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新课标2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用__最值问题课时作业新人教B版必修5

2017 春高中数学 第 3 章 不等式 3.2 均值不等式 第 3 课时 均值不 等式的应用——最值问题课时作业 新人教 B 版必修 5

基础巩固 一、选择题 1.已知正数 x、y 满足1x+4y=1,则 xy 有 导学号 27542722 ( C )

1 A.最小值16

B.最大值 16

C.最小值 16

D.最大值116

[解析] ∵x>0,y>0,∴1x+4y≥2

4 xy=4

1 xy,

14 又∵x+y=1,∴4

x1y≤1,∴x1y≤116,∴xy≥16,故选 C.

2.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个三角形的面

积之和的最小值为 导学号 27542723 ( D )

A.3 2 3 cm2

B.4 cm2

C.3 2 cm2

D.2 3 cm2

[解析] 设一段为 a cm,另一段为 b cm,则 a+b=12,两个三角形的面积和为 43(a3)2

+ 43(b3)2= 43[(a3)2+(b3)2]≥ 43·

3a+b3 2

2
=2 3,当且仅当 a=b=6 时取等号,故选 D.

3.若 x>0,y>0,且 x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是 导学号 27542724 ( B )

11 A.x+y≤4

11 B.x+y≥1

C. xy≥2

D.x1y≥1

[解析] 取 x=1,y=2 满足 x+y≤4 排除 A、C、D 选 B.

具体比较如下:∵0<x+y≤4∴x+1 y≥14故 A 不对;

∵4≥x+y≥2 xy,∴ xy≤2,∴C 不对;

1

又 0<xy≤4,∴x1y≥14∴D 不对;

1x+1y=x+ xyy≥2 xyxy=

2, xy

∵ 1xy≥12,∴1x+1y≥1.

4.若-4<x<1,则当x2-2x2-x+2 2取最大值时 x 的值为 导学号 27542725 ( D )

A.-3

B.-2

C.-1

D.0

x2-2x+2 x2-2x+1+1 [解析] 变形可得, 2x-2 = x-

x- 2+1 x-1

1

= x- = 2 + x- ,

∵-4<x<1,∴-5<x-1<0,

∴原式=x-2 1+

1 x-

=-[-x-2 1+-

1 x-

]

x-1

1

≤-2 - 2 ·- x- =-1,

当且仅当-x-2 1=-

1 x-

,即 x=0 时取等号,故选 D.

5.已知 a+b=t(a>0,b>0),t 为常数,且 ab 的最大值为 2,则 t 等于 导学号 27542726

(C)

A.2

B.4

C.2 2

D.2 5

[解析]

当 a>0,b>0 时,ab≤

a+b 4

t 2

2

= 4 ,当且仅当

a=b=t2时取等号.因为

ab



最大值为 2,所以t42=2,t2=8,所以 t= 8=2 2.故选 C.

6.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 导学号 27542727 ( D )

A.[0,2]

B.[-2,0]

C.[-2,+∞)

D.(-∞,-2]

[解析] ∵2x+2y≥2 2x+y,∴2 2x+y≤1,

∴2x+y≤14=2-2,∴x+y≤-2,故选 D.

二、填空题

2

7.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C(单位: mg/L)随时间 t(单位:h)的变化关系为 C=t22+0t4,则经过 2h 后池水中该药品浓度达到最

大. 导学号 27542728

[解析] C=t220+t4=t2+04t.

因为 t>0,所以 t+4t≥2

t·4t=4(当且仅当 t=4t,即 t=2 时等号成立.)所以 C=t2+04t

20 ≤ 4 =5,

即当 t=2 时,C 取得最大值.

8.已知

a、b

为实常数,函数

y = (x - a)2 + (x - b)2











1 2

(a



b)2.

导学号 27542729

[解析] 从函数解析式的特点看,本题可化为关于 x 的二次函数,再通过配方求其最小

值(留给读者完成).但若注意到(x-a)+(b-x)为定值,则用变形不等式a2+2 b2≥(a+2 b)2

更简捷.

∴y=(x-a)2+(x-b)2≥2[

x-a

+ 2

b-x

]2=

a-b 2

2
.

当且仅当 x-a=b-x,即 x=a+2 b时,上式等号成立.

∴当 x=a+2 b,ymin=

a-b 2

2
.

三、解答题

9.已知正常数 a、b 和正实数 x、y,满足 a+b=10,ax+by=1,x+y 的最小值为 18,

求 a、b 的值. 导学号 27542730

[解析] x+y=(x+y)·1=(x+y)·(ax+by) =a+b+axy+byx≥a+b+2 ab=( a+ b)2, 等号在axy=byx即yx= ba时成立. ∴x+y 的最小值为( a+ b)2=18,

3

又 a+b=10,∴ab=16. ∴a、b 是方程 x2-10x+16=0 的两根, ∴a=2,b=8 或 a=8,b=2. 10.设 x>0,y>0,且 x2+y22=1,求 x 1+y2的最大值. 导学号 27542731 [解析] ∵x>0,y>0 且 x2+y22=1,

∴x 1+y2= x2 +y2 = 21·2x2 +y2

= 22· 2x2

+y2

2 2x2+ +y2

≤2·

2

=3 4 2,

当且仅当 2x2=1+y2,即 x= 23,y= 22时等号成立.

∴x 1+y2的最大值为3 4 2.

能力提升

一、选择题

1.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则???a12-1??????b12-1???的最小值为 导学号 27542732 ( D )

A.6

B.7

C.8

D.9

[解析] ∵a+b=1,a>0,b>0,

∴ab≤14,等号在 a=b=12时成立.

∴???a12-1??????b12-1???=1-a2a2·1-b2b2

+a



a2

b +b a +a +b

· b2 =

ab

=2+abab=a2b+1≥21+1=9,故选 D. 4

2.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则1a+

1 b的最小值为 导学号 27542733 ( D )

A.14

B.12

C.2

D.4

4

[解析] 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆的直径为 4,而直线被圆截得的弦

长为 4,则直线应过圆心(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即 a+b=1,

∴1a+1b=???1a+1b???(a+b)=1+1+ba+ab

≥2+2

ba a×b=4

(等号在 a=b=12时成立).

故所求最小值为 4,选 D. 3.当 x>1 时,不等式 x+x-1 1≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 导学号 27542734

(D)

A.(-∞,2]

B.[2,+∞)

C.[3,+∞)

D.(-∞,3]

[解析] ∵x>1,∴x+x-1 1=x-1+x-1 1+1

≥2

x-

x-1 1+1=3(当 x=2 时等号成立).

要使 x+x-1 1≥a 恒成立,则须使 a≤3. 4.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+2 =0 上,其中 m>0,n>0,则2m+1n的最小值为 导学号 27542735 ( D )

A.2 2

B.4

C.52

D.92

[解析] ∵当 x=-2 时,y=loga1-1=-1, ∴函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A(-2,-1). ∵点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,

∴-2m-n+2=0,即 2m+n=2.

∵m>0,n>0,∴2m+1n=12(2m+n)(2m+1n)=12(5+2mn+2nm)≥92(当且仅当2mn=2nm时,等号成

立).故选 D. 二、填空题 5.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)=t2
+10t+16,则该商场前 t 天月饼的平均销售量(如前 10 天月饼的平均销售量为f 10 )最

少为 18. 导学号 27542736

5

[解析]

平均销售量 y=f

t t

=t2+10tt+16=t+1t6+10≥18,当且仅当 t=1t6,即 t

=4∈[1,30]时等号成立,即平均销售量的最小值为 18. 6.已知点 P(x,y)在直线 x+3y-2=0 上,那么代数式 3x+27y 的最小值是 6.

导学号 27542737

[解析] 由题意,得 x+3y=2, ∴3x+27y=3x+33y≥2 3x+3y=2 32=6, 当且仅当 3x=33y,即 x=3y 时,等号成立.

由?????xx+ =33yy=2

??x=1 ,得???y=13

.

∴当且仅当 x=1,y=13,3x+27y 取最小值 6.

三、解答题 7.已知函数 f(x)=lgx(x∈R+),若 x1、x2∈R+,判断12[f(x1)+f(x2)]与 f(x1+2 x2)的大

小并加以证明. 导学号 27542738

[解析] 12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+2 x2) ∵f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1·x2), f(x1+2 x2)=lgx1+2 x2, 而 x1、x2∈R+,x1x2≤(x1+2 x2)2, 而 f(x)=lgx 在区间(0,+∞)上为增函数. ∴lg(x1x2)≤lg(x1+2 x2)2, ∴12lg(x1x2)≤lgx1+2 x2. 即12(lgx1+lgx2)≤lgx1+2 x2. 因此,12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+2 x2). 8.某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花 钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价

20 元.试求: 导学号 27542739

6

(1)仓库面积 S 的取值范围是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长? [解析] (1)设正面铁栅长 x m,侧面长为 y m,总造价为 z 元,则 z=40x+2×45y+ 20xy=40x+90y+20xy,仓库面积 S=xy. 由条件知 z≤3 200,即 4x+9y+2xy≤320. ∵x>0,y>0,∴4x+9y≥2 4x·9y=12 xy. ∴6 S+S≤160,即( S)2+6 S-160≤0. ∴0< S≤10,∴0<S≤100. 故 S 的取值范围是(0,100]. (2)当 S=100 m2 时,4x=9y,且 xy=100. 解之得 x=15(m),y=230(m). 答:仓库面积 S 的取值范围是(0,100],当 S 取到最大允许值 100 m2 时,正面铁栅长 15 m.
7


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