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【高中数学】2018最新北师大版高中数学必修三学案:第三章 疑难规律方法:第三章 概率

1 辨析频率与概率 概率与频率虽只有一字之差,但意义大不相同,同时二者之间又有一定的联系.下面和同学 们一起认识一下这对“孪生兄弟”. 一、频率与概率的区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的 比.频率是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不 一定相同.而概率是一个确定的值,是客观存在的,与每次试验无关,与试验次数也无关. 例 1 连续抛掷一枚硬币 10 次,落地后正面向上出现了 6 次,设“抛一次硬币,正面向上” 为事件 A,则下列说法正确的有________. 3 ①P(A)= ; 5 3 ②P(A)≈ ; 5 ③再连续抛掷该硬币 10 次,落地后出现正面的次数还是 6; 3 ④事件 A 发生的频率为 ; 5 ⑤无论哪一次抛,硬币落地后正面向上的概率相同. 1 解析 ④⑤正确.在一次试验中,事件 A 发生的概率为 ,再连续抛掷该硬币 10 次,落地后 2 出现正面的次数不确定. 答案 ④⑤ 点评 频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别. 二、频率与概率的联系 1.在大量重复进行同一试验时,频率总是在某个常数附近摆动.由于事件的随机性,有时 候频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形,但随着试验次数的增加,这种情形出现的可 能性会减小.概率是频率的稳定值,可看作是频率在理论上的平均值,它从数量上反映了随 机事件发生的可能性的大小. 2.在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以确切的得到,因此我们常常通过大量的重 复试验,用随机事件发生的频率来估计概率. 例 2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、 白两种颜色的小球, 某学习小组做摸球试验, 每次从袋中摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀后再摸.试验的部分数据如下表: 摸球次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 30 6 0.300 60 90 25 120 31 150 38 180 45 210 53 270 67 0.247 300 (1)将表格补充完整;(所求频率保留 3 位小数) (2)估计从中随机摸一个球,求摸到红球的概率 P.(保留 2 位小数) 解 (1)第二行依次填:18,74. 第三行依次填:0.200,0.278,0.258,0.253,0.250,0.252,0.248. (2)由(1)知,虽然抽取次数不同,所得频率值不同,但随试验次数的增加,频率在常数 0.250 附近摆动, 故 P≈0.25. 点评 只有当频率值在某一常数附近摆动时,才能将此常数近似看作该事件发生的概率.现 实生活中很多事件的概率是难以确切得到的,鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在 一定的规律性,故一般通过大量的重复试验,用随机事件的频率来估计概率. 2 概率加法公式应用点拨 概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式,根据它可以计算一些复杂事件的概率.概 率的加法公式可推广为若事件 A1,A2,…,An 彼此互斥(两两互斥),则 P(A1+A2+…+An) =P(A1)+P(A2)+…+P(An),即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和.用此 公式时,同学们首先要判断事件是否互斥,如果事件不互斥,就不能用此公式.下面举例说 明概率加法公式的应用. 一、计算互斥事件和的概率 例 1 由经验得知,某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表: 排队人数 概率 0 0.10 1 0.16 2 0.30 3 0.3 4 0.10 5 人以上 0.04 求:(1)至多 2 人排队的概率; (2)至少 2 人排队的概率. 解 (1)记“没有人排队”为事件 A,“1 人排队”为事件 B,“2 人排队”为事件 C,则 A, B,C 彼此互斥. P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.10+0.16+0.30=0.56. (2)记“至少 2 人排队”为事件 D,“少于 2 人排队”为事件 A+B,那么事件 D 与事件 A+ B 是对立事件,则 P(D)=P( A+B )=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.10+0.16)=0.74. 点评 应用概率加法公式求概率的前提有两个:一是所求事件是几个事件的和,二是这几个 事件彼此互斥.在应用概率加法公式前,一定要弄清各事件之间的关系,把一个事件分拆为 几个彼此互斥的事件的和,再应用公式求解所求概率. 二、求解“至少”与“至多”型问题 例 2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试,已知恰有 1 人过关(事件 A)的概率为 0.198, 恰有 2 人过关(事件 B)的概率为 0.38,恰有 3 人过关(事件 C)的概率为 0.302,4 人都过关(事件 D)的概率为 0.084.求: (1)至少有 2 人过关的概率 P1; (2)至多有 3 人过关的概率 P2. 分析 “至少有 2 人过关”即事件 B+C+D.“至多有 3 人过关”即事件 A、 B、 C 与事件“4 人均未过关”的并事件,其对立事件为 D.(注意“4 人均未过关”这种可能情况) 解 由条件知,事件 A、B、C、D 彼此互斥. (1)P1=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.766. (2)P2=P( D )=1-P(D)=1-0.084=0.916. 点评 处理“至多”、“至少”型问题,即可以分情况讨论,也可以从反面考虑,即借助对 立事件的概率间接求解.当事件包含的情况较多时,常利用 P(A)=1-P( A )求 P(A). 三、列方程求解概率问题 例 3 某班级同学的血型分别为 A 型、B 型、AB 型、O 型,从中任取一名同学,其血型为 AB 型的概率为 0.09,为 A 型或 O 型的概率为 0.61,为 B 型或 O 型的概率为 0.6,试求任取 一人,血型为 A 型、B 型、O 型的概率各是多少? 分析 设出所求事件的概率,将题中涉及到的事件用所求事件表示出来,借助这些事件的概 率及公式,列方程求解即可.

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