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3.1《平行四边形的性质》课件 (2)


1.什么样的四边形是平行四边形?
2.我们掌握的平行四边形的性质有哪些?

1.定义: 有两组对边分别平行的四边形叫做平 行四边形。 A D
2.记作: ABCD B 3.读作:平行四边形ABCD C

平行四边形的性质: 平行四边形的对边平行且相等. 1.对边: 2.对角: 平行四边形的对角相等。
A D B A
O

D C

B

C

3.对角线: 平行四边形的对角线互相平分.

如图,把两张完全相同的平行四边形纸 片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉, 将一个平行四边形绕O旋转180°,你发现 了什么?

A

B

O
D

C

A

D O ●

B

C

注意观察平行四边形的对边和对角

A

D O ●

B

C

注意观察平行四边形的对角线

结论: 平行四边形的性质
边:平行四边形的对边相等. 角:平行四边形的对角相等。

对角线:平行四边形的对角线互相平分.
由定义得:平行四边形的对边互相平行.

?证明命题的一般步骤:
?1、理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证) ?2、根据题意,画出图形; ?3、结合图形,用几何语言写出“已知”和“求证”;

?4、证明: (1)分析题意,探索证明思路;
(2)依据思路,写出证明过程; (3)检查表达过程是否准确,完善.

求证:平行四边形的对边相等
A
1 3 2

D

4

B

C

已知:如图四边形ABCD是平行四边形。 求证:AB=CD,AD=BC

证明过程
证明:连接AC(如图) ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD,BC∥DA ∴ ∠1=∠2, ∠3=∠4 A
1 3 2

D

∵ AC=CA
∴ △ABC ≌△CDA ∴ AB=CD,BC=DA B

4

C

定理:平行四边形的对边相等

求证:平行四边形的对角相等.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.

求证:∠A=∠C, ∠B=∠D.
证明: ∵△ABC≌△CDA(已证).

A
1 4

D
3
2

∴∠B=∠D. ∵∠1=∠2, ∠4=∠3.

B

C

∴∠1+∠4=∠2+∠3.
∴∠BAD=∠BCD.

定理:平行四边形的对角相等.

小结

拓展

平行四边形的性质(三种语言)
?定理:平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 A ′ ,∴AB=CD,BC=DA.
B
D

?定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
?证明后的结论,以后可以直接运用.

C

求证:平行四边形的对角线互相平分.
已知:如图: ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 A 1 O 3 ∴ AD=BC,AD∥BC. 4 2 ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4. B C ∴ △AOD≌△COB(ASA). ∴ OA=OC,OB=OD. D

定理:平行四边形的对角线互相平分.

推论:夹在两条平行线间的平行线段相等. 已知:如图,直线MN∥PQ,线段AB∥CD,且AB,CD与 MN,PQ分别相交于点A,D,B,C.
M

A C

D N
Q

求证:AB=CD.
证明: ∵MN∥PQ,AB∥CD.
P

B

∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD.

小结

拓展

平行四边形的性质(三种语言)
定理:平行四边形的对角线互相平分. A ∵四边形ABCD是平行四边形 O ∴CO=AO,BO=DO.
B C
M N

D



定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.

∵ MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.
P

A

D

B

C

Q

?证明后的结论,以后可以直接运用.

说一说,练一练
A D O B

1. 如图,在

ABCD中,

BC=10cm, AC=8cm,

BD=14cm,
(1)△ AOD的周长是多少?为什么?

( 2) △ ABC与△ DBC的周长哪个长?长多少?

2. 若平行四边形的一边长为5,则它的两 条对角线长可以是( D ) A. 12和2 C. 4和6 B. 3和4 D. 4和8

A

C
O

B

D

3.如图,在平面直角坐标系中, OBCD的顶点

O﹑B﹑D的坐标如图所示,则顶点C的
坐标为( C )
A. (3,7) C. (7,3) B. (5,3)
O (0,0)

Y

D(2,3)

C B(5,0) x

D. (8,2)

4.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,
且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______. 5

A
B

D O
C

探究与提高
ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF 过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F,试探究 OE与OF的大小关系?并说明理由。

A E
3


1

D


O
2


4

F

B

C

在上述问题中,若直线EF绕与边DA、 BC的延长线交于点E、F,(如图2),上述 结论是否仍然成立?试说明理由。 A E ●

D


A


D


E

O


O
F


F

B

(1)

C

B

(2)

C

问题:在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转至下 图 的位置时,上述结论是否仍然成立? 若此时再与两边延长线相交呢? ● E A E

E


D

A

E


D



O
F


O

B

(3) (1) F

C

B

(4) F (3)

C

F●
小结:过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形 的一组对边或对边的延长线相交,得到线段总相等。

一位饱经苍桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动, 到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地, 由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩 子,他是这样分的:
老大
老二 老三 老四

当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地 少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?

A
老大 老二


D O
M 老三
老四

B

C

故四人的土地面积相同,老人分地合理。

小明家有一块平行四边形菜地,菜地中间有一 口井,为了浇水的方便,小明建议妈妈经过水井修 一条路,可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学 们,你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗?

A


D O M

B

C

找一找
下列平行四边形中被直线分成面积相等的有哪些?

D

F

C O
F E B C E O A

D O F D O B

C E

A D

C

F

A

B

A
E

B

过对角线交点的任一条直线都将平行四边形 分成面积相等的两部分

1、 通过本节课的学习,你有什么收获? 2、 平行四边形的性质共有哪些? 边:平行四边形的对边相等. 角:平行四边形的对角相等。

对角线:平行四边形的对角线互相平分.

拓展与提高 5

求证:等腰梯形同一底上的两个角相等.
已知:如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠A=∠D, ∠B=∠C. ′ 证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E. B
∴∠1=∠B. ∵AD∥BC,DE∥AB, ∴四边形ABED是平行四边形. ∴AB=DE. ∴∠B=∠C. ∵AB=DC, ∵∠A+∠B=1800, ∴DE=DC. ∠C+∠ADC=1800. ∴∠1=∠C. ∴∠A=∠ADC. A
1

D E

C

求证:等腰梯形的两条对角线相等.
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:AC=DB.
证明:在梯形ABCD中 ∵AD∥BC,AB=DC, ∴∠ABC=∠DCB. ∵BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB. B C A D

小结

拓展
驶向胜利 的彼岸

等腰梯形的性质(三种语言)
?定理:等腰梯形同一底上的两个角相等 . A ?在梯形ABCD中,AD∥BC, ?∵AB=DC, ?∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
B

D

C D

?定理:等腰梯形的两条对角线相等.A ?在梯形ABCD中,AD∥BC, ?∵AB=DC, B ?∴AC=DB.. ?证明后的结论,以后可以直接运用.

C

逆向思维

7

求证:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠B=∠C. 求证:AB=DC.

A D

B

E

1

C

逆向思维

7
驶向胜利 的彼岸

分析:可有以下思路:
A D
A ┎ B E D

B

E

C

┒ F C

思路1:平移一腰至DE O

思路2:作梯形的高
A D M

A

D

思路3:延长两腰相交

B

C

思路4:平移一腰至CM

B

C

内涵与外延 8

求证:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=DB.
求证:AB=DC.
A D



B

2

1

C

E

小结

拓展
驶向胜利 的彼岸

等腰梯形的判定(三种语言)

定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. A D 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. B C 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. A D 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC. B C ?证明后的结论,以后可以直接运用.


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