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初一奥数第07讲 含绝对值的方程及不等式


第七讲 含绝对值的方程及不等式 从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零 以外,任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值.即一个数与它相反数的绝对 值是一样的.由于这个性质,所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现 了一些新特点.本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法. 一个实数 a 的绝对值记作|a|,指的是由 a 所唯一确定的非负实数:

含绝对值的不等式的性质:

(2)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 由于绝对值的定义,所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算.通 常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、 负情况, 脱去绝时值符号, 转化为不含绝对值的代数式进行运算,即含有绝对值的方程与不等式的求解,常 用分类讨论法. 在进行分类讨论时, 要注意所划分的类别之间应该不重、 不漏. 下 面结合例题予以分析. 例 1 解方程|x-2|+|2x+1|=7. 分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用“零

掉绝对值符号再求解. 解(1)当 x≥2 时,原方程化为 (x-2)+(2x+1)=7,

-(x-2)+(2x+1)=7.

应舍去.

-(x-2)-(2x+1)=7.

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说明 若在 x 的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围 内,则这样的解不是方程的解,应舍去. 例 2 求方程|x-|2x+1||=3 的不同的解的个数.

为只含有一个绝对值符号的方程.然后再去掉外层的绝对值符号求解. |x-(2x+1)|=3,

即 所以

|1+x|=3, x=2 或 x=-4.



|x+(2x+1)|=3, |3x+1|=3,

的个 数为 2. 例 3 若关于 x 的方程||x-2|-1|=a 有三个整数解.则 a 的值是多少? 解 若 a<0,原方程无解,所以 a≥0.由绝对值的定义可知 |x-2|-1=±a, 所以 |x-2|=1±a. (1)若 a>1, 则|x-2|=1-a<0, 无解. |x-2|=1+a, 只能有两个解 x=3+a x 和 x=1-a. (2)若 0≤a≤1,则由|x-2|=1+a,求得 x=1-a 或 x=3+a; 由|x-2|=1-a,求得

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x=1+a 或 x=3-a. 原方程的解为 x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,a 必为整数, 所以 a 只能取 0 或 1.当 a=0 时,原方程的解为 x=3,1,只有两个解,与题设不 符,所以 a≠0.当 a=1 时,原方程的解为 x=4,0,2,有三个解. 综上可知,a=1. 例 4 已知方程|x|=ax+1 有一负根,且无正根,求 a 的取值范围. 解 设 x 为方程的负根,则-x=ax+1,即

所以应有 a>-1.反之,a>-1 时,原方程有负根. 设方程有正根 x,则 x=ax+1,即

所以 a<1.反之,a<1 时,原方程有正根. 综上可知,若使原方程有一负根且无正根,必须 a≥1. 例5 设

求 x+y. 分析 从绝对值的意义知

两个非负实数和为零时,这两个实数必须都为零. 解 由题设有

把③代入①得

解之得 y=-3,所以 x=4.故有 x+y=4-3=1. 例 6 解方程组

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分析与解 由①得 x-y=1 或 x-y=-1,即 x=y+1 或 x=y-1. 与②结合有下面两个方程组

解(Ⅰ):把 x=y+1 代入|x|+2|y|=3 得 |y+1|+2|y|=3.

组(Ⅰ)的解为

同理,解(Ⅱ)有

故原方程组的解为

例 7 解方程组

解 由①得 x+y=|x-y|+2. 因为|x-y|≥0,所以 x+y>0,所以|x+y|=x+y. ③ 把③代入②有 x+y=x+2, 所以 y=2.将之代入①有|x-2|=x,所以

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x-2=x, ④ 或 x-2=-x. ⑤ ④无解,所以只有解⑤得 x=1.故

为原方程组的解. 说明 本题若按通常的解法,区分 x+y≥0 和 x+y<0 两种情形,把方程②分 成两个不同的方程 x+y=x+2 和-(x+y)=x+2,对方程①也做类似处理的话,将很麻 烦.上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质,从方程①中发现必有 x+y>0, 因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号,从而简化了解题过程. 例 8 解不等式|x-5|-|2x+3|<1.

<x≤5,x>5.

-(x-5)-[-(2x+3)]<1,

-(x-5)-(2x+3)<1,

(3)当 x>5 时,原不等式化为 x-5-(2x+3)<1, 解之得 x>-9,结合 x>5,故 x>5 是原不等式的解. 的解. 例 9 解不等式 1≤|3x-5|≤2. 分析与解 此不等式实际上是

解 对|3x-5|≥1:

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对|3x-5|≤2:

所以①与②的公共解应为

例 10 解不等式||x+3|-|x-3||>3. 解 从里往外去绝对值符号,将数轴分为 x≤-3,-3<x≤3,x>3 三段来讨 论,于是原不等式化为如下三个不等式组.



x≤-3.

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x>3.

说明 本题也可以由外向内去绝对值符号,由绝对值的意义,解下面两个不 等式

分别解出①和②即可,请同学们自己完成这个解法. 例 11 当 a 取哪些值时,方程|x+2|+|x-1|=a 有解? 解法 1 (1)当 x≤-2 时,|x+2|+|x-1|=-2x-1≥-2(-2)-1=3. (2)当-2<x<1 时,|x+2|+|x-1|=x+2-x+1=3. (3)当 x≥1 时,|x+2|+|x-1|=2x+1≥2·1+1=3. 所以,只有当 a≥3 时,原方程有解. 解法 2 按照绝对值的性质|a-b|≤|a|+|b|,故 |x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3. 其中等号当-2≤x≤1 时成立,所以当 a≥3 时,原方程有解. 练习七 1.解下列方程: (1)|x+3|-|x-1|=x+1; (2)||1+x|-1|=3x; (3)|3x-2|-|x+1|=x+2; (4)|3y-2|=-|5x-3|. 2.解方程组:

3.解下列不等式:

(2)5≤|5x-3|≤10; (3)|x+1|+|4-x|<6; (4)||x-1|-|x+2||>1. 4.若 a>0,b<0,则方程|x-a|+|x-b|=a-b 的解是什么?

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