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3.1.4----空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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第三章 空间向量与立体几何

栏目导引

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第三章 空间向量与立体几何

栏目导引

1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问 题. 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.

3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量
的坐标.

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第三章 空间向量与立体几何

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1.空间向量基本定理.(重点)
2.用基底表示已知向量.(难点)

3.在不同坐标系中向量坐标的相对性.(易错点)

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第三章 空间向量与立体几何

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1 .平面向量基本定理的内容是:如果 e1 , e2 是同一平面内

的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数λ ,λ ,使 a=λ1e1+λ2e2 .不共面的向量e ,e 叫做
1 2 1 2

这一平面内所有向量的一组

基底 .

2.在平面内,把一个向量分解成两个互相垂直的向量,叫 做把向量 正交分解 .

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第三章 空间向量与立体几何

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3.若 a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),则使 c=xa+yb 成立的实数 x= 7 ,y= 4 .

4. 在各棱长均为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 为面 →1=c,你能否用 a, A1B1C1D1 的中心,设 A→ B =a,A→ D =b,AA b,c 表示出 A→ O ?表示出的结果还有没有其他表示方法?

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1.空间向量基本定理 定理:如果三个向量a,b,c 不共面 {a,b,c}叫做空间的一个基底, a,b,c ,那么对于空间任

一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p= xa+yb+zc .其中
都叫做基向量.

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2.空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1,e2,e3 称为 交基底 单位正交基底. 空间直 角坐标 系 以 e1,e2,e3 的 公共点 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向 为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.

起点 对于空间任意一个向量 p,一定可以把它 平移,使它的
空间向 与原点 O 重合, 得到向量 O→ P =p, 由空间向量基本定理可知, 量的坐 存在有序实数组{x,y,z},使得 p= xe1+ye2+ze3 .把 标表示 称作向量 p 在单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标,记作 p= (x,y,z) .

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1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成一个基底的

一组向量是(

)
B.2b,b-a,b+2a D.c,a+c,a-c

A.2a,a-b,a+2b C.a,2b,b-c

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第三章 空间向量与立体几何

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解析: 不共面的三个向量才可以构成基底,A 中,a+2b 3 3 = (2a)z+(-2)(a-b), 三个向量共面; B 中, b+2a= (2b)+(- 2 2 2)(b-a),三个向量共面;D 中,a+c=2c+(a-c),三个向量 共面,只有 C 中的三个向量不共面.

答案: C

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2.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中 → =a, OB → =b, OC → =c,用a,b,c表示向量 MN → 为 点,且 OA ( ) 1 1 1 A.2a+2b+2c 1 1 1 C.-2a+2b+2c 1 1 1 B.2a-2b+2c 1 1 1 D.-2a+2b-2c

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解析: 如右图所示,连结ON,AN, 1 → → 1 → 则ON= (OB+OC)= (b+c), 2 2 1 → → → AN= (AC+AB) 2 1 → → +OB →) = (OC -2OA 2 1 =2(-2a+b+c) 1 1 =-a+2b+2c, 1 → → 1 1 1 → 所以MN=2(ON+AN)=-2a+2b+2c.

答案: C
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3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立 → 空间直角坐标系,若正方体的棱长为 1,则A 1C → 1的坐标为________. 的坐标为________,CD

解析: A1(0,0,1),C(1,1,0),D1(0,1,1) → → A 1C=(1,1,-1),CD1(-1,0,1)

答案: (1,1,-1) (-1,0,1)

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→ = 4.如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB → =b, AA → a, AD ′ =c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N 是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ∶QA′=3∶1,用 向量a,b,c表示以下向量. → ;(2)AM → ;(3)AN → ;(4)AQ →. (1)AP

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解析:

(1)因为 P 是 CA′的中点,

1 → → → 所以AP= (AC+AA ′) 2 1 → → → = (AB+AD+AA ′) 2 1 =2(a+b+c).

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(2)因为 M 是 CD′的中点, 1 → → → 所以AM= (AC+AD ′) 2 1 → → → +AA → =2[(AB+AD)+(AD ′)] 1→ → 1 → =2AB+AD+2AA′ 1 1 =2a+b+2c.

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(3)因为 N 是 C′D′的中点, 1 → → → 所以AN= (AC′+AD ′) 2 1 → → → → +AA → =2[(AB+AD+AA ′)+(AD ′)] 1→ → → =2AB+AD+AA ′ 1 =2a+b+c.

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(4)因为 CQ∶QA′=3∶1. 1 → → → 所以AQ=AA′+ A′C 4 1 → → → → =AA′+4(AB+AD-AA ′) 1→ 1 → 3 → =4AB+4AD+4AA′ 1 1 3 = a+ b+ c. 4 4 4

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以下四个命题中正确的是(

)

A.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示

B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向
量 C.若向量a⊥b,则a,b与任何一个向量都不能构成空间的 一个基底 D.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
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根据空间基底的定义逐个选项判断.

[解题过程]
选项 判断 A × √ × × 原因分析 由空间向量基本定理知,空间中任何一个向 量必须由不共面的三个向量才能表示 基向量不共面,因此不可能有零向量 基底中的两个基向量是可以垂直的,正交基 底中三个基向量两两垂直 基底的构成必须是三个不共面的向量

B
C D

答案: B
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[题后感悟]

(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空

间向量的一个基底; (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零 向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0;

(3) 一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某
一个向量,二者是相关联的不同概念.

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1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则 ( ) A.a与b共线 C.a与b反向 解析: B.a与b同向 D.a与b共面

由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才

可以做基底, B , C 都是 A 的一种情况,空间中任两个向量都是 共面的.故D错.

答案: A

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→ =2e1-e2+ 已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且 OP → =e1+2e2-e3, OB → =-3e1+e2+2e3, OC → =e1+e2- 3e3, OA → , OB → , OC → }作为空间的一个基底?若不能,说 e3,能否以{ OA →. 明理由;若能,试以这一基底表示向量OP
[策略点睛]

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[解题过程]

→ , OB → , OC → 共面,据向量共面的充 假设 OA

→ =xOB → +yOC → 要条件有:OA 则有:e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3, ∴ -3x+y=1,?x+y=2,?2x-y=-1. 此方程组无 → ,OB → ,OC → 不共面. 解,∴OA → ,OB → ,OC → }可作为空间的一个基底. ∴{OA
? ? ? ? ?

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设 O→ P =mO→ A +nO→ B +zO→ C ,有:2e1-e2+3e3=m(e1+ 2e2 - e3) + n( - 3e1 + e2 + 2e3) + z(e1 + e2 - e3) = (m - 3n + z)e1 + (2m+n+z)e2+(-m+2n-z)e3. ?m-3n+z=2, ? ∴?2m+n+z=-1, ?-m+2n-z=3. ? ∴m=17,n=-5,z=-30. ∴O→ P =17O→ A -5O→ B -30O→ C.

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[题后感悟]

判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为

基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.

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2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一

个基底,给出下列向量组:
①{a,b,x};②{a,b,y};③{x,y,z};④{a,x,y}; ⑤{x,y,a+b+c}. 其中可以作为空间基底的向量组有( A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 )

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→, →1, 解析: 如图所示, 设 a=AB b=AA →1,y=AD →1,z=AC →, c=A→ D ,则 x=AB →1,由 A、B1、C、D1 四点 a+b+c=AC 不共面, 可知向量 x、y、z 也不共面, 同理可知 a,b,y 和 a、x、y 和 x、y、a+b+c 也不共面.

答案: C

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如图所示,空间四边形OABC 中,G、H分别是△ABC、△OBC的重心, → =a, OB → =b, OC → =c.试用向量a, 设 OA b,c表示向量O→ G 和G→ H.

由题目可获取以下主要信息: ①{a,b,c}是一个基底,②空间四边形OABC中,G、H分 别是△ABC、△OBC的重心.

解答本题可利用重心的性质,再结合图形进而求得结果.
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[解题过程] →, -OA

2→ → → → → → → ∵ OG= OA + AG ,而 AG= AD , AD = OD 3

又D为BC中点. 1 → → → ∴OD= (OB+OC), 2 2→ → 2 → → → → ∴OG=OA+3AD=OA+3(OD-OA) 2 1 → → 2→ 1 → → → → =OA+ × (OB+OC)- OA= (OA+OB+OC) 3 2 3 3 1 =3(a+b+c).
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→ =OH → -OG →, 而GH 2→ 2 1 → → 1 → 又∵OH= OD= × (OB+OC)= (b+c), 3 3 2 3 1 1 1 → ∴GH= (b+c)- (a+b+c)=- a. 3 3 3 1 1 → → ∴OG= (a+b+c);GH=- a. 3 3

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[题后感悟]

(1)由于 a、b、c 不共面,则 a、b、c 可构成

空间一个基底,则空间任一向量均可用 a、b、c 表示. (2)本题还可利用重心性质求解.由 G、H 分别是△ABC、 DH DG 1 GH 1 △OBC 的重心,由重心性质知 = = ,进而得到 = , DO DA 3 AO 3 1→ 1 → → 即GH= AO,∴GH=- a. 3 3

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3.如图,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′,点 E 是上 → ,AD → ,AA → 底面 A′B′C′D′的中心,求用 AB ′为基底表示 → →. BD ′,AE

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解析:

→ → +BC → +DD → BD ′=BA ′

→ +AD → +AA → → =A→ → =-AB ′,AE ′E+AA ′ 1 → → → =2(A′B′+A′ D′)+AA ′ 1→ 1 → → =2AB+2AD+AA ′.

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在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠ π AOB= ,AO=4,BO=2,AA1=4,D 为 2 A1B1 的中点, 在如图所示的空间直角坐标系 → 、A → 中,求DO 1B的坐标.

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[规范作答]

→ 1+O → (1)∵D→ O =-O→ D =-(OO 1D)

1 → → 1→ 1→ → → =-[OO1+2(O A +OB)]=-OO1-2OA-2OB.3 分 → 1|=4,|OA → |=4,|OB → |=2,5 分 又|OO → =(-2,-1,-4).6 分 ∴DO → → → → → → (2)∵A 1B=O B -OA1=O B -(O A +AA1) →1.9 分 =O→ B -O→ A -AA → |=2,|O→ →1|=4,11 分 又|OB A |=4,|AA → ∴A 1B=(-4,2,-4).12 分

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[题后感悟] 空间向量坐标表示的方法与步骤

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4.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,并且 PA=AD=1,试建立适当的坐标系并写 → 的坐标. 出向量 M→ N ,DC
解析: 如图所示,

因为 PA=AD=AB=1,且 PA⊥平面 → =e1,A→ ABCD,AD⊥AB,所以可设AD B= → =e3, e2,AP

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以{e1,e2,e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz. 1→ → → → → → → → → 因为DC=AB=e2,MN=MA+AP+PN=MA+AP+2PC 1→ → 1 → → → =-2AB+AP+2(PA+AD+DC) 1 1 =-2e2+e3+2(-e3-e1+e2) 1 1 =-2e1+2e3.
? 1 ? 1 → =?- ,0, ?,DC → =(0,1,0). 所以MN 2? ? 2

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1.对基底的理解

(1) 空 间 任 意 三 个 不 共 面 的 向 量 都 可 构 成 空 间 的 一 个 基
底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底惟一表示. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共 面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是0. (3) 空间的一个基底是指一个向量组,是由三个不共面的空 间向量构成;一个基向量是指基底中的某个向量,二者是相关 联的不同概念.
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2.怎样正确理解空间向量基本定理?
(1) 空间向量基本定理表明,用空间三个不共面已知向量组

{a,b,c}可以线性表示出空间任意一个向量,而且表示的结果
是惟一的. (2) 空间中的基底是不惟一的,空间中任意三个不共面向量 均可作为空间向量的基底.

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[拓展] 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一 → =xOA → +yOB →+ 点 P, 都存在惟一的有序实数组{x, y, z}, 使OP → ,当且仅当 x+y+z=1 时,P、A、B、C 四点共面. zOC

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3.如何理解空间向量与平面向量的正交分解?
空间向量的正交分解与平面向量的正交分解类似,都需要

事先提供一组基底,空间向量表示为 p=xa+yb+zc 的形式,平
面向量表示为p=xa+yb的形式. 4.特殊向量的坐标表示 (1) 当向量 a 平行于 x 轴时,纵坐标,竖坐标都为 0 ,即 a = (x,0,0);

(2)当向量a平行于y轴时,横坐标,竖坐标都为0,即a=(0,
y,0);

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(3)当向量a平行于z轴时,横坐标,纵坐标都为0,即a=(0,0,
z) ; (4)当向量a平行于xOy平面时,竖坐标为0,即a=(x,y,0);

(5)当向量a平行于yOz 平面时,横坐标为 0,即a=(0 ,y,z); (6)当向量a平行于xOz平面时,纵坐标为0,即a=(x,0,y).

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◎在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M → 为 AC 与 BD 的交点.若A→ 1B1=a,A1D1= b, → → A 1A=c,用基底{a,b,c}表示向量C1M.

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【错解】

→ → → C 1M=A1M-A1C1

→ → → → =A 1A+AM-(A1B1+A1D1) → -a-b. =c+AM 【错因】 用基底表示向量时,只用基底就可以表示空间

→ 仍可用基底表示.最后结果应只含基向 内任一向量,此题中AM 量.

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【正解】

→ → → C 1M=A1M-A1C1

→ → → → =A 1A+AM-(A1B1+A1D1) 1 → → → → =A1A+2(A1B1+A→ 1D1)-(A1B1+A1D1) 1 → → =A1A-2(A1B1+A→ 1D1) 1 1 =c-2b-2a.

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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