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常微分方程总结ppt课件_图文

微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容) 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F (x, y, y?,?, y(n) ) ? 0 或 y(n) ? f (x, y, y?,?, y(n?1) ) ( n 阶显式微分方程) 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): y(x0 ) ? y0 , y?(x0 ) ? y0? , ?, y(n?1) (x0 ) ? y0(n?1) 引例1 通解: dy dx ? 2x y x?1? 2 引例2 y ? x2 ? C d2y dx2 ? ? 0.4 s t?0 ? 0 , ds dt t?0 ? 20 s ? ?0.2t 2 ? C1t ? C2 特解: y ? x2 ?1 s ? ?0.2t 2 ? 20t 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.微分方程的解(几何意义): ①微分方程的特解是一个函数;y ? y(x)又是平面的一条曲线, 定 称这条曲线为微分方程的积分曲线。 义 3 ②微分方程的通解是一族函数;y ? y(x,c1,c2,?,cn )又是平面内 的一族曲线,称它们为微分方程的积分曲线族。 例1中,积分曲线为y ? x2 ? 1; 例1中,积分曲线族为y ? x2 ? c 注:微分方程的积分曲线族中 的每一条曲线在点(x0, y0 )处有平 行的切线。 3 第二节 第七章 可分离变量微分方程 可分离变量方程 dy dx ? f1 ( x) f2 ( y) M1(x)M 2 ( y) dx ? N1(x) N2 ( y) dy ? 0 转化 解分离变量方程 g( y) dy ? f (x) dx 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法: g(y)dy ? f (x)dx ① 设 y=? (x) 是方程①的解, 则有恒等式 g(? (x))??(x) dx ? f (x) dx 两边积分, 得 ? ? f (x)dx 则有 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) =g(y)≠0 时, 上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数 y=?(x) 是①的解. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x=?(y) 也是①的解. 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 解法: 令 u ? y , x 代入原方程得 u ? x d u ? ? (u) dx 分离变量: du ? dx ?(u) ? u x 两边积分, 得 ? du ?(u) ? u ? ? dx x 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 (x ? y) y? ? 0 有解 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 3 .齐次方程的求解方法: 令 u? y, x 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: dy ? P(x) y ? Q(x) dx 若 Q(x) ? 0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 dy ? P(x) y ? 0 dx 分离变量 两边积分得 ln y ? ?? P(x)dx ? ln C 故通解为 y ? C e?? P(x)dx 注:①所谓线性,即是 方程中未知函数及其导 函数均为一次函数 ②本节的“齐次方程” 与上节的“齐次方程” 是两个不同的概9 念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 解非齐次方程 dy ? P(x) y ? Q(x) dx 用常数变易法:作变换 y(x) ? u(x) e?? P(x)d x , 则 u? e?? P(x)d x ? P(x) u e?? P(x)d x ? P(x) 该u e定??理P(易x)让d x我?们Q想(x起) 即 《线性代数》中的 ? 两端积分得对应齐u 次? 方Q程(x通) e解? P(x)yd?x dCxe??一组C? P阶的(x)非解dx齐的次结线构性定方理程。 ? 故原方程的通解 y ? e?? P(x)d x ? ?? Q( x) e? P( x) d x dx ? C ? ?? 即 ? y ? Ce?? P(x)d x ? e?? P(x)d x Q(x) e? P(x)d xdx 齐次方程通解 非齐次方程特解 10 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 解法: 除方程两边 ,