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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.3(二)

§ 1.3
一、基础过关

三角函数的诱导公式(二)

1. 已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10° )的值为 1 A.- 2 C.- 3 2 1 B. 2 D. 3 2

(

)

7π ? 1 2. 若 sin(3π+α)=- ,则 cos ? ? 2 -α?等于 2 1 A.- 2 C. 3 2 1 B. 2 D.- 3 2

(

)

π 1 π α- ?= ,则 cos? +α?的值等于 3. 已知 sin? ? 4? 3 ?4 ? 1 A.- 3 2 2 C.- 3 1 B. 3 2 2 D. 3

(

)

π ? ?3 ? 4. 若 sin(π+α)+cos? ?2+α?=-m,则 cos?2π-α?+2sin(2π-α)的值为 2m A.- 3 3m C.- 2 π 3 π ? 5. 已知 cos? ?2+φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ 等于 A.- 3 3 B. 3 3 2m B. 3 3m D. 2

(

)

(

)

C.- 3

D. 3 ( )

1 6. 已知 cos(75° +α)= ,则 sin(α-15° )+cos(105° -α)的值是 3 1 A. 3 1 C.- 3 7.sin21° +sin22° +…+sin288° +sin289° =________. 2 B. 3 2 D.- 3

tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 8.求证: =-tan α. 3π 3π α+ ?cos?α+ ? sin? 2? ? 2? ?

二、能力提升 π ? ?π ? sin?α-3π?+cos?π-α?+sin? ?2-α?-2cos?2+α? 9. 已知 tan(3π+α)=2,则 =________. -sin?-α?+cos?π+α?

10.化简:sin?

4k-1 ? ?4k+1 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α? (k∈Z).

π ? cos?-5π-α?= 60 ,且π<α<π,求 sin α 与 cos α 的值. 11.已知 sin? ?-2-α?· ? 2 ? 169 4 2

π ? π sin3?π+α?+cos?α+π? +α =2sin?α- ?,求 12.已知 cos? 的值. ?2 ? ? 2? 5π 7π -α?+3sin? -α? 5cos? ?2 ? ?2 ?

三、探究与拓展 π ? ? -β ?sin?3π-α?= 2cos? π π? 2 ? ? ? 13.是否存在角 α,β,α∈?-2,2?,β∈(0,π),使等式? ? ? 3cos?-α?=- 2cos?π+β? 同时成立.若存在,求出 α,β 的值;若不存在,说明理由.

答案
1.A 2.A 3.A 4.C 5.C 89 6.D 7. 2

tan?-α?· sin?-α?· cos?-α? 8.证明 左边= π ? ?? cos?2π-?π-α?? sin? ?2π-?2-α??· ? ?2 ?? = ?-tan α?· ?-sin α?· cos α ?π ?? ? ?π ?? sin? ?-?2-α??cos?-?2-α?? sin2α π ? ?π ? -sin? ?2-α?cos?2-α? sin2α sin α =- cos α -cos α· sin α





=-tan α=右边. ∴原等式成立. 9.2

?π ?? ? ?π ?? 10.解 原式=sin? ?kπ-?4+α??+cos?kπ+?4-α??.
当 k 为奇数时,设 k=2n+1 (n∈Z),则

?π ?? 原式=sin? ??2n+1?π-?4+α?? ?π ?? +cos? ??2n+1?π+?4-α?? ?π ?? =sin? ?π-?4+α??+ ?π ?? cos? ?π+?4-α??
π ? ? ?π ?? =sin? ?4+α?+?-cos?4-α?? π ? ?π ?π ?? =sin? ?4+α?-cos 2-?4+α?

?

?

π ? ?π ? =sin? ?4+α?-sin?4+α?=0; 当 k 为偶数时,设 k=2n (n∈Z),则

?π ?? 原式=sin? ?2nπ-?4+α??+ ?π ?? cos? ?2nπ+?4-α??
π ? ?π ? =-sin? ?4+α?+cos?4-α?

π ? =-sin? ?4+α?+ π π ?? cos?2-? ?4+α?

?

?

π ? ?π ? =-sin? ?4+α?+sin?4+α?=0. 综上所述,原式=0. 11.解 π ? sin? ?-2-α?=-cos α,

5π ? π ? ? cos? ?- 2 -α?=cos?2π+2+α? =-sin α. 60 ∴sin α· cos α= , 169 120 即 2sin α· cos α= .① 169 又∵sin2α+cos2α=1,② 289 ①+②得(sin α+cos α)2= , 169 49 ②-①得(sin α-cos α)2= . 169 π π? 又∵α∈? ?4,2?,∴sin α>cos α>0, 即 sin α+cos α>0,sin α-cos α>0, 17 ∴sin α+cos α= ,③ 13 7 sin α-cos α= ,④ 13 12 5 ③+④得 sin α= ,③-④得 cos α= . 13 13 π ? ? π? 12.解 ∵cos? ?2+α?=2sin?α-2?, ∴-sin α=-2cos α,∴tan α=2. ∴ sin3?π+α?+cos?α+π? 5π ? ?7π ? 5cos? ? 2 -α?+3sin? 2 -α? -sin3α-cos α π ? 5sin α-3sin? ?2-α? -?sin3α+cos α? 5sin α-3cos α







sin3α+cos α sin2α· tan α+1 = 3cos α-5sin α 3-5tan α

sin2α · tan α+1 sin2α+cos2α = 3-5tan α tan3α 23 + 1 +1 1+tan2α 1+22 13 = = =- . 35 3-5tan α 3-5×2 ① ?sin α= 2sin β, 13.解 由条件,得? ? 3cos α= 2cos β. ② ①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2,③ 又因为 sin2α+cos2α=1,④ 1 2 由③④得 sin2α= ,即 sin α=± , 2 2 π π? 因为 α∈? ?-2,2?, π π 所以 α= 或 α=- . 4 4 π 3 当 α= 时,代入②得 cos β= , 4 2 又 β∈(0,π), π 所以 β= ,代入①可知符合. 6 π 3 当 α=- 时,代入②得 cos β= , 4 2 又 β∈(0,π), π 所以 β= ,代入①可知不符合. 6 π π 综上所述,存在 α= ,β= 满足条件. 4 6


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