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正弦余弦的诱导公式任意角的三角函数习题课

正弦、余弦的诱导公式;任意角的三角函数习题课

一. 教学内容 正弦、余弦的诱导公式;任意角的三角函数习题课

二. 教学重、难点 重点:运用诱导公式,把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~90°间角的三角函数值的问题,
任意角的三角函数。 难点:对诱导公式中符号的确定

【典型例题】

sin(15? ? ?) ? 3cos(? ? 13? )

7

7

tan(? ? 8 ? ) ? a sin(20 ? ??) ? cos(? ? 22 ? )

[例 1] 设

7

,求 7

7 的值。

2 cos3 ? ? sin2 (2? ?? ) ? sin(? ?? ) ? 3

f (? ) ?
[例 2] 设

2 2 ? 2 cos2 (? ?? ) ? cos(?? )

f (? ) 求 3 的值。

sin(x ? ? ) ? 1

sin(7 ? ? x) ? cos2 (5 ? ? x)

[例 3] 已知

6 4 ,求 6

6

的值。

[例

4]

cos(75? ? ?)
已知

?

1 3

,?

为第三象限角,求 cos(15? ??) ? sin(?

?15?) 的值。

[例 5]

sin?
已知:

? cos?

?

1 2

,求 sin3 ?

? cos3 ?

和 sin 4 ?

? cos4 ?

的值。

[例 6

sin 2 已知 sin 2

A B

? cos2

A cos2

C

? 1,求证: tan2

A?

tan 2

B ? sin 2 C

【模拟试题】
一. 选择

sin(? 19 ? )

1.

6 的值等于( )

1 A. 2

?1 B. 2

3 C. 2

2. 若 cos(?100?) ? a 则 tan80? 等于(

?3 D. 2


1? a2

?

A.

a

1? a2 B. a

1? a2

?

C.

a

1? a2 D. a

3? 3. 已知扇形的面积是 8 ,半径是 1,则扇形的中心角是( )

3? A. 16

3? B. 8

3? C. 4

3? D. 2

? ? 4.

M


? ??? ? ?

?

k? 2

?? 5

,

k

?

? z? ?



N

?

? ??

?? ??

则M

? N 等于(



A.

??? ?

? 5

,

3 10

?

? ? ?

C.

??? ?

? 5

,

3 10

?

,

4? 5

,

?

7 10

?

? ? ?

B.

??? ?

7 10

?

,

4 5

?

? ? ?

D.

?3 ??10

?

,

?

7 10

?

? ? ?

二. 填空题

sin 4 ? cos 25? tan(? 3 ? ) ?

1. 计算 3

6

4

2. 化简

sec2 (?

?

x)

?

2 tan(?

?

x)

0


?

x

?

? 2

)=

sin ? ? m ? 1 cos? ? m ?1

3. 已知

m?3,

m ? 3 且? 是象限角,则实数 m ?

,? 是第

象限角。

sin x cos x 4. 若 x 为第一象限角,则在 2 , 2 , sin 2x , cos2x 中必定取正值的是 。

三. 解答题

cos(? ? ? ) ? 3 cos(5 ? ? ?) ? sin 2 (? ? ? )

1. 已知 6

3求 6

6 的值。

y ? cos(9 ? ? x) ? sin 2 x

2. 求函数

2

的最大值和最小值。

3.

sin ?
已知

?

1 3 , sin(?

? ?)

? 1求 sin(2?

? ? ) 的值。

【试题答案】

一.

1. A

2. A

3. C

4. C

二.
?3 1. 4

???1 ? tan x

0? x?? 4

? 2. ???tan x ?1

? ?x??

4

2

3. ? 7 ,I

4. sin 2x

三.

cos(5 ?

??)

?

cos[?

?

? (

? ? )]

?

?

? cos(

??)

?

?

3

1. 解:∵

6

6

6

3

sin 2 (? ? ? ) ? 1 ? cos2 (? ??) ? 2



6

6

3

?? 3 ?2 ??2? 3

∴ 原式 3 3

3

y ? cos(9 ? ? x)sin 2 x ? sin 2 x ? sin x ? (sin x ? 1)2 ? 1

2. 解:

2

24

1

1

sin


x

?

2

时,

y m in

?

?

4

当 sin x

?

?1时,

ymax

?

2

3. 解:∵ sin(? ? ? ) ? 1

? ? ? ? 2k? ? ?



2

sin(2? ? ? ) ? sin[2(? ? ? ) ? ? ] ? sin ? ? 1



3

(x ? ? ) ? (5 ? ? x) ? ?

[例 3 解:∵

66

7 ? ? x ? ? ? (? ? x)

又6

6

5? ? x ? ? ? (x ? ? )

∴6

6

? sin[? ? (? ? x)] ? cos2[? ? (x ? ? )]

∴ 原式

6

6

? ?sin(? ? x) ? [? cos(x ? ? )]2

6

6

? ? 1 ? [1? sin 2 (x ? ? )] ? ? 1 ? (1? 1 ) ? 11

4

6 4 16 16

[例 4] 解: cos(15? ??) ? sin(75? ? ?) 又 ∵ ? 是第三象限角, sin(75? ? ?) ? 0

22 ∴ sin(75? ? ?) ? ? 3

cos(15? ? ? ) ? ? 2 2



3

sin(? ?15?) ? ? cos(75? ? ?) ? ? 1



3

? ?1? 2 2

∴ 原式

3

sin? ? cos? ? 1

sin? cos? ? ? 3

7] 解:由

2 平方,可得

8

∴ sin 3 ? ? cos3 ? ? (sin? ? cos? )(sin 2 ? ? sin? cos? ? cos2 ? )

? 1 ? (1? 3) ? 11 2 8 16
sin 4 ? ? cos4 ? ? (sin2 ? ? cos2 ? )2 ? 2sin 2 ? cos2 ? ? 1 ? 2 ? (? 3)2 ? 23 8 32

[例

8]证:由已知

sin 2 sin 2

A B

?

cos 2

A cos 2

C

?

sin 2

A

?

cos 2

A

sin 2 A( 1 ?1) ? cos2 A(1 ? cos2 C) sin 2 B

sin 2 A ? cot2 B ? cos2 Asin 2 C

∴ tan2 A ? tan2 B sin 2 C