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吉林省安图一中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


2015-2016 学年上学期期中考试
高二数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。只填结果,不要过程! ) 1、过点 (?2,3) 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为 ▲ ; 2、过三点 A(?4,0), B(0, 2) 和原点 O (0, 0) 的圆的标准方程为 ▲ ; 3、已知 ?ABC 中, A(2, 4), B(1, ?3), C (?2,1), 则 BC 边上的高 AD 的长为 ▲ ; 4、已知两条直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m, l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8. 若直线 l1 与直线 l2 平行,则实数 m ? ▲ ;
5、已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题: ①若l∥α,m?α,则l∥m; ②若l?α,l∥β,α∩β=m,则l∥m; ③若l∥m,m?α,,则l∥α; ④若l⊥α,m∥α,则l⊥m. 其中真命题是 ▲ (写出所有真命题的序号). 6、若两圆 x ? y ? 4 , x
2 2

2

? y 2 ? 2mx ? m2 ?1 ? 0 相外切,则实数 m ? ▲ ;

?x ? 0 ? 7、若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3, 则 z ?2 x ? y ? 3 ?

? x ? y 的最小值是





?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 8、过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线, ?x ? y ? 2 ? 0 ?
切点分别为 A, B ,记 ?APB ? ? ,当 ? 最小时,此时点 P 坐标为 ▲ ; 9、右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 ▲ 米; x2 y 2 10、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) , a b 则该双曲线的离心率的值为 ▲ ; 11、已知点 P 在抛物线 x2 ? 4 y 上运动, F 为抛物线的焦点,点 A 的坐标为 (2,3) , 若 PA ? PF 的最小值为 M , 此时点 P 的纵坐标的值为 n, 则 M ? n ? ▲ ; 12、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? y ? 1,若直线 y ? kx ? 3 上
2 2

至少存在一点,使得以该点为圆心, 2 为半径的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最大值是 ▲ ; 13、已知等腰三角形腰上的中线长为 2 ,则该三角形的面积的最大值是
2 2





14、已知椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 是椭圆的左右焦点, l 是右准线, 2 a b P 到直线 l 的距离的 2 倍, 若椭圆上存在点 P ,使 PF 1 是
则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ;

二、解答题(共 6 题,90 分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

AB ? AC , D 为 BC 的中点. 15、 (14 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
(1) (7 分)若 AA1 ? AD ,求证: AD ? DC1 ;

A1 B1

C1

(2) (7 分)求证: A 1B // 平面 ADC1

16、 (14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ DC , DC ? 2 AB ,

AP ? AD , PB ? AC, BD ? AC, E 为 PD 的中点.
求证:(1) (7 分) AE ∥平面 PBC ; (2) (7 分) PD ⊥平面 ACE .

P E D C

A

B

(第 16 题图) 目

17、 (14 分) (1)(7分)已知椭圆的焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,焦距为 2 , 求椭圆的标准方程; (2) (7分)已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 求该双曲线的标准方程.

3 16 x ,准线方程为 x ? ? , 4 5

18、 (16 分)已知 ?ABC 三个顶点坐标分别为: A(1,0), B(1, 4), C (3, 2) , 直线 l 经过点 (0, 4) . (1) (5 分)求 ?ABC 外接圆 M 的方程; (2) (5 分)若直线 l 与 M 相切,求直线 l 的方程; (3) (6 分)若直线 l 与

M 相交于 A, B 两点,且 AB ? 2 3 ,求直线 l 的方程.

19、 (16 分)已知直线 l 与圆 C : x (1) (4 分)求实数

? y 2 ? 2x ? 4 y ? a ? 0 相交于 A, B 两点, 弦 AB 的中点为 M (0,1) ,
2

a 的取值范围以及直线 l 的方程;

(2) (4 分)若圆 C 上存在四个点到直线 l 的距离为 2 ,求实数

a 的取值范围;
? 3PN
,求实数

(3) (8 分)已知 N (0, ?3) ,若圆 C 上存在两个不同的点 P ,使 PM

a 的取值范围.

20、 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

6 ,且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0, 2 ? 的距离的最大值为 3. 3

(1) (6 分)求椭圆 C 的方程;
2 2

(2) (10 分)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m, n ? ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x ? y ? 1 相交于不同的两点 A, B ,且 ?OAB 的面积最大? 若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积; 若不存在,请说明理由.

高二数学期中考试数学参考答
1、 2 x ? y ? 1 ? 0 5、②、④6、 ?3 2、 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 3、 5
9、 2

4、 ?7 10、
5

7、-3
24 7

8、

?? 4,?2?
14、 [

6

11、 5

12、

13、

8 3

?3 ? 17 ,1) 2
…… 2分

15、【答案】证明:(1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥ BC.

因为 AA1 ? AD , AA 1 CC1 ,所以 AD ? CC1 ,…… 4分

CC1

BC ? C ,所以 AD ? 平面BCC1B1 ,…… 6分

A1 B1

C1

因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1 …… 7分 (2) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为D为BC的中点,所以OD//A1B …… 9分 因为 OD?平面 ADC1,A1B? / 平面 ADC1, …… 12分 所以A1B//平面ADC1 …… 14分
A B O

C D

(第 15 题图)

16、证明:(1)取 PC 中点 F ,连结 EF , BF ,∵ E 为 PD 中点,∴ EF ∥ DC 且 EF = 1 DC .…… 2 分
2

∵ AB ∥ DC 且 AB ? 1 DC ,∴ EF ∥ AB 且 EF = AB .
2

∴四边形 ABFE 为平行四边形. ∴ AE ∥ BF . …… 4 分 ∵ AE ? 平面 PBC , BF ? 平面 PBC , ∴ AE ∥平面 PBC . …… 7 分

(2)∵ PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , PB

BD ? B ,∴ AC ? 平面 PBD .

∵ PD ? 平面 PBD ,∴ AC ? PD . …… 10 分 ∵ AP ? AD , E 为 PD 的中点,∴ PD ? AE . …… 12 分 ∵ AE AC ? A ,∴ PD ⊥平面 ACE . …… 14 分

…… 9 分 P

E D

F C

A

B

x2 y 2 17.解:(1)设椭圆的标准方程为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b 2 由题意得 a ? 2, c ? 1, ? b ? 3 ,…………… 3分
所以所求椭圆的标准方程为

(第 16 题图)

x2 y 2 ? ? 1 . …………… 7 分(选修 1—135 页 5(1) ! 4 3 x2 y2 ? ? 1, a2 b2

(2)由题意知双曲线标准方程为: 所以

b 3 a 2 16 ? , ? ,…………… 9分 a 4 c 5 2 2 2 又 c ? a ? b ,解得 a ? 4, b ? 3 ,…………… 11分
所以所求双曲线标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 . …………… 14分 16 9

18. 解: (1)解法 1:设

M 的方程为: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0,

?1 ? D ? F ? 0 ? D ? ?2 ? ? 则由题意得 ?17 ? D ? 4 E ? F ? 0 , 解得 ? E ? ?4 , ?13 ? 3D ? 2 E ? F ? 0 ?F ? 1 ? ?

? M 的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 ,或 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .………… 5分
解法2:

A(1, 0), B(1, 4) 的横坐标相同,故可设 M (m, 2) ,

由 MA ? MC
2

2

得 (m ? 1)2 ? 4 ? (m ? 3)2 ,解得 m ? 1 ,

? M 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,或 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 .
解法3:

A(1,0), B(1, 4), C(3, 2) ,?CA ? (2, 2), CB ? (2, ?2) ,

? CA ? CB ? 0, CA ? CB ,则 ?ACB 是等腰直角三角形,
因而 ?ACB 圆心为 (1, 2) ,半径为 2 ,

? M 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .
(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,显然不合题意,因而直线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,

由题意知

k ?2?4 k ?1
2

? 2 ,解得 k ? 0 或 k ?

4 ,………… 8分 3

故直线 l 的方程为 y ? 4 或 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 .………… 10分 (3)当直线 l 与 x 轴垂直时, l 方程为 x ? 0 ,它截 当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? 4 , ∵圆心到直线 y ? kx ? 4 的距离

M 得弦长恰为 2 3 ;… 12分

k ?2 k 2 ?1



由勾股定理得 (

k ?2 k ?1
2

)2 ? (

3 2 3 2 ) ? 4 ,解得 k ? ? ,…… 14分 4 2
………… 16分

故直线 l 的方程为 x ? 0 或 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .

19、课本必修—2 P 130 —15 改编! 解: (1)圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? a, C(?1, 2), r ? 5 ? a (a ? 5) …… 1 分 据题意: CM ? 2 ? 5 ? a ? a ? 3 …… 2 分 因为 CM ? AB, ? kCM k AB ? ?1, kCM ? ?1, ? k AB ? 1 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 …… 4 分 (2)与直线 l 平行且距离为 2 的直线为: l1 : x ? y ? 3 ? 0 过圆心,有两个交点,…… 6 分

l2 : x ? y ?1 ? 0 与圆相交, ? 2 2 ? 5 ? a ? a ? ?3; …… 8 分
(3)设 P( x, y), PM ? 3PN ? x2 ? ( y ? 5)2 ? 12 …… 12 分 据题意:两个圆相交:

5 ? a ? 2 3 ? 5 2 ? 5 ? a ? 2 3 ? ?57 ? 20 6 ? a ? 20 6 ? 57 …… 14 分
且 20 6 ? 57 ? 3 ,所以: ?57 ? 20 6 ? a ? 20 6 ? 57 …… 16 分

20.解析:(1)因为 e ?

6 c2 2 ,所以 2 ? ,于是 a 2 ? 3b2 .………… 1分 a 3 3

设椭圆 C 上任一点 P ? x, y ? ,

? y2 ? 2 2 2 则 PQ ? x 2 ? ? y ? 2 ? ? a 2 ?1 ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? ?2 y 2 ? 4 y ? 4 ? 3b2 ( ?b ? y ? b ). … 2分 ? b ?
当 0 ? b ? 1 时, PQ 在 y ? ?b 时取到最大值,且最大值为 b 2 ? 4b ? 4 , 由 b2 ? 4b ? 4 ? 9 解得 b ? 1 ,与假设 0 ? b ? 1 不符合,舍去. ………… 4分 当 b ? 1 时, PQ 在 y ? ?1 时取到最大值,且最大值为 3b 2 ? 6 , 由 3b 2 ? 6 ? 9 解得 b 2 ? 1 .于是 a 2 ? 3 ,椭圆 C 的方程是
2 2

x2 ? y 2 ? 1 . ………… 6分 3

(2)圆心到直线 l 的距离为 d ?

1 m ?n
2 2

,弦长 AB ? 2 1 ? d 2 ,所以 ?OAB 的面积

为S ?

1? 1 1 ? AB ? d ? d 1 ? d 2 ,于是 S 2 ? d 2 ?1 ? d 2 ? ? ? ? d 2 ? ? ? .………… 8分 2? 4 2 ?
m2 ? n 2 ? 1 ,即 m2 ? 3 ? 3n2 , 3

2

而 M ? m, n ? 是椭圆上的点,所以 于是 d 2 ?
2

1 1 ,而 ?1 ? n ? 1 ,所以 0 ? n 2 ? 1 , 1 ? 3 ? 2n2 ? 3 , ? 2 m ?n 3 ? 2n2

所以 ? d 2 ? 1 ,………… 10分

1 3

1 1 1 时, S 2 取到最大值 ,此时 S 取到最大值 , 4 2 2 1 3 此时 n2 ? , m2 ? . ………… 12分 2 2
于是当 d 2 ? 综上所述,椭圆上存在四个点 ?

? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? 、 ? 、 、 ? ,使 ? 2 , 2 ? ? ? ? 2 , 2 ? ? ? ? 2 ,? 2 ? ? ? ? 2 ,? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

得直线与圆相交于不同的两点 A 、 B ,且 ?OAB 的面积最大,且最大值为

1 . 2

(每一个点坐标写出各 1 分,计 4 分!)………… 16 分


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