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选修4-1第一讲《相似三角形的判定及有关性质》学案


高三数学学科

导学案
编写:张丙生 时 间:2011 年 8 月 28 日

学 期 下

选修(4-1)· 1.1《平行线等分线段定理》
★学习目标 1.掌握平行线分线段成比例定理及推论,并能运用之解决与证明平行相关的比例问题; 2.体会由特殊到一般的思考方法,严谨的思考是学好数学的关键. ★学习过程 一、课前准备 预习教材 P2 ? P5 ,找出疑惑之处! 复习 1 :平行线的性质与判定
?

二、新课导学 ◆学习探究 探究任务一: 如图,三条直线 l1, l2, l3 满足 l1∥l2∥l3 ,直线 l∥l? ,且分别于 l1, l2, l3 交于 A1, A2 , A3 和 B1, B2, B3 .
?

当 A1A2 ??A2 A3 时,观察图形思考: B1B2、B2B3 的长度有什么关系?如果 l 与 l ? 不平行,上述关系还 成立吗? l l l l l l A1 A A 3 1 3 1 3
?

B2
3

l l
3

B2 B3 图 1-3

l l
3

C2 C 图 1-4

B2 B3

l l

B3 图 1-2

平行线等分线段定理 如果 ____________ 在一条直线上截得的线段 ______ ,那么在其它直线 上截得的线段也 ______ . 推论 1 经过三角形一边的 ______ 与另一边 ______ 的直线必 ______ 第三边. 探究任务二:考查图 1-4 中的梯形 A1A3B3B1,你能发现什么结论? 推论 2 经过梯形一腰的 ______ ,且与底边 ______ 的直线 ______ 另一腰. ◆典型例题 例题 1:如图,要在一块钢板上的 A、B 两个小孔之间再钻 3 个小孔, ,使这些小孔都在直线 AB 上,并且每两 个相邻的小孔中心的距离相等. 如果只有圆规和直 · 尺(无刻度) ,应该怎样确定小孔的中心位置?

B

1

变式:画一条 6 厘米长的线段,并把它 7 等分.

例题 2 :如图, D、E 分别是 ?ABC 中 AB 边和 AC 边的中点,求证: DE∥BC 且 DE ?
A

1 BC . 2

D

E

B

C

◆动手试试 1.已知:如图, M、N 分别是 □ ABCD 的 AB、CD 边的中点, CM 交 BD 于 E, AN 交 BD 于 F ,请 你探讨 BE、EF、FD 三条线段之间的关系,并给出证明.
M B E D F N

2.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC ,E、F 分别是 AB、DC 的中点,连接 EF ,且 EF 交 BD 1 于 G ,交 AC 于 H .求证: GH ???? BC ??AD ? . A D 2
? ?

E G B H

F C

三、总结提升 ◆学习心得

2

3

高二数学学科

导学案
编写:张德杰 时 间:2011 年 3 月 23 日

学 期 下

选修(4-1)· 1.3.1《相似三角形的判定》 ( A)
★学习目标 1.了解相似三角形的有关定义,理解全等与相似的异同; 2.理解相似三角形的判定定理及其引理; 3.灵活掌握并会应用相似三角形的判定定理及引理. ★学习过程 一、课前准备 复习 1 :初中学过的相似三角形知识. 定义:__________________________________________ . 判定方法: ① _________________ ,两三角形相似; ② __________________________ ,两三角形相似;
10 16

A D

B

C

图 1-16
E A D

③ _________________ ,两三角形相似. B 二、新课导学 图 1-17 ◆学习探究 探究任务一:如图 1-6,在 ?ABC 中, D、E 分别是 AB、AC 的点,且 DE∥BC . 那么 ?ADE 和 ?ABC 相似吗?图 1-17 呢?

C

预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与 原三角形相似. 已知:如图,在 ?ABC 和 ?A?B?C ? 中, ?A ? ?A?, ?B ? ?B? ,求证: ?ABC∽?A?B?C ? .
? ? ? ? ?

A

A???

B???
B C

C???

判定定理 1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的 _____ 个角与另一个三角形的两个角 __________ 相等,那么这两个三角形相似. 简述为:____________________________________________ . 判定定理 2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的 _______ 和另一个三角形的两边 ______ ________ ,并且 __________ ,那么这两个三角形相似. 简述为:____________________________________________ .
4

◆典型例题 例题 1:如图,在 ?ABC 中, AB ??AC , D 是 AC 边上一点, DB ??BC ,求证: BC

2

??AC ? CD .
?

A D

B

C

例题 2 :如图圆内接 ?ABC 的角平分线 CD 延长后交圆于一点 E ,求证:

EB DB ? . EC CB
A E D B C

◆动手试试 1.如果一个圆过 ?ABC 的顶点 B 和 C ,并且分别交 AB、AC 于点 D 和点 E .求证: AD AE ? . AC AB

2.已知 E 是圆内接四边形 ABCD 的对角线, BD 上的一点,并且 ?BAE ? ?CAD . 求证: (1) AB ? CD ??AC ? BE ; (2) AD ? BC ??AC ? ED .
?
? ? ?

?

三、总结提升 ◆学习心得
5

高二数学学科

导学案
编写:张德杰 时间 :2011 年 3 月 23 日

学 期 下

选修(4-1)· 1.3.1《相似三角形的判定》 ( B)
★学习目标 1.了解相似三角形的有关定义,理解全等与相似的异同; 2.理解相似三角形的判定定理及其引理; 3.灵活掌握并会应用相似三角形的判定定理及引理. ★学习过程 一、课前准备 预习教材 P10 ? P16 ,找出疑惑之处! 复习 1:三角形全等的定义; 复习 2 :三角形全等的预备定理;定理 1;定理 2 二、新课导学 ◆学习探究
?

探究任务一:如图,根据平行线分线段成比例定理,若 DE∥BC ,则 命题成立吗?

AD AE ?????. 试猜想:它的逆 AB AC
A D E

B

C

引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段 ________ ,那么这条 直线________________________ . 探究任务二:如在判定两个三角形全等时,有一个判定定理: “ SSS ” ,类比猜想: “若两个三角形 的三边___________________,则两个三角形相似”.

判定定理 3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的 ________ 和和另一个三角形的三边_____ ________ ,那么这两个三角形相似. 探究任务二:俩个直角三角形的相似情况该如何呢? 定理 (1)如果两个直角三角形有______个锐角相等,那么它们相似; 定理 (2)如果两个直角三角形的两条直角边________________,那么它们相似. 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形斜边和一条直角边______ ___________,那么这两个直角三角形相似.
6

◆典型例题 例题 3 :如 图,在 ?ABC 内任取一点 D ,连接 AD 和 BD . 点 E 在 ?ABC 外, ?EBC ? ?ABD , ?ECB ? ?DAB . 求证: ?DBE∽?ABC .
? ?

A

D

B E

C

例题 4 :如图,已知 D、E、F 分别是 ?ABC 三边 BC、CA、AB 的中点.求证: ?DEF∽?ABC .
A

F

E

B

D

C

例题 5 :如图,已知 AD、BE 分别是 ?ABC 中 BC 边和 AC 边上的高, H 是 AD、BE 的交点, 求证: (1) AD ? BC ? BE ? AC ; (2) AH ? HD ??BH ? HE .
?

?

?

?

?

A E

B

D
?

C

◆动手试试 1.已知 E 是圆内接四边形 ABCD 的对角线, BD 上的一点,并且 ?BAE ? ?CAD . 求证: (1) AB ? CD ??AC ? BE ; (2) AD ? BC ??AC ? ED .
?

?

?

?

2.如图,已知 DE∥AB, EF∥BC . 求证 ?DEF∽?ABC .
D O F E

A B

三、总结提升 ◆学习心得
7

C

高二数学学科

导学案
编写:张德杰 时 间:2011 年 3 月 23 日

学 期 下

选修(4-1)· 1.3.2《相似三角形的性质》
★学习目标 1.掌握相似三角形的性质; 2.理解相似三角形的性质定理的证明; 3.能够灵活运用相似三角形的性质定理进行有关的计算和证明. ★学习过程 一、课前准备 预习教材 P16 ? P19 ,找出疑惑之处! 复习 1 :初中所学相似三角形的性质:对应角______________;对应边______________;
?

二、新课导学 ◆学习探究 探究任务一:除了对应角、对应边的性质,相似三角形还有那些性质? 如图,已知 ?ABC∽?A? B?C ? ,那么, AD, A?D?, AE, A?E?, AF , A? F? 之间有什么关系? A
? ? ?

A? ?
?

?

B

DEF

C

B?

D???E???????

C???

相似三角形的性质定理: (1)相似三角形对应____的比、对应________的比和对应_____________的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于___________; (3)相似三角形面积的比等于___________. 探究任务二:两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系?
A A???

O· B D

C B?

O?·

C???

D? ?
?

相似三角形的性质定理: 相似三角形的外接圆的直径比、周长比、外接圆的面积比等于相似 比的平方.
8

◆典型例题 例题 6 :如图,锐角三角形 ABC 是一块钢板的余料,边 BC ??24cm , BC 边上的高 AD ? 12cm ,要 把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB、AC 上. 求 这个正方形零件的边长. A
?

P

N

B

Q

DM

C

变式:如图, □ ABCD 中, AE : EB ? 1: 2 ,求 ?AEF 与 ?CDF 的周长比. 如果 ?AEF 得面积等于 2 6 cm ,求 ?CDF 的面积.
?

D

C

F A E B

◆动手试试 1.已知,如图, 在 ?ABC 中, DE∥BC , AD ? 5 , BD ? 3 ,求 S?ADE : S ?ABC 的值.
? ?

A

D B

E C

2.已知,如图, F 为 □ ABCD 边 DC 延长线上一点,连结 AF ,交 BC 于 G ,交 BD 于 E , 2 求证: AE ??EG ? EF .
?

D

C G E

F

A

B

三、总结提升 ◆学习心得

9

高二数学学科

导学案
编写:张德杰 时 间:2011 年 3 月 23 日 ·

学 期 下

选修(4-1)· 1.4《直角三角形的射影定理》
★学习目标 1.掌握直角三角形的射影定理; 2.灵活运用直角三角形的射影定理进行计算和证明. ★学习过程 一、课前准备 预习教材 P20 ? P22 ,找出疑惑之处! 复习 1 :直角三角形及斜边上的高的相关知识; 引例 2 :点、线段的正投影的概念.
?

B??? · A

·

M

A?

C? ? C
?

N

二、新课导学 ◆学习探究 A 探究任务一:如右图, ?ABC 是直角三角形, AD 是斜边 BC 上的 B 高,找出图中相似的三角形,并写出相应的成比例 的线段.

B D

C

射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在_______上射影的______________;直角边分别 是它们在________上射影与斜边的比例中项. ◆典型例题 A 例题 1:如图, ?ABC 中,顶点 C 在 AB 上的射影为 D , 2 且 CD ??AD ? DB . 求证: ?ABC 是直角三角形.
?

·

D

O

变式:在 ?ABC 中, ?C ? 90? , CD 是斜边 AB 上的高. 已知 CD ? 60, AD ??25, 求: BD、AB、AC、BC 的长.
? ? ?

10

例题 2 :如图, ?ABC 中,顶点 C 在 AB 边上的射影为 D ,且 CD 2 ??AD ? DB . 求证 ?ABC 为直角三角形. C
?

A

D

B

变式:如图, ?ABC 中, ?BAC ? 60?, CD ??AB ,求证: DB ??AB ?
?

1 AC 2

B D

A

C

◆动手试试 1.如图,已知线段 a、b ,求作线段 a 和 b 的比例中项.

a b

2. ?ABC 中,?ACB ? 90?, CD ??AB 于 D ,DE ??AC 于 E ,DF ??BC 于 F . 求证:?CEF∽?CBA .
?

C F E B D

三、总结提升 ◆学习心得

11


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