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高中数学会考知识点总结


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高中数学会考知识点总结 高中数学会考知识点总结
一、集合与常用逻辑用语及算法初步 一、集合与常用逻辑用语及算法初步
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 常用数集:自然数集 N 、正整数集 N 或 N + 、整数集 Z 、有理数集 Q 、实数集 R 。
*

子集、真子集、补集 交集、并集 逻辑联结词:或 (∨ ) 、且 (∧ ) 、非 (?) 。 复合命题三种形式: p 或 q ; p 且 q ;非 p 。 判断复合命题的真假:

p 或 q :同假为假,否则为真; p 且 q :同真为真;非 p :与 p 真假相反。
四种命题: 原命题:若 p 则 q ;逆命题:若 q 则 p ;否命题:若 ?p 则 ?q ;逆否命题:若 ?q 则 ?p 。 原命题与逆否命题互为逆否命题;逆命题与否命题互为逆否命题。 互为逆否的两个命题是等价的。 反证法步骤:假设结论不成立 → 推出矛盾 → 否定假设。 充分条件与必要条件: 若 p ? q ,则 p 叫做 q 的充分条件; 若 q ? p ,则 p 叫做 q 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 叫做 q 的充要条件。 三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。

二、基本初等函数 二、基本初等函数
映射、函数 函数的定义域、值域、区间(闭区间、开区间、半开半闭区间) 求函数的定义域: 分式的分母不等于 0; 偶次根式的被开方数大于等于 0; 对数的真数大于 0, 底数大于 0 且不等于 1; 零次幂的底数不等于 0;三角函数中的正切函数 y = tan x , x ≠ kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ;已知函数 f (x)

定义域为 D ,求函数 f [ g ( x )] 的定义域,只需 g ( x ) ∈ D ;已知函数 f [ g ( x )] 的定义域为 D ,求函
1

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数 f (x ) 定义域,只需要求 g (x ) 的值域 ∈ D 。 年高考 3 年模拟 p5 ,例 2) (5 函数的单调性、单调区间、函数的最大值与最小值 函数的奇偶性 偶函数的图像关于 y 轴对称,奇函数的图像关于原点对称。 指数、分数指数幂 : 有理指数幂的运算性质 a > 0,b > 0,r,s ∈ Q ) a ? a = a (
r s r+s

;( a r ) s = a rs ;(ab) r = a r b r 。

对数:如果 a = N ( a > 0,a ≠ 1) ,数 x 就叫做以 a 为底 N 的对数,记为 log a N = x ,其中 a 叫
x

做底数, N 叫做真数( a

log a N

=N) 。

积、商、幂、方根的对数( M , N 是正数) :

log a ( MN ) = log a M + log a N ; log a

M = log a M ? log a N ; log a M n = n log a M 。 N

常用对数:以 10 为底的对数叫做常用对数, log10 N 通常写成 lg N 。 自然对数:以 e 为底的对数叫做常用对数, log e N 通常写成 ln N 。 指数函数、对数函数的定义、图像和性质( p 20 ) 幂函数的定义、图像和性质( p 21 ) 函数的零点:使 f ( x ) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f ( x ) 的零点;方程 f ( x ) = 0 有实根 ? 函数

y = f ( x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y = f ( x) 有零点。
函数有零点的判定: 如果函数 y = f ( x ) 在区间 [ a,b] 上的图像是连续不断的一条曲线,并且 f ( a ) ? f (b) < 0 ,那么函 数 y = f ( x ) 在区间 ( a,b) 内有零点,即存在 c ∈ ( a,b) ,使得 f (c ) = 0 。这个 c 也就是方程

f ( x) = 0 的根。

三、三角函数与三角恒等变换 三、三角函数与三角恒等变换
正角、负角和零角;与角 α 终边相同的角的表示;象限的角 弧度制: 1 = (
o

π
180

180 o )rad ; 1rad = ( ) ≈ 57.30 o = 57 o18' 。

π

圆弧长公式: l =| α | r ( α 为圆弧所对的圆心角的弧度数) 。 任意角的三角函数: sin α = 三角函数的定义域、值域 三角函数值在每个象限的符号:

y x y , cos α = , tan α = 。 r r x

sin α (+, , ,) ; cos α (+, , ,) ; tan α (+, , ,) 。 + ? ? ? ? + ? + ?
2

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同角三角函数的基本关系式: sin α + cos α = 1 ;
2 2

sin α = tan α 。 cos α

三角函数的诱导公式(记忆规律:奇变偶不变,符号看象限) 三角函数的图像和性质( p32 ~ 33 ) 最小正周期: y = A sin(ωx + ? ) 、 y = A cos(ωx + ? ) 函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图像:振幅变换、周期变换、平移变换 两角和与差的正弦、余弦、正切:

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ;

tan(α ± β ) =

tan α ± tan β 。 1 m tan α tan β

二倍角的正弦、余弦、正切:

sin 2α = 2 sin α cos α ; cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α ; tan 2α = 2 tan α 。 1 ? tan 2 α

化特殊式子: a sin x + b cos x 为一个角的三角函数形式,例如: cos x + 3 sin x = 2 sin( x + 斜三角形的解法: 正弦定理: 余弦定理:

π
6

)。

a b c = = 。 sin A sin B sin C

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc ? cos A , b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac ? cos B , c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab ? cos C 。
三角形的面积公式: S ?ABC =

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 。 2 2 2

四、不等式
不等式的基本性质( p 43 ) 比较两个数或式的大小,一般步骤是: 作差——变形——与 0 比较大小;或者作商——变形——与 1 比较大小。 解一元二次不等式的一般步骤( p 43 ) 二元一次不等式(组)与平面区域( p 44 ) 基本不等式:
3

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若 a,b ∈ R ,则 a + b ≥ 2ab ;
2 2

若 a , b 为正数,则 ab ≤

a+b ,当且仅当 a = b 时取等号。 2

利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值和最小值

五、数列

(n = 1) ? S1 a n 与 S n 的关系: a n = ? ?S n ? S n?1 (n > 1)
等差数列的通项公式: a n = a1 + ( n ? 1) d 。 等差中项: a , A , b 组成等差数列, A 叫做 a 与 b 的等差中项; a + b = 2 A 。 等差数列的前 n 项和公式: S n =

n(a1 + a n ) n(n ? 1) = na1 + d。 2 2

等差数列的常用性质: a n = a m + ( n ? m) d ;若 m + n = p + q ,则 a m + a n = a p + a q 。 等比数列的通项公式: a n = a1 q
n ?1


2

等比中项: a , G , b 成等比数列, G 叫做 a 与 b 的等比中项; ab = G 。

? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ≠ 1) ? = 等比数列的前 n 项和公式: S n = ? 1 ? q 1? q (q = 1) ? na 1 ?
等比数列的常用性质: a n = a m q
n?m

;若 m + n = p + q ,则 a m ? a n = a p ? a q 。

六、导数及其应用
导数的几何意义:函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数 f ' ( x 0 ) 的几何意义,就是曲线 y = f (x ) 在点

( x,f ( x 0 )) 处的切线的斜率,即 k = f ' ( x0 ) 。
导函数 基本初等函数的导数公式:

(c)' = 0 ; (( x) n )' = nx n ?1 ; (sin x)' = cos x ; (cos x)' = sin x ; (a x )' = a x ln a ; (e x )' = e x ; (log a x)' =
导数的运算法则( p 61 ) 复合函数的求导法则: y = f ( g ( x)) ,则 y ' = y ' u ?u ' x 。 用导数判断函数的单调性:在某个区间 ( a,b) 内,如果 f ' ( x) > 0 ,那么函数 y = f (x ) 在这个区 间内单调递增;如果 f ' ( x ) < 0 ,那么函数 y = f (x ) 在这个区间内单调递减。
4

1 1 ; (ln x )' = 。 x ln a x

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求函数 y = f (x ) 的极值的方法( p 61 ) 求函数 y = f (x ) 在 [ a,b] 上的最大值与最小值的步骤( p 61 )

七、数系扩充、推理与证明
i 2 = ?1
a + bi = c + di ( a,b,c,d ∈ R )的充要条件是: a = c 且 b = d 。
复数的分类:

a + bi = c + di (a,b ∈ R ) : b = 0 时,为实数; b ≠ 0 时,为虚数( a = 0 且 b ≠ 0 时,为纯虚数; a ≠ 0 且 b ≠ 0 时,为非纯虚数)
共轭复数: z = a + bi = a ? bi ( a,b ∈ R ) 复平面、实轴、虚轴 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系; 复数集 C 和复平面内的向量所成的集合也是一一对应关系。 复数的模: | z |=| a + bi |=

a2 + b2

复数的代数形式的四则运算( p 69 ) 复数加减法运算的几何意义( p 69 ) 三段论:大前提: M 是 P ;小前提: S 是 M ;结论: S 是 P 。 综合法、分析法 反证法( p 70 ) 数学归纳法的步骤( p 70 )

八、平面向量
向量、向量的模( | a | ) 相等向量和共线向量(平行向量也叫做共线向量) 向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则( p 78 ) 向量减法的几何意义( p 79 ) 向量的数乘运算 向量共线的条件:向量 a 与非零向量 b 共线,当且仅当唯一一个实数 λ ,使得 b = λ a 。 向量的夹角
5

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平面向量的坐标运算: 设 a = ( x1,y 1 ) , b = ( x 2,y 2 ) ,则 a + b = ( x1 + x 2,y 1 + y 2 ) , a ? b = ( x1 ? x 2,y 1 ? y 2 ) 。 平面向量共线的坐标表示: 设 a = ( x1,y 1 ) , b = ( x 2,y 2 ) , b ≠ 0 ,则 a , b 共线( a ∥ b )的充要条件是 x1 y 2 ? x 2 y 1 = 0 。 平面向量的数量积: a ? b =| a || b | cos θ 。 向量垂直的条件:设 a = ( x1,y 1 ) , b = ( x 2,y 2 ) ,则向量 a , b 垂直当且仅当 x1 x 2 + y 1 y 2 = 0 。

九、立体几何
棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由 这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。 圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台。 棱台与圆台统称为台体。 投影、三视图 斜二测画法的步骤( p87 ) 。 。 几何体的表面积和体积公式( p88 ) 点 A 在平面 α 内,记作 A ∈ α ;点 A 不在平面 α 内,记作 A ? α 。 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 典型结论 1:经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。 典型结论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。 典型结论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这 个公共点的直线。 空间两直线的位置关系:相交、平行、异面。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 异面直线所成的角(取值范围 (0, ] )

π

2

异面直线垂直 直线与平面的位置关系:直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行。
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平面和平面的位置关系:平行、相交。 直线和平面平行的判定定理: 平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行,则该直线和此平面平行。 平面和平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面互相平行。 直线和平面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 平面和平面平行的性质定理: 如果两个平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 直线与平面垂直:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们 就说这条直线和这个平面互相垂直,其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂 足。 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 直线和平面所成的角(取值范围 [0, ] )

π

2

二面角 二面角的平面角:过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA , OB ,则

∠AOB 叫做二面角 α ? l ? β 的平面角。 (取值范围 [0,π ) ,二面角的平面角为直角时,称为直二
面角) 平面与平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 空间两点的距离公式: 空间两点 P1 ( x1 ,y1,z1 ) , P2 ( x 2 ,y 2,z 2 ) ,则 | P1 P2 |=

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 + ( z1 ? z 2 ) 2 。

十、直线和圆的方程
倾斜角(倾斜角 α 的取值范围是 0 ≤ α < 180 )
o o

斜率: k = tan α ;过 P1 ( x 1 ,y1 ) , P2 ( x 2 ,y 2 ) 的直线的斜率 k =

y 2 ? y1 ( x 2 ≠ x1 ) 。 x 2 ? x1
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两直线平行或垂直的判定( p101 ) 直线的几种形式: 点斜式: y ? y 0 = k ( x ? x0 ) 斜截式: y = kx + b 两点式: 截距式:

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x 2 ? x1
x y + =1 a b

一般式: Ax + By + C = 0 直线的交点坐标:联立直线方程进行求解。 两点间的距离: 已知平面上两点 P1 ( x 1 ,y1 ) , P2 ( x 2 ,y 2 ) ,则 | P1 P2 |= 点到直线的距离: 点 P ( x 0 ,y 0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离 d = 两平行直线的距离: 已知两条平行直线 l1 和 l 2 的一般式方程 l1:Ax + By + C1 = 0 ,l 2:Ax + By + C 2 = 0 , l1 与 l 2 的 则 距离 d =

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 。

| Ax0 + By 0 + C | A2 + B 2



| C1 ? C 2 | A2 + B 2



平面上两点连线的中点坐标公式: 平面上两点 P1 ( x 1 ,y1 ) , P2 ( x 2 ,y 2 ) ,线段 P1 P2 的中点为 P (

x1 + x 2 y1 + y 2 , )。 2 2

圆的标准方程: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ,圆心为 ( a,b) ,半径为 r ( r > 0) 。 圆的一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 ? 4 F > 0) ,圆心为 ( ?

D E , ) ,半径为 ? 2 2

r=

D 2 + E 2 ? 4F 。 2

圆的直径式方程:

( x ? x1 )( x ? x 2 ) + ( y ? y1 )( y ? y 2 ) = 0 (圆的直径的端点是 A( x1 ,y1 ) , B( x 2 ,y 2 ) ) 。
点与圆的位置关系:根据点到圆心的距离与半径 r 的大小关系进行判断。 直线与圆的位置关系:根据圆心到直线的距离与半径 r 的大小关系进行判断。 。 圆与圆的位置关系:根据圆心距与半径 r1 和 r2 的大小关系进行判断(5 种情况)

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十一、圆锥曲线
椭圆:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a (2a >| F1 F2 |= 2c) 的点的轨迹叫做椭圆。 若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF1 | + | MF2 |= 2a 。 椭圆的标准方程:

x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0) (焦点在 x 轴上) ,或 2 + 2 = 1 (a > b > 0) (焦点在 y 轴上) 。 a2 b a b
离心率: e =

c ,0 < e < 1。 a

双曲线:平面上与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于非零常数 2a ( 2a <| F1 F2 |= 2c) 的动 点的轨迹是双曲线。若 P 为双曲线上任意一点,则有 | PF1 | ? | PF2 | = 2a 。 双曲线的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 = 1 (a > 0,b > 0) (焦点在 x 轴上) ,或 2 ? 2 = 1 ( a > 0,b > 0) (焦点在 y 轴上) 。 a2 b a b
离心率: e =

c , e > 1。 a

b x2 y2 渐近线: y = ± x 叫做双曲线 2 ? 2 = 1 的渐近线。 a a b


x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1 (a > 0,b > 0) 有共同渐近线的双曲线方程为 2 ? 2 = k (k ≠ 0) a2 b a b

等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 抛物线:平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。 抛物线的标准方程: y 2 = 2 px (焦点坐标 ( ,) ,准线方程: x = ? 0

p 2

p ) ; 2

p p x 2 = 2 py (焦点坐标 (0, ) ,准线方程: y = ? ) 。 2 2
如果直线与抛物线的交点为 A( x1,y1 ) , B ( x 2,y 2 ) , 则弦长 | AB |=

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = 1 + k 2 | x1 ? x 2 |= 1 +

1 | y1 ? y 2 | , k2

| x1 ? x 2 |= ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 , | y1 ? y 2 |= ( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 。

十二、计数原理、概论统计
系统抽样、分层抽样 频率分布直方图 茎叶图
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中位数、众数 均值、方差

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