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河北省衡水中学12-13学年高二下学期第一次调研考试数学(理)试题

衡水中学2012-2013学年高二下学期第一次调研考试数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案

的序号填涂在答题卡上) 1.在复平面上复数 ? 1 ? i ,0,3 ? 2i 所对应的点分别是 A , B ,C ,则平行四边形 ABCD 的对角线

BD
( A.5 个 ) B. 13







C. 15

D. 17 ( D.既不充分也不必要条件 )

2.设 a , b ? R ,那么“ a 2 ? b 2 ? 1 ”是“ ab ? a ? b ? 1 ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

3.用数学归纳法证明等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? 边应取的项是 A.1 B.1+2

(n ? 2)(n ? 3) (n ? N *) ,验证 n ? 1 时,左 2
( )

C.1+2+3

D.1+2+3+4

4.从正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8 个顶点中选取 4 个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的 个数为 A.58 B.62
3

( C.64 D.66 )

)

5. 已知 a ? 0 ,函数 f (x ) ? ? x A.4 6. 设 曲 线 y ? x B.3
n ?1

? ax 在 [1,??) 上是单调减函数,则 a 的最大值为(
C.2 D.1

(n ? N *) 在 (1,1) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 x n , 则
( D. ? 1 ( ) )

log 2012 x 1 ? log 2012 x 2 ? ? ? log 2012 x 2011 的值为
A. ? log 2012 2011 B.1
ax

C. (log 2012 2011) ? 1

7.设 a ? R ,若函数 y ? e

? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则

A. a ? ?

1 3

B. a ? ?

1 3

C. a ? ?3

D. a ? ?3

8. 若 a , b , c 均 为 实 数 , 则 下 面 四 个 结 论 均 是 正 确 的 : ① ab ? ba ; ② ?ab ?c ? a ?bc ? ; ③ 若

ab ? bc , b ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;④若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 。
对向量 a , b , c ,用类比的思想可得到以下四个结论:① a ? b ? b ? a ;② a ? b c ? a b ? c ;③ 若 a ? b ? b ? c , b ? 0 ,则 a ? c ;④若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 。其中结论正确的有( A.0 个 9.若 0 ? x ? B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ( C. 2x ? 3 sin x D.与 x 的取值有关 ) )

? ? ? ?

?
2

,则 2x 与 3 sin x 的大小关系 B. 2x ? 3 sin x

A. 2x ? 3 sin x

10.已知函数 f (x )(x ? R ) 的图像上任一点 (x 0 , y 0 ) 处的切线方程为
2 y ? y 0 ? (x 0 ? 2)(x 0 ? 1)(x ? x 0 ) ,那么函数 f (x ) 的单调增区间是

( D. (2,??)



A. [?1,??)

B. (?1,1) 和 (2,??)

C. (??,?1) 和 (1,2)

11.用三种不同的颜色填涂如图 3 ? 3 方格中的 9 个区域,要求每行每列的三个区域都 不同色,则不同的填涂种数共有 A.6 B.12 C. 24 D.48 ( )

12.定义域为[ a, b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象 上任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若不等式

MN ? k 恒成立,则称函数 f (x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ?
上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为 A.[0,+∞) B. ? (

1 在[1,2] x
)

?1 ? ,?? ? ?12 ?

C. ? ?

?3 ?2

? 2 ,?? ? ?

D. ? ? 2 ,?? ?

?3 ?2

? ?

第Ⅱ卷(非选择题
二、

共 90 分)

填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13. z 1 是复数, z 2 ? z 1 ? i z 1 (其中 z 1 表示 z 1 的共轭复数) ,已知 z 2 的实部是 ? 1 ,则 z 2 的虚

部为



14. 四名优等生保送到三所学校去, 每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_________. (用数字作答) 15.从如图所示的长方形区域内任取一点 M (x , y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 16.如果圆柱的轴截面周长为定值 4,则圆柱体积的最大值为 。 。

17. 三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传球后,球仍回到甲手中, 则 不同的传球方式种数为 18. 已知函数 f (x ) ? x
2 3

。 (用数字作答)

2 ? ax 2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值,若对 x ? [?1,2] ,不 3


等式 f (x ) ? c 恒成立,则 c 的取值范围为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答 题纸的相应位置) 19.(本小题满分 10 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB ∥ CD ,∠ DAB ? 900 , PA ⊥底面 ABCD ,且

PA ? AD ? DC ?

1 AB ? 1 , M 是 PB 的中点. 2

(1)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)求钝二面角 A ? CM ? B 的余弦值. ....

20、 (本小题满分 12 分)

已知点 Pn (a n , b n ) 满足 a n ?1 ? a n ? b n ?1 , b n ?1 ? (1)求过点 P1 , P2 的直线 l 的方程;

bn (n ? N *) 且点 P1 的坐标为 (1,?1) 。 2 1 ? 4a n

(2)证明:对于 n ? N * ,点 Pn 都在直线 l 上。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) ? ln(1 ? ax ) ? x (a ? 0, x ? (0,1])
2

(1)求函数 f (x ) 的单调递增区间; (2)若不等式 1 ? n 2 ? ? n 2 ln?1 ?

? ?

2? ? 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围。 n?

22.(本小题满分 12 分) 已知点 M (?5, 0), C (1, 0), MB ? 2 BC , P 是平面上一动点,且满足 PC ? BC ? PB ? CB , (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m, 2) 在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD, AE ,且 AD, AE 的斜率为 k1 , k2 满足 k1k2 ? 2 ,试判断动直线 DE 是否过定点,并证明你的结论.

????

??? ?

2012-2013 学年度第二学期一调考试高二数学(理科)答案

10 . ??????????4 分 5 ???? ???? ? ? ???? ? 1 ??? 1 (2)∵ AC ? (1,1, 0), AM ? (0,1, ), CB ? ( ?1,1, 0), BM ? (0, ?1, ) 2 2 ?? 记平面 ACM 的法向量为 n1 ? ( x, y, z )
∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

?? ???? ?n1 ? AC ? 0 ? x ? y ? 0 ? ? 则 ? ?? ???? 即? ,令 x ? 1 则 y ? ?1, z ? 2 , ? 1 n1 ? AM ? 0 ? y ? z ? 0 ? ? ? 2 ?? ∴ n1 ? (1, ?1, 2) ??????????6 分
同理可得平面 BCM 的法向量为 n2 ? (1,1, 2) ??????????8 分

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 3
又易知二面角 A ? CM ? B 的平面角为钝角, ∴二面角 A ? CM ? B 的余弦值为 ?

2 3

??????????10 分

20.

21.

???? ??? ? 22. 解:(1)由 M (?5, 0), C (1, 0), MB ? 2 BC 可知 B(?1, 0) ??????????1 分
设 P ( x, y ) ,则 PC ? (1 ? x, ? y ), BC ? (2, 0) , PB ? (?1 ? x, ? y ), CB ? (?2, 0) ??????????2 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 代入 PC ?BC ? PB ? CB 得: 2 (1 ? x) 2 ? y 2 ? 2(1 ? x)
化简得: y ? 4 x 即为 C 对应的方程,
2 2

??????????5 分

(2)将 A(m, 2) 代入 y ? 4 x 得 m ? 1 ∴ A(1, 2) ??????????6 分 设直线 DE 的方程为: y ? kx ? b 代入 y ? 4 x 消 x 得: k x ? 2(kb ? 2) x ? b ? 0 ??????????7 分
2 2 2 2

记 D ( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ?

?2(kb ? 2) b2 , x1 x2 ? 2 ??????????8 分 k2 k
y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? 2 且 y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b x1 ? 1 x2 ? 1

∵ k1k2 ? 2 ∴

∴ (k 2 ? 2) x1 x2 ? (kb ? 2k ? 2)( x1 ? x2 ) ? (b ? 2) 2 ? 2 ? 0 ∴ b ? (k ? 2)
2 2

∴ b ? ? (k ? 2) ??????????10 分 当 b ? k ? 2 时代入 y ? kx ? b 得: y ? k ( x ? 1) ? 2 过定点 (?1, ?2) 当 b ? 2 ? k 时代入 y ? kx ? b 得: y ? k ( x ? 1) ? 2 过 A(1, 2) ,不合题意,舍去. 综上可知直线 DE 恒过定点 (?1, ?2) .??????????12 分

23. 解:因为 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? ln(1 ? x) 2 所以f ?( x) ? 2(1 ? x) ?
(1)令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

2 1? x

2 1 x 2 ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 1? x 1? x 1? x
(3 分)

? ?2 ? x ? ?1 或 x>0,所以 f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞) ;
2 1 x 2 ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 1? x 1? x 1? x

令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

? ?1 ? x ? 0或x ? ?2, 所以f ( x) 的单调减区间(-1,0)和(-∞,-2)(6 分) 。
(2)令 f ?( x) ? 0 ? (1 ? x) ? 1 ? x ? 0或x ? ?2 (舍) ,由(1)知,f(x)连续,
2

1 1 ? f ( ? 1) ? 2 ? 2, f (0) ? 1, f (e ? 1) ? e 2 ? 2, e e 1 所以, 当x ? [ ? 1, e ? 1]时, f ( x)的最大值为e 2 ? 2. e
因此可得:f(x)<m 恒成立时,m>e -2
2