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[高中数学必修一]第三章 《函数的应用》测试(1)


数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数) [基础训练 A 组] 一、选择题
1
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若 y = x , y = ( ) , y = 4 x , y = x + 1, y = ( x ? 1) , y = x, y = a (a > 1)
2 x 2 5 2 x

1 2

上述函数是幂函数的个数是( A 0个 B 1个 C 2 个
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) D 3个
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2

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已知 f (x ) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错误的( 函数 f (x ) 在 (1, 2) 或 [ 2,3) 内有零点 函数 f (x ) 在 (3,5) 内无零点 函数 f (x ) 在 (2,5) 内有零点 函数 f (x ) 在 (2, 4) 内不一定有零点 若 a > 0, b > 0, ab > 1 , log 1 a = ln 2 ,则 log a b 与 log 1 a 的关系是(
2



A B C

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D 3
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2

A C 4 5

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log a b < log 1 a
2

B
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log a b = log 1 a
2

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log a b > log 1 a D
2

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log a b ≤ log 1 a
2

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求函数 f ( x ) = 2 x ? 3 x + 1 零点的个数为 (
3

) )

A A C 6

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2 C 3 D 4 已知函数 y = f (x ) 有反函数,则方程 f ( x ) = 0 (
B
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1

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有且仅有一个根 至少有一个根

B

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至多有一个根 以上结论都不对 )

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D

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如果二次函数 y = x 2 + mx + ( m + 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(

A 7 A

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(? 2,6)

B

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[? 2,6]
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C

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{? 2,6}
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D

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( ?∞, ?2 ) U ( 6, +∞ )

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某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20% ,则第四年造林( 14400 亩 B 172800 亩 C 17280 亩 D 20736 亩
特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

二、填空题
1 2 3
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若函数 f ( x ) 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 f ( x ) = 幂函数 f ( x ) 的图象过点 3, 4 27) ,则 f ( x ) 的解析式是_____________ (
3
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t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

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h /: w .x y .c /w x t w p k t o j g m /c

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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 = 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x 0 = 2.5 , 那么下一个有根的区间是
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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

4 5

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函数 f ( x ) = ln x ? x + 2 的零点个数为 设函数 y = f ( x ) 的图象在 [ a, b ] 上连续,若满足
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

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t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

在 [ a, b ] 上有实根

,方程 f ( x ) = 0

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

三、解答题

1 2

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

用定义证明:函数 f ( x ) = x +

1 在 x ∈ [1, +∞ ) 上是增函数 x
2

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

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新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

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设 x1 与 x2 分 别 是 实 系 数 方 程 ax + bx + c = 0 和 ? ax + bx + c = 0 的 一 个 根 , 且
2

x1 ≠ x2 , x1 ≠ 0, x2 ≠ 0 ,求证:方程

a 2 x + bx + c = 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间 2

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

3

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

函数 f ( x ) = ? x + 2ax + 1 ? a 在区间 [ 0,1] 上有最大值 2 ,求实数 a 的值
2

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

4 某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售单价每涨 1 元, 销售量就减少 1 个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少?
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

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数学 1(必修)第三章 函数的应用 [基础训练 A 组] 参考答案
一、选择题 1 2 3 4
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C C A

y = x 2 , y = x 是幂函数
唯一的零点必须在区间 (1,3) ,而不在 [3,5 )

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
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log 1 a = ln 2 > 0, 得0 < a < 1, b > 1 , log a b < 0, log 1 a > 0
2 2

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

C

f ( x) = 2 x3 ? 3 x + 1 = 2 x 3 ? 2 x ? x + 1 = 2 x( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)

= ( x ? 1)(2 x 2 + 2 x ? 1) , 2 x 2 + 2 x ? 1 = 0 显然有两个实数根,共三个;
5
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

B 可以有一个实数根,例如 y = x ? 1 ,也可以没有实数根, 例如 y = 2 x

6 7

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

D C

? = m 2 ? 4(m + 3) > 0, m > 6 或 m < ?2
10000(1 + 0.2)3 = 17280

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

二、填空题 1
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

1 x

设 f ( x ) = xα , 则 α = ?1

2

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

f ( x) = 4 x3
[2, 2.5)
2

f ( x) = xα , 图象过点(3, 4 27) , 3α = 4 27 = 3 4 , α =

3

3 4

3 4 5

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

令 f ( x ) = x 3 ? 2 x ? 5, f (2) = ?1 < 0, f (2.5) = 2.53 ? 10 > 0

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

分别作出 f ( x ) = ln x, g ( x ) = x ? 2 的图象; 见课本的定理内容

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

f (a ) f (b) ≤ 0

三、解答题 1
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

证明:设 1 ≤ x1 < x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( x1 ? x2 )(1 ? 即 f ( x1 ) < f ( x2 ) , ∴函数 f ( x ) = x +

1 )<0 x1 x2

1 在 x ∈ [1, +∞ ) 上是增函数 x

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

2

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3

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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a 2 x + bx + c, 由题意可知 ax12 + bx1 + c = 0, ? ax2 2 + bx2 + c = 0 2 a a a bx1 + c = ? ax12 , bx2 + c = ax2 2 , f ( x1 ) = x12 + bx1 + c = x12 ? ax12 = ? x12 , 2 2 2 a a 3a 2 f ( x2 ) = x2 2 + bx2 + c = x2 2 + ax2 2 = x2 , 因为 a ≠ 0, x1 ≠ 0, x2 ≠ 0 2 2 2 a 2 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 ,即方程 x + bx + c = 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间 2 解:对称轴 x = a ,
解:令 f ( x ) =
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

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新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

当 a < 0, [ 0,1] 是 f ( x ) 的递减区间, f ( x ) max = f (0) = 1 ? a = 2 ? a = ?1 ; 当 a > 1, [ 0,1] 是 f ( x ) 的递增区间, f ( x ) max = f (1) = a = 2 ? a = 2 ; 当 0 ≤ a ≤ 1 时 f ( x ) max = f ( a ) = a ? a + 1 = 2, a =
2

1± 5 , 与 0 ≤ a ≤ 1 矛盾; 2

所以 a = ?1 或 2 4
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

解:设最佳售价为 (50 + x ) 元,最大利润为 y 元,

y = (50 + x)(50 ? x) ? (50 ? x) × 40

= ? x 2 + 40 x + 500
当 x = 20 时, y 取得最大值,所以应定价为 70 元
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o


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