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[小初高学习]2018-2019版高中数学 第三章 统计案例章末复习学案 新人教A版选修2-3

小初高试卷教案习题集 第三章 统计案例 章末复习 学习目标 实施步骤. 1.会求线性回归方程,并用回归直线进行预报.2.理解独立性检验的基本思想及 1.最小二乘法 ^ ^ ^ 对于一组数据(xi,yi),i=1,2,…,n,如果它们线性相关,则线性回归方程为y=bx+a, ? ^ n ?xi- x ??yi- y ? = n ?xiyi-n x y i=1 ^ ^ n i=1 其中b= ,a= y -b x . i-n x ?x2 i=1 n 2 ? ?xi- x i=1 ? 2 2.2×2 列联表 2×2 列联表如表所示: B A A 总计 B b d b+d 总计 a c a+c a+b c+d n 小初高试卷教案习题集 小初高试卷教案习题集 其中 n=a+b+c+d 为样本容量. 3.独立性检验 常用随机变量 K2= n?ad-bc?2 来检验两个变量是否有关系. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 类型一 回归分析 例 1 (2016·全国Ⅲ改编)如图是我国 2008 年到 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位: 亿吨) 的折线图. 注:年份代码 1~7 分别对应年份 2008~2014 (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2019 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据: ?yi=9.32, ?tiyi=40.17, i=1 i=1 7 7 ? ?yi- y i=1 7 ? =0.55, 7≈2.646. 2 ? ?ti- t ??yi- y i=1 n ? , 参考公式:相关系数 r= ? ?ti- t ?2 ? ?yi- y i=1 i=1 n n ? 2 ? ?ti- t ??yi- y ^ ^ ^ ^ n ? ^ i=1 回归方程y=a+bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b= ,a= ? ?ti- t i=1 ^ n ? 2 y -b t . 考点 线性回归分析 小初高试卷教案习题集 小初高试卷教案习题集 题点 线性回归方程的应用 解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t =4, ? (ti- t )2=28, i=1 7 ? ?yi- y i=1 7 7 ? =0.55, 2 ? (ti- t )(yi- y )= ?tiyi- t ?yi=40.17-4×9.32=2.89, i=1 i=1 i=1 7 7 r≈ 2.89 ≈0.99. 2×2.646×0.55 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回 归模型拟合 y 与 t 的关系. 9.32 (2)由 y = ≈1.331 及(1)得 7 ? ?ti- t ??yi- y ^ 7 ? 2.89 = ≈0.103, 28 i=1 b= ? ?ti- t i=1 ^ ^ 7 ? 2 a= y -b t ≈1.331-0.103×4≈0.92. ^ 所以 y 关于 t 的回归方程为y=0.92+0.10t. 将 2019 年对应的 t=12 代入回归方程得 ^ y=0.92+0.10×12=2.12. 所以预测 2019 年我国生活垃圾无害化处理量约为 2.12 亿吨. 反思与感悟 解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求回归方程. 通过观察散点图, 直观感知两个变量是否具有相关关系; 在此基础上,利用最小二乘法求回归系数,然后写出回归方程. (3)回归分析.画残差图或计算 R ,进行残差分析. (4)实际应用.依据求得的回归方程解决实际问题. 跟踪训练 1 经分析预测,美国通用汽车等 10 家大公司的销售总额 xi(i=1,2,…,10,单 ^ 2 位:百万美元)与利润 yi(i=1,2,…,10,单位:百万美元)的近似线性关系为y=0.026x+ a,经统计 ?xi=623 090, ?yi=29 300. i=1 i=1 ^ 10 10 小初高试卷教案习题集 小初高试卷教案习题集 ^ (1)求a; ^ (2)若通用汽车公司的销售总额 x1=126 974(百万美元),残差e1=-387,估计通用汽车的利 润; (3)福特公司的销售总额为 96 933 百万美元,利润为 3 835,比较通用汽车公司与福特公司 利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率说明了什么?(以上答案精确到个位) 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 解 (1)由 ?xi=623 090, ?yi=29 300, i=1 i=1 10 10 得样本点中心为(62 309,2 930), ^ 所以a=2 930-0.026×62 309≈1 310. ^ (2)由(1)知y=0.026x+1 310, 当 x1=126 974 时, ^ y1=0.026×126 974+1 310≈4 611, ^ ^ 所以 y1=y1+e1=4 611+(-387)=4 224, 估计通用汽车公司的利润为 4 224 百万美元. (3)由(1)(2)可得通用汽车公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为 R1, ^ 2 ?-387? 则 R =1- =1- 2 ≈0.911=91.1%. 2 1 294 ?y1- y ? 2 2 2 1 ?y1-y1? 设福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为 R2, ^ 2 由y=0.026x+1 310 得 ^ y2=0.026×96 933+1 310≈3 830, ?3 835-3 830? 5 2 则 R2=1- 2=1- 2≈0.999 97 ?3 8