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从力做的功到向量的数量积导学案


博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。 陇县中学高效课堂 数学导学案 编号:gy2-0

课题:从力做的功到向量的数量积
课时:2 课时

(2)求 a 在 b 上的射影.

编写:陇县中学高一数学备课组 主备:冯波 备课组长:曹晓鹏 日期: 班级: __________姓名: ____________ 小组: ____________ 教师评价: ___________ 【学习目标】1.理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义; 2.体会平面向量数量积运算与向量投影的关系; 3. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律. 【学习重难点】 重点:平面向量数量积的概念、性质及运算律 难点: 向量的射影 【自主学习】1._______________________________________叫做 a与b 的夹角。 2.已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫 a与b 的数量积。 (或________)记作___________ 即 a ? b =______________________其中 ? 是 a与b 的夹角。______________________叫做向量 a在b 方向上 的___________。 3.零向量与任意向量的数量积为___________。 4.平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非空向量: ① a ? b ? ___________ ②当 a与b 同向时, a ?b = ________

迁移与应用 (1)在题设不变的情况下,求 b 在 a 上的射影; (2)把“a 与 b 的夹角 θ=120° ”换成“a∥b”,求 a· b. (1)数量积的符号同夹角的关系: ①若 a· b>0?θ 为锐角或零角; π ②若 a· b=0?θ= 或 a 与 b 至少有一个为 0; 2 ③若 a· b<0?θ 为钝角或平角. (2)求平面向量数量积的方法 ①若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式 a· b=|a||b|cos θ. ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影,可利用数量积的几何意义求 a· b. 2.平面向量数量积的运算 已知|a|=4,|b|=5,且 a 与 b 的夹角为 60° ,求 2 2 ① a· b;②(a+b) ;③(a-b) ; 2 ④a -b2;⑤(2a+3b)· (3a-2b).

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当 a与b 反向时, a ? b = ________ ,特别地, a ? b = __________ 或

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? a = ___________。
③ cos ? = ___________ ④ a ? b ______________

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5. a ?b 的几何意义:________________________________________。 6.向量的数量积满足下列运算律 已知向量 a , b , c 与实数 ? 。 ① a ? b =___________(______律)

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? ? ? ? ? ③ ? a+b ? ? c =___________
② ? a ? b =___________ 【合作探究】 1.向量数量积的定义及几何意义 已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角 θ=120° . (1)求 a· b;

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迁移与应用 1.若向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 45° ,则 a· a+a· b=__________. 2.已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,且|a|=|b|=4,那么 b· (2a+b)=__________. 向量数量积的运算中要注意的问题: (1)两向量的数量积是数量,不是向量,注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异. (2)向量数量积与代数式运算三个相近公式. (a+b)· (a-b)=a2-b2; (a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2; (a-b)2=|a|2-2a· b+|b|2. (3)向量数量积的表示中的“· ”,既不能省略,也不能写成“×”. 3.求向量的模 活动与探究 3 (1)已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( ). A.0 B.2 2 C.4 D.8 π (2)已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为 ,求|a+b|,|a+2b|. 3
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博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。 迁移与应用 已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a-2b),求|3a+b|,|a-2b|. 迁移与应用 已知 a,b 是两个非零向量,若 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,试求 a 与 b 的夹角 θ.

求向量的模的常见思路及方法: (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系要灵活应用 a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a· a=a2=|a|2 或|a|= a2,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 4.求向量的夹角问题 活动与探究 4 1 1 已知|a|=1,a· b= ,(a-b)· (a+b)= , 2 2 求:(1)a 与 b 的夹角; (2)a-b 与 a+b 的夹角的余弦值.

向量垂直的应用 (1)理论依据:a⊥b?a· b=0. (2)利用向量垂直求参数的取值,通常是由向量垂直,转化为数量积为 0,再利用方程或函数的思想来 求解. 【达标检测】 1.若|a|=5,|b|=6,〈a,b〉=60° ,则 a· b=( ). A.15 B.15 3 C.15 2 D.10 2.已知|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则 a 与 b 的夹角为( ). A.150° B.120° C.60° D.30° 3.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ). A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 4.若|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则|a+3b|=__________. 5.已知两个非零向量 a,b,夹角 θ=120° ,且(a-3b)⊥(7a+5b),问是否存在实数 λ,满足(a-4b)⊥(λa -b)?

迁移与应用 1.若向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=1,a· (a+b)=1,则向量 a,b 的夹角的大小为__________. 2.已知非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|. 求:(1)a 与 a+b 的夹角; (2)a 与 a-b 的夹角.

向量夹角的求法: a· b (1)求向量的夹角要利用公式 cos θ= ,通常分别要求 a· b 和|a|· |b|的值. |a||b| (2)对于不方便单独求出 a· b 与|a|· |b|的值的问题,可寻求两者的关系,转化条件解方程(组). (3)要注意向量夹角的取值范围为[0,π],涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向,区分几何图形 的内角与向量夹角的关系. 5.解决有关垂直问题 活动与探究 5 已知 a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若对两个不同时为零的实数 k,t,使得 a+(t-3)b 与-ka+tb 垂直,试 求 k 的最小值.
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【课堂小结】 1.两向量的数量积是一个数,而不是向量。 2.向量的数量积不能是结合体。 3.计算长度 a = a ?a , a ? b =

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? ? a ?b cos ? = ? ? a b

?a ? b? =
2

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?2 ? ? ?2 a ? 2a ? b+b

求向量夹角

【我的收获】


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