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第九讲 三角函数的图像及其性质经典难题复习巩固


DSE 金牌化学专题系列 一、导入:

精典专题系列

第9讲

三角函数的图像和性质

《小壁虎断尾巴》 大道理:痛苦带给人们的不一定是负面效应,有时痛苦也孕育着希望,能感觉到痛苦,就说明还有知觉, 还有活下去的希望,这个时候,能够痛苦岂不是一件很令人开心的事情?

二、知识点回顾:
1.周期函数及最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 ,则称 f(x)为周期函数,T 为它的一个周期.若在所有周期中,有一个最 小的正数,则这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 图象 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域

R

R

{x|x≠

+kπ,k ∈Z}

值域 单调性 递增区间: 递增区间: 递增区间:

递减区间:

递减区间:

最值

x= 时, ymax=1 x= 时, ymin=-1

x= 时, ymax=1 x= 时, ymin=-1

无最值

奇偶性 对称性 对称中心 对称中心 对称中心

周期

戴氏教育集团

1

努力+勤奋+信心=成功

三、专题训练:
考点一 求下列函数的定义域: (1)y=lg(2sinx-1); (2)y= sinx-cosx. 1 π 5π [自主解答] (1)要使函数有意义,则 2sinx-1>0? sinx> ,解得 +2kπ<x< +2kπ,k∈Z,即 2 6 6 π 5π π 5 x∈( +2kπ, +2kπ),k∈Z.∴函数 y=lg(2sinx-1)的定义域为( +2kπ, π+2kπ),k 6 6 6 6 ∈Z. (2)要使函数有意义,必须使 sinx-cosx≥0. 法一:利用图象.在同一坐标系中画 出[0,2π]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象, 如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x 为 , , 4 4 再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,所以定义域为{x| π 5π +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z}. 4 4 三角函数的定义域问题

法二:利用三角函数线,如图,MN 为正弦线, OM 为余弦线,要使 sinx≥cosx,即 MN≥OM, 则 π 5π ≤x≤ (在[0,2π]内). 4 4

π 5π ∴定义域为{x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z). 4 4 π π 法三:sinx-cosx= 2sin(x- )≥0,将 x- 视为一个整体,由正弦函数 y 4 4 =sinx 的图象和性质可知 2kπ≤x- π π 5π ≤π+2kπ,解得 2kπ+ ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 4 4

π 5π 所以定义域为{x|2kπ+ ≤x≤ +2kπ,k∈Z). 4 4

变式训练:求函数 y=lgsin(cosx)的定义域.
解:要使函数有意义, 戴氏教育集团
2

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必须使 sin(cosx)>0. ∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1. π π 法一:利用余弦函数的简图得知定义域为{x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 2 2

法二:利用单位圆中的余弦线 OM, 依题意知 0<OM≤1,∴OM 只能在 x 轴的正半轴上. π π ∴其定义域为{x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 2 2

考点二 求下列函数的最大值和最小值. (1)y=acosx+b; (3)y=3cos x-4sinx+1. [自主解答] (1)∵cosx∈[-1,1], ∴当 a=0 时,y=b,无最值; 当 a>0 时,函数的最大值为 a+b,最小值为-a+b. 当 x=2kπ,k∈Z 时取得最大值. 当 x=2kπ+π,k∈Z 时取得最小值. 当 a<0 时,函数最大值为-a+b,最小值为 a+b. 当 x=2kπ+π,k∈Z 时取得最大值, 当 x=2kπ,k∈Z 时取得最小值. π (2)∵0≤x≤ , 2 π π 4π ∴ ≤2x+ ≤ . 3 3 3 π 1 ∴-1≤cos(2x+ )≤ . 3 2 戴氏教育集团
3
2

三角函数的值域和最值

π π (2)y=2cos(2x+ )+1,x∈[0, ]; 3 2

努力+勤奋+信心=成功

∴-1≤2cos(2x+

π )+1≤2. 3

π ∴当 x=0 时,函数 y=2cos(2x+ )+1 的最大值为 2; 3 π π 当 x= 时,函数 y=2cos(2x+ )+1 的最小值为-1. 3 3 2 (3)y=3cos x-4sinx+1 =3-3sin x-4sinx+1 4 2 =-3(sin x+ sinx)+4 3 2 2 16 =-3(sinx+ ) + . 3 3 又∵-1≤sinx≤1, 2 ∴当 sinx=- 时, 3 16 2 函数 y=3cos x-4sinx+1 的最大值为 ; 3 当 sinx=1 时, 函数 y=3cos x-4sinx+1 的最小值为-3.
2 2

思考:若本例(1)中函数的最大值为 1,最小值为-3,求函数 y=bsin(ax+π) 3
解:当a>0时,
?a+b=1, ? ? ? ?b-a=-3, ?a=2, ? 则? ? ?b=-1.

的值域.

∴y=bsin? =-sin?

ax+

π ? 3

π 2x+ ? , 3
? ?a=-2, 则? ?b=-1. ?

? ?-a+b=1, 当 a<0 时? ?a+b=-3, ?

∴y=bsin(ax+

π π )=-sin(-2x+ ) 3 3

其值域为[-1,1]. π 综上,函数 y=bsin(ax+ )的值域为[-1,1]. 3

变式训练:求函数 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x 的最大值与最小值.
解:y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x =7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x) =7-2sin2x+4cos2xsin2x =7-2sin2x+sin22x 戴氏教育集团
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=(sin2x-1)2+6. 因为函数 z=(u-1)2+6 在[-1,1]中的最大值为(-1-1)2+6=10,最小值为(1-1)2+6=6, 所以当 sin2x=-1 时,y 取得最大值 10, 当 sin2x=1 时,y 取得最小值 6. 考点三 求下列函数的单调区间: π (1)y=2sin(x- )的减区间; 4 (2)y=tan( π -2x)的减区间. 3 (1)由 2kπ+ π π 3 ≤x- ≤2kπ+ π,k∈Z, 2 4 2 三角函数的单调性

[自主解答]

3 7 得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ π,k∈Z. 4 4 ∴函数 y=2sin(x- π )的单调减区间为 4

3 7 [2kπ+ π,2kπ+ π](k∈Z). 4 4 π π -2x)变为 y=-tan(2x- ). 3 3

(2)把函数 y=tan(

π π π 由 kπ- <2x- <kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5 得 kπ- <2x<kπ+ π,k∈Z. 6 6 ∴ kπ π kπ 5 - <x< + π,k∈Z. 2 12 2 12 π -2x)的单调减区间为 3

∴函数 y=tan( (

kπ π kπ 5 - , + π)(k∈Z). 2 12 2 12
(sin 2 x ) 1 2

变式训练:求函数 y= log

的单调区间.
u 1 2

解:令 u=sin2x,u>0,则 y= log 又∵y= log
u 1 2



为减函数. π )(k∈Z). 4

且 u=sin2x>0 的增区间为(kπ,kπ+ π π 减区间为(kπ+ ,kπ+ )(k∈Z). 4 2

戴氏教育集团

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∴函数 y= log (kπ,kπ+

(sin 2 x ) 1 2

的减区间为

π )(k∈Z), 4

π π 增区间为(kπ+ ,kπ+ )(k∈Z). 4 2 考点四 三角函数图象的对称性

(2011·合肥模拟)已知函数 f(x)=Asinωx+Bcosωx(A、B、ω是实常数,ω>0)的 1 最小正周期为 2,并且当 x= 时,f(x)取得最大值 2. 3 (1)求 f(x)的解析式; 21 23 (2)在闭区间[ , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理 4 4 由. [自主解答] (1)因为 f(x)= A +B sin(ωx+φ),
2 2

2π 由它的最小正周期为 2 知 =2,ω=π, ω 1 又因为当 x= 时,f(x)取得最大值 2, 3 1 π π 知 π+φ=2kπ+ (k∈Z),φ=2kπ+ (k∈Z), 3 2 6 所以 f(x)=2sin(πx+2kπ+ π π )=2sin(πx+ ). 6 6

π ). 6 (2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时, 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(πx+ π π 该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx+ =kπ+ (k∈Z), 6 2 1 21 1 23 解得 x=k+ ,由 ≤k+ ≤ , 3 4 3 4 解得 59 65 ≤k≤ ,又 k∈Z,知 k=5, 12 12

21 23 16 由此可知在闭区间[ , ]上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= . 4 4 3

变式训练:已知向量 a=(sinx,2

3sinx),b=(2cosx,sinx),定义 f(x)=a·b- 3.

(1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π (2)若函数 y=f(x+θ)(0<θ< )为偶函数,求θ的值. 2 戴氏教育集团
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解:f(x)=2sinxcosx+2 3sin x- 3=sin2x+2 3× π ). 3

2

1-cos2x - 3=sin2x- 3cos2x=2sin(2x- 2

π π 3π 5π 11π (1)令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,故函数 f(x)的单调 2 3 2 12 12 5π 11π 递减区间是[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 π (2)易得 f(x+θ)=2sin(2x+2θ- ), 3 因函数 y=f(x+θ)(0<θ< 故可知 y=f(x+θ)(0<θ< 得 sin(2θ- θ= π )为偶函数, 2 π )在 x=0 处取得最值, 2

π π π )=±1,∴2θ- =kπ+ , 3 3 2

kπ 5π π 5π + ,k∈Z,又 0<θ< ,解得θ= . 2 12 2 12

考题再现:(2010·江西高考)(12 分)已知函数 f(x)=(1+tanx)sin x+msin(x+ 4 )sin(x- 4 ).
2

1

π

π

(1)当 m=0 时,求 f(x)在区间[

π 3π , ]上的取值范围; 8 4

3 (2)当 tanα=2 时,f(α)= ,求 m 的值. 5 2 [规范解答] (1)当 m=0 时,f(x)=sin x+sinxcosx 1 1 2 π 1 = (sin2x-cos2x)+ = sin(2x- )+ ,……………………(3 分) 2 2 2 4 2 π 3π π 5π 又由 x∈[ , ]得 2x- ∈[0, ], 8 4 4 4 所以 sin(2x- π 2 )∈[- ,1], 4 2

从而 f(x)=

2 π 1 1+ 2 sin(2x- )+ ∈[0, ].……………………(6 分) 2 4 2 2

m 1-cos2x 1 m 2 (2)f(x)=sin x+sinxcosx- cos2x= + sin2x- cos2x 2 2 2 2 1 1 = [sin2x-(1+m)cos2x]+ ,………………………………(8 分) 2 2 由 tanα=2 得 sin2α= 2sinαcosα 2tanα 4 = = , 2 2 2 sin α+cos α 1+tan α 5
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cos α-sin α 1-tan α 3 cos2α= 2 = =- ,……………………(10 分) 2 2 sin α+cos α 1+tan α 5 3 1 4 3 1 所以 f(α)= = [ +(1+m) ]+ ,得 m=-2.………………(12 分) 5 2 5 5 2

2

2

2

四、技法巧点:
1.函数 y=Asin(ωx+φ)的单调性的求法 π 求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间时,基本思路是把ωx+φ看成一个整体,由- + 2 π π 3π 2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)解出 x 的范围是增区间,由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)解出 2 2 2 x 的范围为减区间.求 y=-Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,只需求 y=Asin(ωx+φ)的相反区 间即可,一般常用复合函数的单调性法则或数形结合求解.对于 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ) 的单调性的讨论同上. 2.三角函数值的大小比较 利用三角函数的单调性比较大小时,往往是利用奇偶性、周期性或诱导公式转化为同一单调区间上的两个 同名函数值,再用单调性比较. 3.三角函数的值域或最值的求法 求三角函数的值域或最值时,通常是把函数式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式,如 y=Asin(ωx +φ),或者利用换元法转化为一元二次函数的最值问题,但都应特别注意 x 的取值范围对三角函数值的 限制,不能机械地套用三角函数的有界性.

五、巩固练习:
一、选择题(共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) cosx 1.(2011· 苏州模拟)函数 y=sinx| |(0<x<π)的图象大致是( sinx )

cosx 解析:y=sinx| |= sinx

? ? π ?0,x=2 ?-cosx,π<x<π ? 2

π cosx,0<x< 2

答案:B

2.(2011· 江门模拟)设 f(x)是定义域为 R,最小正周期为

3π π 的函数,若在区间[- ,π]上 f(x)= 2 2

?cosx,-π≤x<0, ? 15π 2 ? 则 f(- )等于( 4 ?sinx,0≤x≤π, ?

)

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A.1

B.

2 2

C.0

D.-

2 2

3 解析:∵函数 f(x)的最小正周期为 π, 2 15 15π 3 3 ∴f(- π)=f(- +3× π)=f( π) 4 4 2 4 3 2 =sin π= . 4 2 答案:B 1 3 3.函数 y= cosx- sinx 的图象的一个对称轴是( 2 2 A.x= 2π 3 B.x= π 6 C.x= π 2 ) D.x= π 4

π π 解析:原式=cos(x+ ),令 x+ =kπ(k∈Z), 3 3 π 则 x=kπ- ,k∈Z. 3 答案:A π π 4.(2011· 大连模拟)已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值为 3 4 ( ) 2 A. 3 3 B. 2 C.2 D.3

π π 解析:∵f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值为-2 3 4 T π π π ∴ ≤ ,即 ≤ 4 3 2ω 3 3 3 ∴ω≥ ,即 ω 的最小值为 . 2 2 答案:B 5.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π, 则 f(x)的单调递增区间是( A.[kπ- ) B.[kπ+ 5π 11π ,kπ+ ],k∈Z 12 12

π 5π ,kπ+ ],k∈Z 12 12

π π C.[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 3 6

π 2π D.[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z 6 3

π 解析:f(x)= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ )(ω>0). 6 2π ∵f(x)图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,恰好是 f(x)的一个周期,∴ ω =π,ω=2. π f(x)=2sin(2x+ ). 6

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π π π π π 故其单调增区间应满足 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z).kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 6 2 3 6 答案:C 6.给出下列命题: 2 π 3 ①函数 y=cos( x+ )是奇函数;②存在实数 α,使得 sinα+cosα= ;③若 α、β 是第一象限角且 α<β, 3 2 2 π 5π π π 则 tanα<tanβ;④x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称轴方程;⑤函数 y=sin(2x+ )的图象关于点( , 8 4 3 12 0)成中心对称图形. 其中正确的序号为( A.①③ C.①④ ) B.②④ D.④⑤

2 π 2 解析:①y=cos( x+ )?y=-sin x 是奇函数; 3 2 3 π 3 ②由 sinα+cosα= 2sin(α+ )的最大值为 2,所以不存在实数 α,使得 sinα+cosα= ; 4 2 ③α,β 是第一象限角且 α<β.例如:45° <30° +360° ,但 tan45° >tan(30° +360° ), 即 tanα<tanβ 不成立; π 5π 3π ④把 x= 代入 y=sin(2x+ )=sin =-1, 8 4 2 π 5π 所以 x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称轴; 8 4 π π π ⑤把 x= 代入 y=sin(2x+ )=sin =1, 12 3 2 π π 所以点( ,0)不是函数 y=sin(2x+ )的对称中心. 12 3 综上所述,只有①④正确. 二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 7.2sin2x+4cosx 的最大值为________. 解析:2sin2x+4cosx =2-2cos2x+4cosx =-2(cos2x-2cosx+1-1)+2 =-2(cosx-1)2+4. 当 cosx=1 时,原式有最大值 4. π π π π π 8. 已知 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0), )=f( ), f(x)在区间( , )有最小值, f( 且 无最大值, ω=________. 则 3 6 3 6 3 π π 解析:由 f( )=f( ), 6 3 π π 知 f(x)的图象关于 x= 对称.且在 x= 处有最小值, 4 4 戴氏教育集团
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π π π ∴ ω+ =2kπ- , 4 3 2 有 ω=8k- 10 (k∈Z). 3

1 π π π π 又∵ T= > - = , ω 3 6 6 2 ∴ω<6, 故 k=1,ω= 14 . 3

? ?sinx,sinx≤cosx 9.对于函数 f(x)=? ,给出下列四个命题: ? ?cosx,sinx>cosx

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π ③该函数的图象关于 x= +2kπ(k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上). 解析:画出函数 f(x)的图象,易知③④正确. 答案:③④ 三、解答题(共 3 小题,满分 35 分) π 10.(2011· 江门模拟)已知函数 f(x)=cos(2x- )+sin2x-cos2x. 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程; (2)设函数 g(x)=[f(x)]2+f(x),求 g(x)的值域. 1 3 解:(1)f(x)= cos2x+ sin2x+sin2x-cos2x 2 2 1 3 π = cos2x+ sin2x-cos2x=sin(2x- ). 2 2 6 2π ∴最小正周期 T= =π. 2 kπ π π π 由 2x- =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 6 2 2 3 kπ π ∴函数图象的对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 3 π π π 1 1 (2)g(x)=[f(x)]2+f(x)=sin2(2x- )+sin(2x- )=[sin(2x- )+ ]2- . 6 6 6 2 4 π 1 1 当 sin(2x- )=- 时,g(x)取得最小值- , 6 2 4 π 1 当 sin(2x- )=1 时,g(x)取得最大值 2,所以 g(x)的值域为[- ,2]. 6 4 戴氏教育集团
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11.(2010· 天津高考)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最小值; 2 6 π π (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos2x0 的值. 5 4 2 解析:(1)由 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)= 3sin2x+cos2x π =2sin(2x+ ). 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π 因为 f(x)=2sin(2x+ )在区间[0, ]上为增函数, 6 6 π π 在区间[ , ]上为减函数, 6 2 π π 又 f(0)=1,f( )=2,f( )=-1, 6 2 π 所以函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2,最小值为-1. 2 π (2)由(1)可知 f(x0)=2sin(2x0+ ). 6 6 π 3 又因为 f(x0)= ,所以 sin(2x0+ )= . 5 6 5 π π π 2π 7π 由 x0∈[ , ],得 2x0+ ∈[ , ]. 4 2 6 3 6 π 从而 cos(2x0+ )=- 6 π 4 1-sin2?2x0+ ?=- . 6 5

π π 所以 cos2x0=cos[(2x0+ )- ] 6 6 π π π π 3-4 3 =cos(2x0+ )cos +sin(2x0+ )sin = . 6 6 6 6 10
? ? ?? ? ? ?? 2π 12.已知△ABC 中,AC=1,∠ABC= ,∠BAC=x,记 f(x)= A B ?B C . 3

(1)求函数 f(x)的解析式及定义域; π 5 (2)设 g(x)=6m· f(x)+1,x∈(0, ),是否存在正实数 m,使函数 g(x)的值域为(1, ]?若存在,请求 3 4 出 m 的值;若不存在,请说明理由. BC AB 1 解:(1)由正弦定理得: = = , sinx 2π π sin sin? -x? 3 3 π sin? -x? 3 1 ∴BC= sinx,AB= , 2π 2π sin sin 3 3 戴氏教育集团
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努力+勤奋+信心=成功

? ? ?? ? ? ?? π 4 π 1 2 3 1 1 π 1 π ∴f(x)= A B ?B C =AB· cos = sinx· BC· sin( -x)·= ( cosx- sinx)· sinx= sin(2x+ )- (0<x< ). 3 3 3 2 3 2 2 3 6 6 3

π π (2)g(x)=6m· f(x)+1=2msin(2x+ )-m+1(0<x< ),假设存在正实数 m 符合题意. 6 3 π ∵x∈(0, ), 3 π π 5π ∴ <2x+ < , 6 6 6 π 1 则 sin(2x+ )∈( ,1]. 6 2 ∵m>0, π ∴函数 g(x)=2msin(2x+ )-m+1 的值域为(1,m+1]. 6 5 5 又函数 g(x)的值域为(1, ],故 m+1= , 4 4 1 解得 m= , 4 1 5 ∴存在正实数 m= ,使函数 g(x)的值域为(1, ]. 4 4

六、反思总结:

当堂过手训练(快练五分钟,稳准建奇功! )
π π 1.(2010·重庆高考)下列函数中,周期为π,且在[ , ]上为减函数的是 4 2 戴氏教育集团
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(

)

努力+勤奋+信心=成功

π A.y=sin(2x+ ) 2 C.y=sin(x+ π ) 2

B.y=cos(2x+

π ) 2

π D.y=cos(x+ ) 2 π )=cos2x 的周期为π, 2

解析:对于选项 A,注意到 y=sin(2x+ π π 且在[ , ]上是减函数. 4 2

2.函数 y=sinxcosx+ 3cos x 的图象的一个对称中心是 ( ) π 3 2π 3 2π 3 A.( ,- ) B.( ,- ) C.( , ) 3 2 3 2 3 2

2

D.(

π 3 , ) 3 2

1 3 3 π 3 π 解析:由题可知,函数 y= sin2x+ cos2x+ =sin(2x+ )+ ,令 2x+ =kπ,k∈Z,则 x=- 2 2 2 3 2 3 π 1 π 1 3 π 3 + kπ, k∈Z, 所以函数图象的对称中心为(- + kπ, ), k∈Z, k=1 时, 当 对称中心为( , ). 6 2 6 2 2 3 2 3.M,N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个不同的交点, 则|MN|的最小值为 A.π B. 2π ( C. 3π ) D.2π

π 2π 5π 2π 解析: 当|MN|最小时, M, 必为两曲线的相邻的两个交点, 点 N 所以可设为 M( , ), N( , - ), 4 2 4 2 根据两点间距离公式得|MN|= π +? 4.设函数 y=sin(
2

2π?

2

= 3π.

π π x+ ),若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最 2 3

小值是________. 解析:由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,可得 f(x1 )为最小值,f(x2)为最大值,|x1-x2|的最小值为半个 周期. 答案:2 x x x x 5.已知向量 a=(cos ,sin ),b=(cos ,cos ),则函数 f(x)= 2 2 2 2 a·b 的单调递减区间为________. 1+cosx sinx 2 π 1 解析:函数 f(x)= + = sin(x+ )+ ,令 2kπ 2 2 2 4 2 + π π 3π π 5π ≤x+ ≤2kπ+ ,得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 4 4

? ?? ? ? ?? ? 2 6.已知 O 为坐标原点, O A =(2sin x,1), O B =(1,-2 ? ?? ? ?? ? ? cosx+1),f(x)= O A · O B +m.
(1)求 y=f(x)的单调递增区间;

3sinx

π (2)若 f(x)的定义域为[ ,π],值域为[2,5],求 m 的值. 2

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努力+勤奋+信心=成功

解:(1)f(x)=2sin x-2 3sinxcosx+1+m =1-cos2x- 3sin2x+1+m π =-2sin(2x+ )+2+m. 6 π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z), 2 6 2 π 2π 得 y=f(x)的单调递增区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 π 7π π 13π (2)当 ≤x≤π时, ≤2x+ ≤ , 2 6 6 6 π 1 ∴-1≤sin(2x+ )≤ , 6 2
? ?1+m=2 ∴1+m≤f(x)≤4+m,∴? ?4+m=5 ?

2

? m=1.

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