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高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质 第二课时 指数函数图象及性质的应用

第二课时 指数函数图象及性质的应用 (习题课)

目标导航 1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值.
课标要求 2.掌握指数函数在实际生活中的简单应用. 通过本节内容的学习,使学生熟练函数思想、分类讨论思想
素养达成 解决问题的步骤,提高学生逻辑推理能力.

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1.(比较大小)已知a=20.1,b=20.2,则( B ) (A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a,b大小不确定 2.(解指数不等式)若 3<( 1 )x<27,则( C )
3 (A)-1<x<3 (B)x>3 或 x<-1 (C)-3<x<-1 (D)1<x<3
解析:3<( 1 )x<27 ? 3<3-x<33 ? 1<-x<3 ? -3<x<-1.
3

3.(比较大小)已知有三个数a=2-2,b=40.9,c=80.25,则它们的大小关系是 ( A) (A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)b<c<a

4.(解指数不等式)若( 1 )2a+1<( 1 )3-2a,则实数 a 的取值范围是

.

2

2

解析:因为函数 y=( 1 )x 在 R 上为减函数, 2

所以 2a+1>3-2a,所以 a> 1 . 2
答案:( 1 ,+∞) 2

5.(奇偶性)若 f(x)= 1 +a 是奇函数,则 a=

.

2x ?1

答案:- 1 2

课堂探究·素养提升
题型一 利用指数函数图象与性质比较大小 【例1】 比较下列各组数的大小: (1)1.52.5和1.53.2; (2)0.6-1.2和0.6-1.5;
解:(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值,由于底数1.5>1,所 以函数y=1.5x在R上是增函数,因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值, 因为函数y=0.6x在R上是减函数, 且-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.

(3)1.70.2和0.92.1; (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).
解:(3)由指数函数性质得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1, 所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3; 当0<a<1时,y=ax在R上是减函数,故a1.1<a0.3.

方法技巧

比较幂的大小的方法

(1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.

(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当

x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.

(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与

两数比较,或借助“1”与两数比较.

(4)当底数含参数时,要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.

即时训练 1-1:比较下列各组中两个数的大小:

(1)(

5

)2.3 和(

4

)2.3;(2)0.6-2 和(

4

)

?

2 3

.

4

5

3

解:(1)( 4 )2.3=( 5 )-2.3;因为 2.3>-2.3,

5

4

所以( 5 )2.3>( 5 )-2.3,即( 5 )2.3>( 4 )2.3.

4

4

4

5

(2)由指数函数的性质知 0.6-2>1,

(

4

)

?2 3

<1,所以

0.6-2>(

4

)

?2 3

.

3

3

【备用例1】 比较下列各组值的大小: (1)1.8-0.1与1.8-0.2; (2)1.90.3与0.73.1; (3)a1.3与a2.5(a>0,且a≠1).
解:(1)由于1.8>1,所以指数函数y=1.8x,在R上为增函数.所以1.8-0.1>1.8-0.2. (2)因为1.90.3>1,0.73.1<1,所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时,函数y=ax是增函数,此时a1.3<a2.5, 当0<a<1时,函数y=ax是减函数,此时a1.3>a2.5. 故当0<a<1时,a1.3>a2.5,当a>1时,a1.3<a2.5.

题型二 解简单的指数方程与指数不等式 【例2】 (2017·鄂尔多斯高一期末)设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0且a≠1,确 定x为何值时,有: (1)y1=y2;
解:y1=a3x+1,y2=a-2x,其中 a>0 且 a≠1. (1)y1=y2,即 a3x+1=a-2x, 可得 3x+1=-2x,解得 x=- 1 .
5 所以当 x=- 1 时,y1=y2.
5

(2)y1<y2.
解:(2)y1<y2,即 a3x+1<a-2x, 当 a>1 时,可得 3x+1<-2x, 解得 x<- 1 .
5 当 0<a<1 时,可得 3x+1>-2x,解得 x>- 1 .
5 综上,当 a>1 时,x<- 1 .
5 当 0<a<1 时,x>- 1 .
5

方法技巧

解与指数有关的不等式时,需注意的问题

(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值

不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论;

(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax

(a>0,且a≠1)的单调性求解;

(3)形如ax>bx的形式,利用图象求解.

即时训练2-1:(2017·延安高一期中)求不等式a2x-7>a4x-1(a>0,且a≠1)中x的 取值范围.
解:由a2x-7>a4x-1知需要进行分类,具体情况如下: 当a>1时,因为y=ax在定义域上递增, 所以2x-7>4x-1,解得x<-3; 当0<a<1时,因为y=ax在定义域上递减, 所以2x-7<4x-1,解得x>-3; 综上得,当a>1时,x的取值范围为(-∞,-3); 当0<a<1时,x的取值范围为(-3,+∞).

【备用例 2】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2-x,则不

等式 f(x)<- 1 的解集是

.

2

解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0.当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1.

当 x>0 时,由 1-2-x<- 1 ,( 1 )x> 3 ,得 x∈ ? ;
22 2

当 x=0 时,f(0)=0<- 1 不成立;当 x<0 时,由 2x-1<- 1 ,2x<2-1,得 x<-1.

2

2

综上可知 x∈(-∞,-1). 答案:(-∞,-1)

题型三 指数函数性质的综合应用 【例 3】 (2017·历城区高一期中)已知 f(x)= a (ax-a-x)(a>0 且 a≠1).
a2 ?1 (1)判断 f(x)的奇偶性;
规范解答:(1)因为 f(x)= a (ax-a-x), a2 ?1
所以 f(x)的定义域为 R,…………………………………2 分 又 f(-x)= a (a-x-ax)
a2 ?1
=- a (ax-a-x)=-f(x), a2 ?1
所以函数 f(x)为奇函数. ………………………………4 分

(2)讨论f(x)的单调性;

规范解答:(2)任取 x1<x2,



f(x2)-f(x)=

a a2 ?1

(

a x2

-

a x1

)(1+

a?? x1?x2

?

).

因为 x1<x2,且 a>0 且 a≠1,1+ a??x1?x2 ? >0, ①当 a>1 时,a2-1>0, ax2 - a x1 >0, 则有 f(x2)-f(x1)>0,……………………………………6 分 ②当 0<a<1 时,a2-1<0, ax2 - a x1 <0, 则有 f(x2)-f(x1)>0,所以 f(x)为增函数.……………8 分

(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
规范解答:(3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立, 即 b 小于等于 f(x)的最小值, 由(2)知当 x=-1 时,f(x)取得最小值, 最小值为 a ( 1 -a)=-1,
a2 ?1 a 所以 b≤-1.所求 b 的取值范围是(-∞,-1].…………10 分

方法技巧

(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问

题,可利用奇、偶函数的定义,根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),结合指数运算性质建

立方程求参数;(2)若奇函数在原点处有定义,则可利用f(0)=0,建立方程求参数.

【备用例 3】 (2018·昆明高一期中)已知定义域为 R 的函数 f(x)= b ? 2x 是 2x ? a
奇函数. (1)求 a,b 的值;
(1)解:因为f(x)为R上的奇函数, 所以f(0)=0,b=1. 又f(-1)=-f(1),得a=1.

(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;

(2)证明:任取

x1,x2∈R,且

x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=

1? 2 x1

2 x1 ?1

-

1? 2x2

2x2 ?1

? ?? ? ? ?? ? ? ? 1? 2x1 2x2 ?1 ? 1? 2x2 2x1 ?1

2 2x2 ? 2x1

=

=

.

? ?? ? 2x1 ?1 2x2 ?1

? ?? ? 2x1 ?1 2x2 ?1

因为 x1<x2, 所以 2x2 - 2x1 >0, 又因为( 2x1 +1)( 2x2 +1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0, 所以 f(x)为 R 上的减函数.

(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

(3)解:因为对于任意 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立, 所以 f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为 f(x)是奇函数, 所以 f(t2-2t)<f(k-2t2). 因为 f(x)为减函数, 所以 t2-2t>k-2t2,即 k<3t2-2t 恒成立,

又因为 3t2-2t=3(t- 1 )2- 1 ≥- 1 , 33 3

所以 k<- 1 .即 k 的取值范围为(-∞,- 1 ).

3

3

即时训练3-1:已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0时,求函数f(x)的 值域.
解:y=a2x+2ax-1,令t=ax, 所以y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,因为x≥0,所以t≥1, 所以当a>1时,y≥2. 当0<a<1时,因为x≥0,所以0<t≤1. 因为g(0)=-1,g(1)=2, 所以当0<a<1时,-1<y≤2. 综上所述,当a>1时,函数的值域是[2,+∞); 当0<a<1时,函数的值域是(-1,2].

题型四 指数函数的实际应用 【例4】 某驾驶员喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL, 在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安 全,某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL,那么该 驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶?(精确到1小时)
解:1小时后驾驶员血液中的酒精含量为 0.3×(1-50%)mg/mL, 2小时后其血液中酒精含量为 0.3×(1-50%)×(1-50%)mg/mL, 即0.3×(1-50%)2mg/mL,…, x小时后其血液中酒精含量为0.3(1-50%)x mg/mL,

由题意知 0.3(1-50%)x≤0.08,即( 1 )x≤ 4 . 2 15
采用估算法,x=1 时,( 1 )1= 1 > 4 ; 2 2 15
x=2 时,( 1 )2= 1 = 4 < 4 . 2 4 16 15
由于 y=( 1 )x 是减函数, 2
所以满足要求的 x 的最小整数为 2. 故至少要过 2 小时驾驶员才能驾驶.

即时训练4-1:(2017·南阳高一期中)某医药研究所开发一种抗甲流新药,如 果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克) 与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)结合图,求k与a的值;
解:(1)由题意,当 0≤t≤1 时,函数图象是一个线段, 由于过原点与点(1,4), 所以 k=4, 其解析式为 y=4t,0≤t≤1; 当 t≥1 时,函数的解析式为 y=( 1 )t-a,
2 此时 M(1,4)在曲线上,将此点的坐标代入函数解析式得 4=( 1 )1-a,解得 a=3.
2

(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (3)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,求 服药一次治疗有效的时间范围?

?4t,0 ? t ? 1,

解:(2)由(1)知,f(t)=

? ?? ?? ??

1 2

?t ?3 ??

,t

?

1.

(3)由(2)知,令 f(t)≥0.5,

?4t ? 0.5,0 ? t ?1,



? ?? ????

1 2

?t ?3 ??

?

0.5, t

? 1,

所以

1 8

≤t≤4.

即服药一次治疗有效的时间范围为 1 ≤t≤4. 8