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北师大版数学必修二1.2.4第2课时 (8)


1.2.2
明目标、知重点

空间两条直线的位置关系

1.了解空间中两条直线的位置关系;2.理解异面直线的概念、画法;3.

理解并掌握公理 4 及等角定理;4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求 出一些较特殊的异面直线所成的角.

1.空间中两条直线的位置关系 位置关系 共面直线 相交直线 平行直线 异面直线 2.公理 4 (1)文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)符号表示:a∥b 且 b∥c?a∥c. (3)含义:揭示了空间平行线的传递性. 3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. 4.异面直线所成的角 前提 定义 作法 结论 范围 特殊情况 两条异面直线 a,b 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b 我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ,则 0° <θ≤90° . 当 θ=90° 时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. 共面情况 同一平面内 同一平面内 不同在任何一平面内 公共点个数 有且只有一个公共点 无公共点 无公共点

[情境导学] 在平面中没有公共点的两条直线一定平行,但在空间中就不一定成立.例如: 在十字路口立交桥中,两条路线 AB,CD 既不相交,又不平行.今天我们就来研究空间中 直线与直线之间的位置关系. 探究点一 空间两直线的位置关系

思考 1 在同一平面内,两条直线有几种位置关系? 答 平行与相交. 思考 2 观察下面两个图形,你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?

答 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线;六角螺母中直线 AB 与 CD. 小结 (1)我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. (2)空间的两条直线有如下三种关系:
? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ①共面直线? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ?

②异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 思考 3 如何判断两条直线是异面直线?分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? 答 方法 1:两条直线既不相交、又不平行;方法 2:两条直线不同在任何一个平面内. 不一定.它们可能异面,可能相交,也可能平行. 思考 4 为了体现异面直线不共面的特点,如何借助平面衬托来画异面直线呢? 答 如图所示

思考 5 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么 AB,CD,EF,GH 这 四条线段所在直线是异面直线的有几对?

答 三对,AB 与 CD,AB 与 GH,EF 与 GH. 探究点二 公理 4 思考 1 在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在 空间中, 是否有类似的规律?现在请大家看一看我们的教室, 找一下有无不在同一平面内的 三条直线两两平行的. 答 教室里的地面和墙面相交的两条平行线与墙面和天花板相交的直线不在同一平面内, 且 三条直线两两平行. 小结 (1)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(2)公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用. 思考 2 公理 4 有什么作用?如何用符号语言表示公理 4? 答 公理 4 的作用:判断空间两条直线平行的依据.符号表示:设空间中的三条直线分别为 a,b,c, 若
? a∥b? ??a∥c. c∥b ? ?

例 1 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.求

证:四边形 EFGH 是平行四边形. 1 证明 因为 EH 是△ABD 的中位线,所以 EH∥BD,且 EH= BD. 2 1 同理 FG∥BD,且 FG= BD. 2 因为 EH∥FG,且 EH=FG, 所以四边形 EFGH 为平行四边形. 反思与感悟 证明空间两条直线平行的方法有两种:一是利用平面几何知识(三角形、梯形 中位线、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等)证明;二是利用公理 4,就是需找 到直线 c,使得 a∥c,同时 b∥c,由公理 4 得到 a∥b. 跟踪训练 1 在例 1 中,如果再加上条件 AC=BD,那么四边形 EFGH 是什么图形? 解

四边形 EFGH 是菱形.证明如下: 由例 1 可知四边形 EFGH 为平行四边形,连结 AC,由题意知 HG 为△ADC 的中位线, 1 1 所以 HG= AC,又因为 EH 是△ABD 的中位线,EH= BD,由 AC=BD 知,HG=EH.所以 2 2 四边形 EFGH 是菱形. 探究点三 等角定理 问题 在平面上, 我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两 个角相等或互补”,在空间中,结论是否仍然成立呢? 思考 1 观察图,在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,∠ADC 与∠A′D′C′,∠ADC 与

∠D′A′B′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?

答 从图中可以看出,∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC+∠D′A′B′=180° . 小结 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 思考 2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么由等角定理能推出什么结论? 答 这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 探究点四 异面直线所成的角 思考 1 在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于 90 度的角称

为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图在正方体 ABCD-EFGH 中,异面直线 AB 与 HF 的错开程度怎样来刻画?这种刻画应用的是什么数学思想? 答 平移转化成相交直线所成的角,由于 AB∥EF,可用 EF 与 HF 的夹角来刻画.应用的 是数学上的转换思想,即化空间图形问题为平面图形问题. 小结 异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,则把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

思考 2 异面直线所成的角的大小与 O 点的位置有关吗?即 O 点位置不同时,这一角的大 小是否改变? 答 这个角的大小与 O 点的位置无关. 思考 3 异面直线所成角的范围如何?什么是异面直线垂直? 答 异面直线所成角的范围为(0° ,90° ],如果两条异面直线 a,b 所成的角为直角,我们就 称这两条异面直线 a,b 互相垂直,记为 a⊥b. 思考 4 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直 吗?为什么? 答 也垂直.由异面直线所成角的定义可知. 思考 5 垂直于同一条直线的两条直线是否平行? 答 不一定平行, 垂直同一条直线可以从不同的方向垂直, 所以垂直于同一条直线的两条直 线也可能是异面.

小结 两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直, 异面垂直这样两种情形. 例 2 如图,已知正方体 ABCD—A′B′C′D.

(1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? (2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少? 解 (1)由异面直线的定义可知,棱 AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分 别与直线 BA′是异面直线. (2)由 BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线 BA′与 CC′的夹角,∠B′BA′=45° , 所以直线 BA′和 CC′的夹角为 45° . 反思与感悟 “等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性, 即过空 间任一点,作两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角)都是相等的,而 与所取点的位置无关. 跟踪训练 2 如图,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G 分别是 AB,BC,AD 的中点,∠GEF =120° ,则 BD 和 AC 所成角的度数为________.

答案 60° 解析 因为 E,F,G 分别是 AB,BC,AD 的中点,所以 EG∥BD,EF∥AC,因此 EG,EF 所成的锐角是异面直线 BD,AC 所成的角,所以 BD 和 AC 所成的角的度数是 180° -120° =60° . 例 如图所示,正方体 AC1 中,E、F 分别是 A1B1、B1C1 的中点,求异面直线 DB1 与 EF

所成角的大小.

解 方法一 如图所示,连结 A1C1,B1D1,并设它们相交于点 O,取 DD1 的中点 G,连结 OG,A1G,C1G.

则 OG∥B1D,EF∥A1C1.

∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O 为 A1C1 的中点, ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° . 方法二 如图所示,连结 A1D,取 A1D 的中点 H,连结 HE, 1 则 HE 綊 DB1.于是∠HEF 为所求 2

异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. 连结 HF,设 AA1=1, 则 EF= 2 3 ,HE= , 2 2

取 A1D1 的中点 I,连结 HI,IF, 则 HI⊥IF. 5 ∴HF2=HI2+IF2= . 4 ∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90° . ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° . 反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤: (1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质)作出异面直 线所成的角. (2)证明:证明作出的角就是要求的角. (3)计算:求角度,常利用三角形. (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角, 则它的补角就是所求异面直线所成的角. 跟踪训练 3 如图, 在四棱锥 O-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, OA⊥底面 ABCD, OA=2,

M 为 OA 的中点.

(1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4, 1 8 所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3 (2)

连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE, 则∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角), 由已知,可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2, ∴△DEM 为直角三角形, DE 2 6 ∴tan∠EMD= = = . EM 3 3

1.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是________. 答案 平行或相交或异面 解析 如图(1)所示,直线 a 与 b 互相平行;如图(2)所示,直线 a 与 b 相交;如图(3)所示, 直线 a 与 b 异面.

2.若 a 和 b 是异面直线,b 和 c 是异面直线,则 a 和 c 的位置关系是________. 答案 相交、平行或异面 解析 异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明 a、b 异面,直线 c 的位置可 如图所示.

3.下列四个结论中假命题的个数为________. ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②平行于同一直线的两直线平行; ③若直线 a,b,c 满足 a∥b,b⊥c,则 a⊥c; ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线. 答案 2 解析 ①④均为假命题.①可举反例,如 a、b、c 三线两两垂直. ④如图甲时,c、d 与异面直线 l1、l2 交于四个点,此时 c、d 异面; 当点 A 在直线 l1 上运动(其余三点不动)时,会出现点 A 与 B 重合的情形,如图乙所示,此时 c、d 共面相交.

4.如图,已知长方体 ABCD—A′B′C′D′中,AB=2 3,AD=2 3,AA′=2. (1)BC 和 A′C′所成的角是多少度? (2)AA′和 BC′所成的角是多少度? 解 (1) 因为 BC∥B′C′ ,所以 ∠B′C′A′ 是异面直线 A′C′ 与 BC 所成的角.在

Rt△A′B′C′中,A′B′=2 3,B′C′=2 3,所以∠B′C′A′=45° . (2)因为 AA′∥BB′,所以∠B′BC′是异面直线 AA′和 BC′所成的角. 在 Rt△BB′C′中,B′C′=AD=2 3,BB′=AA′=2, 所以 BC′=4,∠B′BC′=60° .

因此,异面直线 AA′与 BC′所成的角为 60° . [呈重点、现规律] 1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定 义就是一种常用的判定方法. 2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所 成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要 强调的是,两条异面直线所成角的范围为(0° ,90° ],解题时经常结合这一点去求异面直线所 成角的大小. 作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用 图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何 体,以便找到平行线).

一、基础过关 1.已知 AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30° ,则∠PQR=________. 答案 30° 或 150° 解析 由等角定理可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补,故答案为 30° 或 150° . 2.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱长, 所在直线与棱 AA1 所在直线垂直的共有________ 条. 答案 8 解析 所在直线与棱 AA1 所在直线垂直的有 AB,BC,CD,DA,A1B1,B1C1,C1D1,D1A1, 共 8 条. 3.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连结四边中点的四边形一定是________. 答案 矩形 解析 易证四边形 EFGH 为平行四边形.

又∵E,F 分别为 AB,BC 的中点, ∴EF∥AC,

又 FG∥BD, ∴∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角. 而 AC 与 BD 所成的角为 90° , ∴∠EFG=90° , 故四边形 EFGH 为矩形. 4.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的关系为________. ①一定是异面直线;②一定是相交直线;③不可能是平行直线;④不可能是相交直线. 答案 ③ 解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若 b∥c,则 a∥b,与已知 a、b 为异面直线相矛盾. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中 点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于________.

答案 60° 解析 连结 BC1,BA1,A1C1,∵EF∥BA1,GH∥BC1,∴异面直线 EF 与 GH 所成的角即为 BC1 与 BA1 所成的角,即∠A1BC1,又∵A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60° . 6.已知正方体 ABCD—A′B′C′D′中: (1)BC′与 CD′所成的角为________; (2)AD 与 BC′所成的角为________. 答案 (1)60° (2)45° 解析 如图,

连结 BA′,则 BA′∥CD′,连结 A′C′,则∠A′BC′就是 BC′与 CD′所成的角. 由△A′BC′为正三角形, 知∠A′BC′=60° , 由 AD∥BC,知 AD 与 BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC=45° .

1 7.如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 AD, 2 1 BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知 FG=GA,FH=HD, 1 1 可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC, 2 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形. 1 (2)解 由 BE 綊 AF,G 为 FA 的中点知,BE 綊 FG, 2 ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH, ∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 二、能力提升

如图所示,已知三棱锥 A-BCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点,则下列结论正确的是 ________. 1 ①MN≥ (AC+BD); 2 1 ②MN≤ (AC+BD); 2 1 ③MN= (AC+BD); 2 1 ④MN< (AC+BD). 2

答案 ④

1 解析 如图所示,取 BC 的中点 E,连结 ME、NE,则 ME= AC, 2 1 NE= BD, 2 1 所以 ME+NE= (AC+BD). 2 在△MNE 中,有 ME+NE>MN, 1 所以 MN< (AC+BD). 2 9.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中(如图),l?平面 A1B1C1D1,且 l 与 B1C1 不平行,则下 列一定不可能的是________.

①l 与 AD 平行; ②l 与 AD 不平行; ③l 与 AC 平行; ④l 与 BD 垂直. 答案 ① 解析 假设 l∥AD,则由 AD∥BC∥B1C1,知 l∥B1C1,这与 l 与 B1C1 不平行矛盾, ∴l 与 AD 不平行. 10.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ④若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________.(只填序号) 答案 ① 解析 由公理 4 知①正确;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以

异面,故②不正确;a?α,b?β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故③不正 确;当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故④不正确.

如图,正方体 ABCD-EFGH 中,O 为侧面 ADHE 的中心,求: (1)BE 与 CG 所成的角; (2)FO 与 BD 所成的角. 解 (1)∵CG∥BF, ∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角, 又 Rt△BEF 中,∠EBF=45° , 所以 BE 与 CG 所成的角为 45° .

(2)连结 FH,BD,FO, ∵HD 綊 EA,EA 綊 FB,∴HD 綊 FB, ∴四边形 HFBD 为平行四边形, ∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角. 连结 HA、AF, 易得 FH=HA=AF, ∴△AFH 为等边三角形, 又依题意知 O 为 AH 的中点,∴∠HFO=30° , 即 FO 与 BD 所成的角是 30° .

12.已知 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线.

(2)解 取 CD 的中点 G,连结 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角, 1 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角.在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45° , 2 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° . 三、探究与拓展

在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,EF= 3,求 AD 与 BC 所成角的大小. 解 取 BD 的中点 G,连结 GE,GF. 因为 BE=EA,BG=GD, 1 所以 GE∥AD,GE= AD=1. 2

因为 DF=FC,DG=GB, 1 所以 GF∥BC,GF= BC=1. 2 所以∠EGF(或其补角)是异面直线 AD 与 BC 所成的角. 在△GEF 中,GE=1,GF=1,EF= 3(如图),

取 EF 的中点 O,连结 GO, 1 3 则 GO⊥EF,EO= EF= . 2 2 EO 3 所以 sin∠EGO= = ,∠EGO=60° , EG 2

所以∠EGF=2∠EGO=120° , 所以异面直线 AD 与 BC 所成角的大小是 180° -120° =60° .


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