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选修2-2模块测试题数学理科


选修 2-2 模块测试题数

学(理科)

山西省朔州市应县四中 朱强基 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.请把正确答案填在二题后的表格中,若不按要求填入则不计分。)

1.设函数 y ? f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 ?? x 时,函数值的改变量 ? y 等于 (A) f ( x0 ?? x) (C) f ( x0 ) ?? x
2

(B) f ( x0 ) ?? x (D) f ( x0 ?? x) ? f ( x0 )

2.函数 y=x cosx 的导数为( ) 2 (A) y′ =2xcosx-x sinx (B) y′ =2xcosx+x2sinx (C) y′ =x2cosx-2xsinx (D) y′ =xcosx-x2sinx 3.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (C)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 (D)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值
4.函数f ( x) ? 3x ? 4 x3 ( x ? [0,1])的最大值是( ( A)1 ( B) ) 1 (C )0 ( D) ? 1 2 5.设函数 f ( x), g ( x) 在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则当 a ? x ? b 时,有( ) (A) f ( x) ? g ( x) (B) f ( x) ? g ( x) (C) f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) (D) f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? g (b) 6.某个命题与正整数有关, 若当 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立, 那么可推得当 n ? k ? 1 时 该命题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( ) (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (B)当 n ? 6 时,该命题成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

4 1 3 5 2 f ( x) (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 10.已知 f ( x) 是定义在 R 上偶函数且连续,当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,若 f (lg( x)) ? f (1), ,则 x 的取值范围是 ( ) 1 1 (A) ( ,1) (B) (0, ) ? (1,??) 10 10 1 (C) ( ,10) (D) (0,1) ? (10,??) 10 11.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除” ,在第二步时,正 确的证法是( ) (A)假设 n ? k (k ? N * ) ,证明 n ? k ? 1 命题成立 (B)假设 n ? k (k为正奇数) ,证明 n ? k ? 1 命题成立 (C)假设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) ,证明 n ? k ? 1 命题成立 (D)假设 n ? k (k为正奇数) ,证明 n ? k ? 2 命题成立 12.给出以下命题: ⑴若 ? f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0;
a b
2? 0

⑵?

sin xdx ? 4 ;
a 0 a ?T T

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 ? f ( x)dx ? ?

f ( x)dx ;

其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 (1 ? i )(1 ? i ) 13. 复 数 在 复 平 面 中 所 对 应 的 点 到 原 点 的 距 离 是 i _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ ; 14.已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2? f (t )dt ,则 f ( x) =_______.
0 1

7. ? 0 ( 1 ? ( x ? 1) 2 ? x )dx = ( ) ? ? ? 1 ? 1 (A) 2 ? (B) ? 1 (C) ? (D) ? 2 2 2 2 4 2 2 8.若复数 (a ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i(a ? R) 不是纯虚数,则 a 的取值范围是( ) (A) a ? ?1 或 a ? 2 (B) a ? ?1 且 a ? 2 (C) a ? ?1 (D) a ? 2 9.设函数 f 定义如下表,数列{ x n } 满足 x0 ? 5 ,且对任意自然数均有 xn?1 ? f ( xn ) ,则 x2004 的值为( x ) 1 2 3 4 5

1

15.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比 上述命题,可以得到命题:“___________ ________________”这个类比命题的 真假性是________ 16. .设 a ? 0 ,f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的倾斜角 ? 的 ? 取值范围为 [0, ] ,则点 P 到曲线 y ? f ( x) 对称轴的距离的取值范围为 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 答案 D A B A C D D C D C D B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17(10 分). 一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/秒)的速度 作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程? 解:该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程

证明 : (1)当n ? 1时, 左边 ? 12 ? 22 ? ?3, 右边 ? ?1? (2 ? 1) ? ?3 左边 ? 右边 ?当n ? 1时等式成立 (2)假设n ? k时等式成立, 即12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2k ? 1) 2 ? (2k ) 2 ? ? k (2k ? 1)成立, 那么n=k+1时 左边=12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2k ? 1) 2 ? (2k ) 2 ? [2( k ? 1) ? 1]2 ? [2( k ? 1)]2 ? ?k (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1]2 ? [2( k ? 1)]2 ? ?k (2k ? 1) ? (2k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) 2 ? (2k ? 1)[(2k ? 1) ? k ] ? 4( k ? 1) 2 ? (2k ? 1)(k ? 1) ? 4(k ? 1) 2 ? (k ? 1)[(2k ? 1) ? 4(k ? 1)] ? (k ? 1)(?2k ? 3) ? ?(k ? 1)[2(k ? 1) ? 1]
综合(1) 、 (2)可知等式 12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? (2n) 2 ? ?n(2n ? 1) 对于任意正 整数都成立。 20 . ( 12 分 ) 已 知 正 数 a, b, c, d 满 足 a ? b ? c ? d ,且 a? c? d ? b ,求证:

s ? ? (2t ? 3)dt ? (t ? 3t ) | ? 10
2 0 5 0

5

18. (本小题满分 12 分) 证明在复数范围内,方程 | z |2 ?(1 ? i ) z ? (1 ? i ) z ?
单位)无解。

5 ? 5i ( i 为虚数 2?i

证明:设这个方程有复数根为 z ? x ? yi( x, y ? R) ,则应有 5(1 ? i)(2 ? i) x 2 ? y 2 ? (1 ? i )( x ? yi ) ? (1 ? i )( x ? yi ) ? 22 ? 12 化简得 x2 ? y 2 ? 2( x ? y)i ? 1 ? 3i
根据复数相等得

? x 2 ? y 2 ? 1??? (1) ? ? 3 ? x ? y ? ??? (2) ? 2 3 5 由式(2)得 y ? ? x 代入式(1)得, 2 x 2 ? 3 x ? ? 0?? (3) 2 4 5 ? ? ? (?3) 2 ? 4 ? 2 ? ? 9 ? 10 ? ?1 ? 0 ,故式(3)无实根,即 x 不是实数与假设矛盾。 4 5 ? 5i 2 所以方程 | z | ?(1 ? i ) z ? (1 ? i ) z ? 没有复数根。 2?i 19(12 分).用数学归纳法证明: 12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? (2n) 2 ? ?n(2n ? 1)

a? b? c? d 证明:要证明 a ? b ? c ? d 需证明 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2
需证明 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd 考虑 a ? b ? c ? d ,故需证明 ab ? cd 需证明 ab ? bc ? cd ? bc 需证明 b(a ? c) ? c(d ? b) 考虑 a ? b ? c ? d ,即 (a ? c) ? (d ? b) 需证明 (a ? c)(b ? c) ? 0 考虑 a ? c ? 0 ,需证明 b ? c ? 0 而 b ? c ? 0 显然成立, ? a ? b ? c ? d 成立. 证毕。 PM ? BB1 21. (本小题满分 14 分)如图, 点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点, 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理: DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE . 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,

写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并予以证明. (证明略) 1 22(12 分).已知函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 2 (1)求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值和最小值. (2)求证:在区间[1,+ ?) ,函数 f ( x) 的图象,在函数 g ( x) ? 下方。
2 3 x 的图象 3

1 2 1 x ? ln x,? f '( x) ? x ? 2 x ? x ? 0 ? f '( x) ? 0 解:(1)? f ( x) ? ? f ( x)在(0, ??)是增函数,即在[1, e]是增函数 1 e2 ? x ? 1时f ( x)取最小值为 , x ? e时取最大值为 ? 1 2 2 1 2 2 3 (2) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? x 2 3 1 1 ? f '( x) ? g '( x) ? ?2 x 2 ? x ? ? (?2 x 3 ? x 2 ? 1) x x 1 1 设h( x) ? ?2 x3 ? x 2 ? 1, 则h '( x) ? ?6 x 2 ? 2 x ? ?6( x ? ) 2 ? 6 36 当x ? (1, ??)时h '( x) ? 0, h( x)是减函数,? h( x) ? h(1) ? 0 1 (?2 x 3 ? x 2 ? 1) ? 0 x 1 2 2 即在[1, ??)上, f ( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? x 3是减函数 2 3 1 ? f ( x) ? g ( x) ? f (1) ? g (1) ? ? ? 0 6 ?函数f ( x) ? g ( x)在[1, ??)上始终是负数, ?当x ? [1, ??)时f '( x) ? g '( x) ? 即函数f ( x)的图象,在函数g ( x)的图象下方。


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