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数列综合测试题(2)


日出照亮大地,读书清醒头脑

数 列 测 试 题(2)
测试时间:2011 年 10 月 2 日 班级 姓名 总分 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.下列几种说法正确的是( ) B.常数列是等比数列但不可能是等差数列 D.常数列是等差数列也可能是等比数列 )

A.

2 n ?1

B.(

2 3

)n-1

C.(

2 n ) 3

D.

2 n?2

10.正偶数集合{2,4,6,…},现在由小到大按“第 n 组有(2n-1)个偶数”的方式进行分组: {2}, (第 1 组) {4,6,8}, (第 2 组) )组中. B. 32 C . 31 D. 30 ,n ? 。 {10,12,14,16,18},… (第 3 组) …

A.常数列是等差数列也是等比数列 C.常数列是等差数列但不可能是等比数列

则 2010 位于第( A. 33

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 an ? ?512 S n ? ?341,则 q ? , ,

2. 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 2an?1 ? 2an ? 1,则 a101 的值为 ( A.52 B.51 C.50

12 . 三 个数 成 等比 数 列, 它 们 的积 为 512 ,如果 中 间 一个 数 加上 2 ,则 成 等 差数 列 ,这 三个数 是 ) 13.已知 an ? .

D.49

3. 等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则 {an } 的前 9 项的和 S9=( A.66 4. 已知 an =2× 3 A.3 -1
n n ?1

n ? 79 n ? 80

B.99

C.144

D.297 )

( n ? N ? ),则数列 ?an ? 的前 100 项中最小项是第

项,最大项是第

项。

,则数列{ an }的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 S n 的值为( B.3(3 -1)
n

14. 数列 {an } 满足 an ?1 ? ?

C.

9n ? 1 4

D.

3(9 n ? 1) 4


?2an ?an ? 1

(0 ? an ? 1), (an ? 1).
*

且 a1 ?

6 ,则 a2010 ? 7

15. 数列{an}满足:a1 = 1,且对任意的 m, n ? N 都有: am?n ? am ? an ? mn,则

5. 设 { a n } 是等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S 5 ? S 6 , S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结论错误的是( A. d ? 0 C. a7 ? 0 B. S 9 ? S 5 D. S 6 与 S 7 是 S n 的最大值

1 1 1 1 ? ? ??? = a1 a2 a3 an
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明与演算步骤) 16.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn 、公比为 q,若 S3 是 S1 , S2 的等差中项, a1 - a3 =3,求 q 与和 S5 。

6. 现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根 数为( A.29 ) B.19 C.10 D.9

7. 数列{an}、{bn}的通项公式分别是 an=an+b (a≠0,a、b∈R),bn=qn-1(q>1),则数列{an}、{bn}中,使 an=bn 的 n 值的个数是( A、2 B、1 ) C、0 D、可能为 0,可能为 1,可能为 2 )

8.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 也是等比数列,则 Sn 等于( ? A. 2
n?1

?2

B. 3n

C. 2n

n D. 3 ? 1

9. 数列{an}满足 a1=1, a2=

2 1 1 2 ,且 (n≥2),则 an 等于( ? ? 3 an?1 an?1 an
―1―



数 列 测 试 题(2)

―2―

日出照亮大地,读书清醒头脑 17.设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 ,
(1)求 {an } , {bn } 的通项公式.(2)求数列 an ? 3 ? ( ?1) ? bn 的前 n 项和 Sn .
n

?

?

20. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an pan ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? . Sn n ?1

18. (1) 已知数列{ an }满足 a1 ? 2, an ? 3an?1 ? 2,(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项 an ;

(2) 已知数列{ an }满足 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 3n?1,(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项 an 。

21.已知数列 ?a n ? 的各项为正数,其前 n 项和 Sn ? (

an ?1 2 ) ,设 bn ? 10 ? an, ? N ? ) (n 2

(1)求证:数列 {a n } 是等差数列,并求 {a n } 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的最大值。
? (3)求数列 bn , (n ? N ) 的前 n 项和 Bn 。

? ?

19. 某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m2,如果该城市每年人口平均增长率为 1%,则 从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少万 m2,才能使 2010 年底该城市人均住房面积至少为 16 m2 ?(精确到 1 万 m2 ) ,(可参考的数据 1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22)。

数 列 测 试 题(2)

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日出照亮大地,读书清醒头脑
答 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 352 万 m2。

数列综合测试题(2)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 D 5 B 6 C 7 D 8 C 9 A 10 B

20.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由 所以 a2 ? 2 ,

S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3, a1 Sn n ?1 即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? n 。
a

(Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn ,

二、11. -2 、10 13. 8, 9

12. 4,8,16 或 16,8,4

n( n ? 1) ; 2 当 p ? 1 时, Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn
当 p ? 1 时, Tn ?

3 14. 7

2n 15. n+1

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ? p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p

三、16.解:依题意有 a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ) ,由于 a1 ? 0 ,故 2q 2 ? q ? 0 又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 1 2 ( ,由 a1 - a3 =3 得: a1 ? a1 ? ) ? 3 ,故 a1 ? 4 2 2

1 4[1 ? (? )5 ] 2 ? 8 ? (1 ? 1 ) ? 11 所以 S5 ? 1 3 32 4 1 ? (? ) 2 17.解:(1)设 {an } 公差为 d, 设 {bn } 公差为 q,依题意得
?1 ? 2 d 4q? 2 1 ? ? d ? ? ?? ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13 ?q ? 2 ?
(2) an 则 a n ? 2n ?1, bn ? 2n ?1

? n(n ? 1) , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? . n n ?1 ? p(1 ? p ) ? np , p ? 1 ? (1 ? p)2 1 ? p ? 21.?1? 证明: n ? an 2 ? 2an ? 1, 4S ?1? 4Sn?1 ? an?1 2 ? 2an?1 ? 1, ? 2 ?

4 ?1? ? ? 2 ? 得:an ? an 2 ? a 2 ? 2 ? an ? an?1 ? ? an 2 ? a 2 ? 2 ? an ? an?1 ? ? 0 ;an ? an?1 ?? an ? an ?1 ? 2 ? ? 0, 又an ? 0, ?
n?1 n?1

2

? an ? an?1 ? 2,??an ? 为等差数列,又a1 ? S1 ? (

a1 ? 1 2 ) ,? (a1 ? 1) 2 ? 0 2

Sn ? [1 ? 3 ? 5 ? …+? 2n ? 1?] ? 3 ? [1 ? (?2)1 ? (?2)2 ? …+(?2) n?1]
? n2 ? 3 ? 1 ? (?2)n ? n2 ? 1 ? (?2)n 1 ? (?2)

? 3 ? (?1)n ? bn ? (2n ?1) ? 3 ? (?2)n?1 ,则

? a1 ? 1, an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 (2) bn ? 10 ? an ? 11 ? 2n ? b5 ? 11 ? 2 ? 5 ? 1 ? 0, b6 ? 11 ? 12 ? ?1 ? 0
b1 ? 9, b5 ? 1, bn的前5项和最大,即T5最大,T5 ?

18.解: (1)由已知得 a n ? 3a n ?1 ? 2, ,则 a n ? 1 ? 3(a n ?1 ? 1), ,

即 ?a n ?1 是首项为 3,公比为 3 的等比数列,?a n ? 1 ? 3 ? 3n ?1 ? a n ? 3n ?1 ?
n ?1

5 ? 9 ? 1? ? 25 2 n ? 9 ? 11 ? 2n ? ? 10n ? n 2 ? 3?当n ? 5时,bn ? 0,? Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2 当n ? 5时,bn ? 0,? Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? b1 ? b2 ? ? ? b5 ? (b6 ? b7 ? ? ? bn ) ? ?(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2(b1 ? b2 ? ? ? b5 ) ? n 2 ? 10n ? 50 ?10n ? n 2 (n ? 5) ? 综上:Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2 ?n ? 10n ? 50 (n ? 5) ?

(2)由已知得 a n ? 3a n ?1 ? 3 即?

,则

a n a n ?1 1 ? ? , 3n 3n ?1 3

a 1 1 ?an ? 是首项为 1 ? ,公差为 的等差数列, n ? 3 3 3 ?3 ? an 1 1 n ? n ? ? (n ? 1) ? ? ? a n ? n ? 3n ?1 3 3 3 3

19.解 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 x 万 m2,则由题设可得不等式:

500 ? 6 ? 19x ? 500 ? (1 ? 0.01)19 ?16

解之得: x ? 352 .
―5― ―6―

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