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2017年浙江省高考数学试卷


2017 年浙江省高考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么 P∪Q=( A. (﹣1,2) B. (0,1) C. (﹣1,0) D. (1,2) 2. (5 分)椭圆 A. B. + =1 的离心率是( C. D. ) )

3. (5 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积(单位: cm2)是( )

A.

+1

B.

+3

C.

+1 D.

+3 ,则 z=x+2y 的取值范围是( )

4. (5 分)若 x、y 满足约束条件

A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞) 5. (5 分)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m, 则 M﹣m( )

A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关 6. (5 分) 已知等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 则“d>0”是“S4+S6>2S5” 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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7. (5 分)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的 图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)已知随机变量 ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2.若 0< p1<p2< ,则( )

A.E(ξ1)<E(ξ2) ,D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2) ,D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2) ,D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2) ,D(ξ1)>D(ξ2) 9. (5 分)如图,已知正四面体 D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥) ,P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点,AP=PB, = =2,分别记二面角 D﹣PR﹣Q,D﹣ )

PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角为 α、β、γ,则(

A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 10. (5 分)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O,记 I1= ? ,I2= ? ,I3= ? ,则( )

A.I1<I2<I3

B.I1<I3<I2

C.I3<I1<I2

D.I2<I1<I3

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二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 11. (4 分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π,理论上能把 π 的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将 π 的值精确到小数点 后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面积 S6,S6= . ,

12. (6 分)已知 a、b∈R, (a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位) ,则 a2+b2= ab= .

3 2 5 13. (6 分) 已知多项式 (x+1) (x+2) =x +a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5, 则 a4=



a 5=



14. (6 分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连 结 CD,则△BDC 的面积是 ,com∠BDC= . ,

15. (6 分) 已知向量 、 满足| |=1, | |=2, 则| + |+| ﹣ |的最小值是 最大值是 .

16. (4 分)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 法. (用数字作答) 17. (4 分)已知 a∈R,函数 f(x)=|x+ ﹣a|+a 在区间[1,4]上的最大值是 5, 则 a 的取值范围是 . 种不同的选

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 18. (14 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 (Ⅰ)求 f( )的值. sinx cosx(x∈R) .

(Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 19. (15 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

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20. (15 分)已知函数 f(x)=(x﹣ (1)求 f(x)的导函数;

)e﹣x(x≥ ) .

(2)求 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围. 21. (15 分)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(﹣ , ) ,B( , ) ,抛物线上 的点 P(x,y) (﹣ <x< ) ,过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q. (Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求|PA|?|PQ|的最大值.

22. (15 分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1) (n∈N*) ,证明:当 n ∈N*时, (Ⅰ)0<xn+1<xn; (Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ (Ⅲ) ≤xn≤ ; .

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2017 年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么 P∪Q=( A. (﹣1,2) B. (0,1) C. (﹣1,0) D. (1,2) 【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可. 【解答】解:集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2}, 那么 P∪Q={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2) . 故选:A. 【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力. )

2. (5 分)椭圆 A. B.

+

=1 的离心率是( C. D.



【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可. 【解答】解:椭圆 + =1,可得 a=3,b=2,则 c= . = ,

所以椭圆的离心率为: = 故选:B.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.

3. (5 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积(单位: cm2)是( )

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A.

+1

B.

+3

C.

+1 D.

+3

【分析】根据几何体的三视图,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,画出 图形,结合图中数据即可求出它的体积. 【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成, 圆锥的底面圆的半径为 1,三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形,圆锥的 高和棱锥的高相等均为 3, 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × 故选:A × ×3= +1,

【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得 出原几何体的结构特征,是基础题目.

4. (5 分)若 x、y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的取值范围是(



A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞) 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.

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【解答】解:x、y 满足约束条件

,表示的可行域如图:

目标函数 z=x+2y 经过坐标原点时,函数取得最小值, 经过 A 时,目标函数取得最大值, 由 解得 A(0,3) ,

目标函数的直线为:0,最大值为:36 目标函数的范围是[0,6]. 故选:A.

【点评】 本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解 题的关键.

5. (5 分)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m, 则 M﹣m( )

A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关 【分析】结合二次函数的图象和性质,分类讨论不同情况下 M﹣m 的取值与 a, b 的关系,综合可得答案. 【解答】解:函数 f(x)=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x=﹣ 为对称轴的 抛物线, ①当﹣ >1 或﹣ <0,即 a<﹣2,或 a>0 时, 函数 f(x)在区间[0,1]上单调, 此时 M﹣m=|f(1)﹣f(0)|=|a|, 故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关
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②当 ≤﹣ ≤1,即﹣2≤a≤﹣1 时, 函数 f(x)在区间[0,﹣ ]上递减,在[﹣ ,1]上递增, 且 f(0)>f(1) , 此时 M﹣m=f(0)﹣f(﹣ )= 故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关 ③当 0≤﹣ < ,即﹣1<a≤0 时, 函数 f(x)在区间[0,﹣ ]上递减,在[﹣ ,1]上递增, 且 f(0)<f(1) , 此时 M﹣m=f(0)﹣f(﹣ )=a﹣ 故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关 综上可得:M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关 故选:B 【点评】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象 和性质,是解答的关键. , ,

6. (5 分) 已知等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 则“d>0”是“S4+S6>2S5” 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S6>2S5,可以得到 d>0,根据充分必要 条件的定义即可判断. 【解答】解:∵S4+S6>2S5, ∴4a1+6d+6a1+15d>2(5a1+10d) , ∴21d>20d, ∴d>0, 故“d>0”是“S4+S6>2S5”充分必要条件, 故选:C
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【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题

7. (5 分)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的 图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据导数与函数单调性的关系,当 f′ (x)<0 时,函数 f(x)单调递减, 当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性, 然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数 y=f(x)的 图象可能 【解答】解:由当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减,当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增, 则由导函数 y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递 减,最后单调递增,排除 A,C, 且第二个拐点(即函数的极大值点)在 x 轴上的右侧,排除 B, 故选 D 【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的 判断,考查数形结合思想,属于基础题.

8. (5 分)已知随机变量 ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2.若 0< p1<p2< ,则( )

A.E(ξ1)<E(ξ2) ,D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2) ,D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2) ,D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2) ,D(ξ1)>D(ξ2) 【分析】 由已知得 0<p1<p2< , <1﹣p2<1﹣p1<1, 求出 E (ξ1) =p1, E (ξ2)
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=p2,从而求出 D(ξ1) ,D(ξ2) ,由此能求出结果. 【解答】解:∵随机变量 ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2,…, 0<p1<p2< , ∴ <1﹣p2<1﹣p1<1, E(ξ1)=1×p1+0×(1﹣p1)=p1, E(ξ2)=1×p2+0×(1﹣p2)=p2, D(ξ1)=(1﹣p1)2p1+(0﹣p1)2(1﹣p1)= D(ξ2)=(1﹣p2)2p2+(0﹣p2)2(1﹣p2)= D(ξ1)﹣D(ξ2)=p1﹣p12﹣( , ,

)=(p2﹣p1) (p1+p2﹣1)<0,

∴E(ξ1)<E(ξ2) ,D(ξ1)<D(ξ2) . 故选:A. 【点评】 本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是 中档题.

9. (5 分)如图,已知正四面体 D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥) ,P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点,AP=PB, = =2,分别记二面角 D﹣PR﹣Q,D﹣ )

PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角为 α、β、γ,则(

A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 【分析】 解法一: 如图所示, 建立空间直角坐标系. 设底面△ABC 的中心为 O. 不 妨设 OP=3.则 O(0,0,0) ,P(0,﹣3,0) ,C(0,﹣6,0) ,D(0,0,6 Q ,R ) ,

,利用法向量的夹角公式即可得出二面角.

解法二:如图所示,连接 OD,OQ,OR,过点 O 发布作垂线:OE⊥DR,OF⊥DQ,
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OG⊥QR,垂足分别为 E,F,G,连接 PE,PF,PG.设 OP=h.可得 cosα=

=

=

.同理可得:cosβ=

=

,cosγ=

=

.由已知

可得:OE>OG>OF.即可得出. 【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC 的中心为 O. 不妨设 OP=3.则 O(0,0,0) ,P(0,﹣3,0) ,C(0,﹣6,0) ,D(0,0,6 Q = = ,R , , =(0,3,6 . ,可得 , ) , =( ,5,0) , = , ) ,

设平面 PDR 的法向量为 =(x,y,z) ,则 可得 = 则 cos =

,取平面 ABC 的法向量 =(0,0,1) . = ,取 α=arccos . .

同理可得:β=arccos ∵ > > .

.γ=arccos

∴α<γ<β. 解法二:如图所示,连接 OD,OQ,OR,过点 O 发布作垂线:OE⊥DR,OF⊥DQ, OG⊥QR,垂足分别为 E,F,G,连接 PE,PF,PG. 设 OP=h. 则 cosα= = = .

同理可得:cosβ=

=

,cosγ=

=



由已知可得:OE>OG>OF. ∴cosα>cosγ>cosβ,α,β,γ 为锐角.
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∴α<γ<β. 故选:B.

【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公 式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

10. (5 分)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O,记 I1= ? ,I2= ? ,I3= ? ,则( )

A.I1<I2<I3

B.I1<I3<I2

C.I3<I1<I2

D.I2<I1<I3

【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可. 【解答】解:∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3, ∴AC=2 ,
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∴∠AOB=∠COD>90°, 由图象知 OA<OC,OB<OD, ∴0> ? > ? , ? >0,

即 I3<I1<I2, 故选:C. 【点评】 本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的 定义是解决本题的关键.

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 11. (4 分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π,理论上能把 π 的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将 π 的值精确到小数点 后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面积 S6,S6= .

【分析】根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积. 【解答】解:如图所示, 单位圆的半径为 1,则其内接正六边形 ABCDEF 中, △AOB 是边长为 1 的正三角形, 所以正六边形 ABCDEF 的面积为 S6=6× ×1×1×sin60°= 故答案为: . .

【点评】 本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题, 是基础题.

12. (6 分)已知 a、b∈R, (a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位) ,则 a2+b2=
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5

,ab=

2



【分析】a、b∈R, (a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位) ,可得 3+4i=a2﹣b2+2abi,可得 3=a2﹣b2,2ab=4,解出即可得出. 【解答】解:a、b∈R, (a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位) , ∴3+4i=a2﹣b2+2abi, ∴3=a2﹣b2,2ab=4, 解得 ab=2, 则 a2+b2=5, 故答案为:5,2. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能 力与计算能力,属于基础题. , .

3 13. (6 分) 已知多项式 (x+1) (x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a4=

16



a 5=

4



【分析】利用二项式定理的展开式,求解 x 的系数就是两个多项式的展开式中 x 与常数乘积之和,a5 就是常数的乘积. 【解答】解:多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5, (x+1)3 中,x 的系数是:3,常数是 1; (x+2)2 中 x 的系数是 4,常数是 4, a4=3×4+1×4=16; a5=1×4=4. 故答案为:16;4. 【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.

14. (6 分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连 结 CD,则△BDC 的面积是 ,com∠BDC= .

【分析】如图,取 BC 得中点 E,根据勾股定理求出 AE,再求出 S△ABC,再根据 S
△BDC

= S△ABC 即可求出,根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出

【解答】解:如图,取 BC 得中点 E,
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∵AB=AC=4,BC=2, ∴BE= BC=1,AE⊥BC, ∴AE= = , = ,

∴S△ABC= BC?AE= ×2× ∵BD=2, ∴S△BDC= S△ABC= ∵BC=BD=2, ∴∠BDC=∠BCD, ∴∠ABE=2∠BDC 在 Rt△ABE 中, ∵cos∠ABE= = , ,

∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= , ∴cos∠BDC= 故答案为: , ,

【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题

15. (6 分) 已知向量 、 满足| |=1, | |=2, 则| + |+| ﹣ |的最小值是 4 , 最大值是 . 、

【分析】通过记∠AOB=α(0≤α≤π) ,利用余弦定理可可知| + |= | ﹣ |= ,进而换元,转化为线性规划问题,计算即得结论.
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【解答】解:记∠AOB=α,则 0≤α≤π,如图, 由余弦定理可得: | + |= | ﹣ |= 令 x= , , ,y= ,

则 x2+y2=10(x、y≥1) ,其图象为一段圆弧 MN,如图, 令 z=x+y,则 y=﹣x+z, 则直线 y=﹣x+z 过 M、N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4, 当直线 y=﹣x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大, 由平面几何知识易知 zmax 即为原点到切线的距离的 也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 所以 zmax= × = . . 倍, 倍,

综上所述,| + |+| ﹣ |的最小值是 4,最大值是 故答案为:4、 .

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解 能力, 涉及余弦定理、 线性规划等基础知识, 注意解题方法的积累, 属于中档题.

16. (4 分)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2
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人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 法. (用数字作答) 【分析】由题意分两类选 1 女 3 男或选 2 女 2 男,再计算即可

660

种不同的选

【解答】解:第一类,先选 1 女 3 男,有 C63C21=40 种,这 4 人选 2 人作为队长 和副队有 A42=12 种,故有 40×12=480 种, 第二类, 先选 2 女 2 男, 有 C62C22=15 种, 这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种,故有 15×12=180 种, 根据分类计数原理共有 480+180=660 种, 故答案为:660 【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题

17. (4 分)已知 a∈R,函数 f(x)=|x+ ﹣a|+a 在区间[1,4]上的最大值是 5, 则 a 的取值范围是 (﹣∞, ) .

【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5 且 a≤5,进而解绝对值不等式可知 2a﹣5 ≤x+ ≤5,进而计算可得结论. 【解答】解:由题可知|x+ ﹣a|+a≤5,即|x+ ﹣a|≤5﹣a,所以 a≤5, 又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a, 所以 a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a, 所以 2a﹣5≤x+ ≤5, 又因为 1≤x≤4,4≤x+ ≤5, 所以 2a﹣5≤4,解得 a≤ , 故答案为: (﹣∞, ) . 【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解 题方法的积累,属于中档题.

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分)
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18. (14 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 (Ⅰ)求 f( )的值.

sinx cosx(x∈R) .

(Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式, (Ⅰ)代入可得:f( )的值.

(Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得 f(x)的最小正周期及单调递增区间 【解答】解:∵函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 (2x+ ) )=2sin(2× + )=2sin =2, sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin

(Ⅰ)f(

(Ⅱ)∵ω=2,故 T=π, 即 f(x)的最小正周期为 π, 由 2x+ x∈[﹣ ∈[﹣ +kπ,﹣ +2kπ, +2kπ],k∈Z 得:

+kπ],k∈Z, +kπ,﹣ +kπ],k∈Z.

故 f(x)的单调递增区间为[﹣

【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函 数的单调区间,难度中档.

19. (15 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

【分析】 (Ⅰ)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 作平面 ABCD 的垂线
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为 z 轴,建立空间直角系,利用向量法能证明 CE∥平面 PAB. (Ⅱ)求出平面 PBC 的法向量和 角的正弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)∵四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形, BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点, ∴以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立 空间直角系, 设 PC=AD=2DC=2CB=2, 则 C(0,1,0) ,D(0,0,0) ,P(1,0,1) ,E( B(1,1,0) , =( ) , =(1,0,﹣1) , =(0,1,﹣1) , ) ,A(2,0,0) , ,利用向量法能求出直线 CE 与平面 PBC 所成

设平面 PAB 的法向量 =(x,y,z) , 则 ∵ = ,取 z=1,得 =(1,1,1) , =0,CE?平面 PAB,

∴CE∥平面 PAB. 解: (Ⅱ) 则 =(﹣1,1,﹣1) ,设平面 PBC 的法向量 =(a,b,c) , ,取 b=1,得 =(0,1,1) ,

设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 θ, 则 sinθ=|cos< >|= .

=

=

∴直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为



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【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.

20. (15 分)已知函数 f(x)=(x﹣ (1)求 f(x)的导函数;

)e﹣x(x≥ ) .

(2)求 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围. 【分析】 (1) 求出 f (x) 的导数, 注意运用复合函数的求导法则, 即可得到所求; (2)求出 f(x)的导数,求得极值点,讨论当 <x<1 时,当 1<x< 时,当 x> 时,f(x)的单调性,判断 f(x)≥0,计算 f( ) ,f(1) ,f( ) ,即可 得到所求取值范围. 【解答】解: (1)函数 f(x)=(x﹣ 导数 f′(x)=(1﹣ ? =(1﹣x+ )e﹣x(x≥ ) , )e﹣x

?2)e﹣x﹣(x﹣ )e﹣x;

)e﹣x=(1﹣x) (1﹣

(2)由 f(x)的导数 f′(x)=(1﹣x) (1﹣ 可得 f′(x)=0 时,x=1 或 , 当 <x<1 时,f′(x)<0,f(x)递减; 当 1<x< 时,f′(x)>0,f(x)递增;

)e﹣x,

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当 x> 时,f′(x)<0,f(x)递减, 且 x≥ ?x2≥2x﹣1?(x﹣1)2≥0,

则 f(x)≥0. 由 f( )= e ,f(1)=0,f( )= e ,

即有 f(x)的最大值为 e

,最小值为 f(1)=0.

则 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围是[0, e

].

【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算 能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.

21. (15 分)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(﹣ , ) ,B( , ) ,抛物线上 的点 P(x,y) (﹣ <x< ) ,过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q. (Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求|PA|?|PQ|的最大值.

【分析】 (Ⅰ)通过点 P 在抛物线上可设 P(x,x2) ,利用斜率公式结合﹣ <x < 可得结论; (Ⅱ)通过(I)知 P(x,x2) 、﹣ <x< ,设直线 AP 的斜率为 k,联立直线 AP、BP 方程可知 Q 点坐标,进而可用 k 表示出 、 ,计算可知|PA|?|PQ|=

(1+k)3(1﹣k) ,通过令 f(x)=(1+x)3(1﹣x) ,﹣1<x<1,求导结合单调 性可得结论.
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【解答】解: (Ⅰ)由题可知 P(x,x2) ,﹣ <x< ,

所以 kAP=

=x﹣ ∈(﹣1,1) ,

故直线 AP 斜率的取值范围是: (﹣1,1) ; (Ⅱ)由(I)知 P(x,x2) ,﹣ <x< , 所以 =(﹣ ﹣x, ﹣x2) , + ,

设直线 AP 的斜率为 k,则 AP:y=kx+ k+ ,BP:y=﹣ x+ 联立直线 AP、BP 方程可知 Q( , ) ,



=(

, =(﹣1﹣k,﹣k2﹣k) , ? =

) ,

又因为

故﹣|PA|?|PQ|=

+

=(1+k)3(k﹣1) ,

所以|PA|?|PQ|=(1+k)3(1﹣k) , 令 f(x)=(1+x)3(1﹣x) ,﹣1<x<1, 则 f′(x)=(1+x)2(2﹣4x)=﹣2(1+x)2(2x﹣1) , 由于当﹣1<x<﹣ 时 f′(x)>0,当 <x<1 时 f′(x)<0, 故 f(x)max=f( )= ,即|PA|?|PQ|的最大值为 .

【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注 意解题方法的积累,属于中档题.

22. (15 分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1) (n∈N*) ,证明:当 n ∈N*时, (Ⅰ)0<xn+1<xn; (Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
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(Ⅲ)

≤xn≤



【分析】 (Ⅰ)用数学归纳法即可证明, (Ⅱ)构造函数,利用导数判断函数的单调性,把数列问题转化为函数问题,即 可证明, (Ⅲ)由 ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2( ﹣ )>0,继续放缩即可证明

【解答】解: (Ⅰ)用数学归纳法证明:xn>0, 当 n=1 时,x1=1>0,成立, 假设当 n=k 时成立,则 xk>0, 那么 n=k+1 时,若 xk+1<0,则 0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)<0,矛盾, 故 xn+1>0, 因此 xn>0, (n∈N*) ∴xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1, 因此 0<xn+1<xn(n∈N*) , (Ⅱ) 由 xn=xn+1+ln (1+xn+1) 得 xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+ (xn+1+2) ln (1+xn+1) , 记函数 f(x)=x2﹣2x+(x+2)ln(1+x) ,x≥0 ∴f′(x)= +ln(1+x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)≥f(0)=0, 因此 xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)≥0, 故 2xn+1﹣xn≤ ;

(Ⅲ)∵xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1, ∴xn≥ 由 ∴ , ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2( , ﹣ ≥2( ﹣ )>0, ﹣ )=2n﹣2,

﹣ )≥…≥2n﹣1(

∴xn≤

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综上所述

≤xn≤



【点评】本题考查了数列的概念,递推关系,数列的函数的特征,导数和函数的 单调性的关系,不等式的证明,考查了推理论证能力,分析解决问题的能力,运 算能力,放缩能力,运算能力,属于难题

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参与本试卷答题和审题的老师有: qiss; whgcn; 豫汝王世崇; 铭灏 2016; zlzhan; 沂蒙松;maths;742048;cst;双曲线(排名不分先后) 菁优网 2017 年 6 月 9 日

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