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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 千万别忽视零向量典例剖析素材 北师大版必修4


千万别忽视零向量
零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为 0,其方向是任意的,零向量与任 意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中的 0 的位置一样, 但有了它容易引起一些混淆, 稍考虑不到就会出错,我们应给予足够的重视. 例 下列叙述是否正确?

① 若 a ∥ b,b ∥ c 则 a ∥ c . ② 若非零向量 a 与 b 方向相同或相反,则 a ? b 与 a,b 之一方向相同. ③
a ? b ? a ? b ? a 与 b 方向相同.

④ 向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a . ⑤ AB ? BA ? 0 . ⑥ 若 ? a ? ? b ,则 a ? b . 解析:这六个命题都是错误的,因为对于①当 b ? 0 时, a 不一定与 c 共线; 对于②当 a ? b ? 0 时,其方向任意,它与 a,b 的方向都不相同; 对于③当 a,b 之一为零向量时结论不成立; 对于④当 a ? 0 且 b ? 0 时, ? 有无数个值;当 a ? 0 但 b ? 0 时, ? 不存在. 对于⑤,由于两向量之和得到的仍是一个向量,所以 AB ? BA ? 0 . 对于⑥, 当 ? ? 0 时, 不管 a 与 b 的大小与方向如何, 都有 ? a ? ? b , 此时不一定有 a ? b .

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