O1、O2 是上、下底面的中心 ,O 是上下底面中心的连线的中点 , 则 OA 就是其外接球的半径 , 故

OO2=1,O2A=

,所以 OA =1+ = ,故其外接球的表面积是 4π × =

2

.

答案: 三、解答题 11.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 (1)所示.墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH(底 面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心),下半部分是长方体 ABCDEFGH.图(2)、图 (3)分别是该标识墩的正视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)求该安全标识墩的体积. 解:(1)侧视图如图所示.

(2)该安全标识墩的体积

-6-

V=
2

+
2

= ×40 ×60+40 ×20 =32000+32000=64000(cm ). 12.如图所示,在边长为 5+ 的正方形 ABCD 中,以 A 为圆心画一个扇形,以 O 为圆心画一个
3

圆,M,N,K 为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆 O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与 体积.

解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h, 由已知条件 ,

解得 r=

,l=4
2

,

S=π rl+π r =10π , h= = ,

V= π r h=

2

.

-7-


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