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2018年高考备考复习(数学理)专题学案19:排列、组合、二项式定理

专题 19 排列、组合、二项式定理 【考情解读】 1.排列、组合与二项式定理每年交替考查,主要以选择、填空的形式出现,试题难度中等或 偏易. 2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性,常与实际相结合,转化为基本的排列组合模 型解决问题,需用到分类讨论思想,转化思想. 3.与二项式定理有关的问题比较简单,但非二项问题也是今后高考的一个热点,解决此类问 题的策略是转化思想. 【重点知识梳理】 1.两个重要公式 (1)排列数公式 Am n= n! =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N*,且 m≤n). n-m ! (2)组合数公式 n! n n-1 Cm = n= m! n-m ! 2.三个重要性质和定理 (1)组合数性质 ①Cm n =Cn n-m m n-2 … m! n-m+1 (n,m∈N*,且 m≤n). (n,m∈N*,且 m≤n); m-1 ②Cm n+1=Cn +Cn ③C0 n=1. (2)二项式定理 (n,m∈N*,且 m≤n); n 1 n 1 1 n 2 2 n k k n r n r r (a+b)n=C0 b +C2 b +…+Ck · b +…+Cn b. na +Cna na na nb ,其中通项 Tr+1=Cna - - - - (3)二项式系数的性质 n 1 n 1 r n r ①C0 n=Cn,Cn=Cn ,…,Cn=Cn ; 1 2 n n ②C0 n+Cn+Cn+…+Cn=2 ; 3 5 0 2 4 n 1 ③C1 . n+Cn+Cn+…=Cn+Cn+Cn+…=2 - - - 【高频考点突破】 考点一 排列与组合 例 1. 【2017 课标 II,理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作 由 1 人完成,则不同的安排方式共有( A.12 种 种 ) C.24 种 D.36 B.18 种 【答案】D 【变式探究】 【2016 年高考四川理数】用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数, 其中奇数的个数为 (A)24 【答案】D 【解析】由题意,要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为 1 或 3 或 5,其他位置 4 共有 A 4 4 种排法,所以奇数的个数为 3A4 ? 72 ,故选 D. (B)48 (C)60 (D)72 【变式探究】(2015· 四川,6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中 比 40 000 大的偶数共有( A.144 个 B.120 个 ) C.96 个 D.72 个 解析 由题意,首位数字只能是 4,5,若万位是 5,则有 3×A3 4=72 个;若万位是 4,则有 2×A3 4个=48 个,故 40 000 大的偶数共有 72+48=120 个.选 B. 答案 B 考点二 排列组合中的创新问题 例 2.用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1” 表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推, 下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球 中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 解析 分三步:第一步,5 个无区别的红球可能取出 0 个,1 个,…,5 个,则有(1+a+a2 +a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5 个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同 取法;第三步,5 个有区别的黑球看作 5 个不同色,从 5 个不同色的黑球中任取 0 个,1 个,…, 5 个,有(1+c)5 种不同的取法,所以所求的取法种数为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,故 选 A. 答案 A ) 【变式探究】设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集 合 A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( A.60 B.90 C.120 D.130 ) 答案 D 考点三 二项展开式中项的系数 6 2 例 3. 【2016 年高考北京理数】在 (1 ? 2 x) 的展开式中, x 的系数为__________________. (用数字作答) 【答案】60. 【解析】根据二项展开的通项公式 Tr ?1 ? C6 (?2) x 可知, x 的系 数为 C6 (?2) ? 60 。 r r r 2 2 2 【变式探究】(2015· 新课标全国Ⅰ,10)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为( A.10 B.20 C.30 - ) D.60 2 5 k k 解析 Tk+1=Ck y ,∴k=2. 5(x +x) 2 3 2 2 r 2(3 r) r 2 ∴C2 x y ,∴2(3-r)+r=5,解得 r=1,∴x5y2 的系数为 5(x +x) y 的第 r+1 项为 C5C3x 1 C2 5C3=30. - 答案 C 考点四 二项展开式中的常数项 6 例 4. 【2016 年高考四川理数】设 i 为虚数单位,则 ( x ? i ) 的展开式中含 x4 的项为 (A)-15x4 【答案】A 【解析】二项式 ( x ? i) 展开的通项 Tr ?1 ? C6 x 6 (B)15x4 (C)-20i x4 (D)20i x4 r 6? r