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高中人教版必修二“点、直线、平面之间的位置关系”“直线与方程”“圆与方程”知识点综合+典型习题


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
一、平面的基本性质: 归纳(公理 1) :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? 。 公理 1 作用:判断直线是否在平面内。 直线 l 在平面 α 内(平面 α 经过直线 l) ,记作: l ? ? ; 直线 l 在平面 α 外,记作: l ? ? 。 归纳(公理 2) :过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示:A、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面 α ,使 A ∈α、B ∈α、C ∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 推论 1:过一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论 2:两条相交直线确定一个平面。 推论 3:两条平行直线确定一个平面。 归纳(公理 3) :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 符号表示:P ∈α ∩β ? α ∩β = l,且 P ∈l。 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据。

二、 空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两 条直线。 2、空间两条直线的位置关系: 共面直线 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。 3 异面直线的判定: (1)既不相交也不平行的两条直线是异面直线。 (2)过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过 该点的直线是异面直线。 数学语言:A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? 直线 AB 与直线 l 是异面

1

直线。 4 异面直线所成角的定义 已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a' ∥a、b' ∥b,把 a' 与 b' 所成的锐 角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。 范围: ? ? (0,

?
2

]。

例一:如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、 AB、BB1、BC1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( (A)45° (B)60° (C)90° (D)120° S E A F 5 平行公理: (公理 4) :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线, a // b, b // c ? a // c 。 6 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或者互补。 B C )

例二:在正四面体 S—ABC 中,SA⊥BC,E、F 分别为 SC、AB 的 中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( )

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

三、直线与平面的位置关系
归纳:直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点,记作: a ? ? ; (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点,记作: a ? ? ? A ; (3)直线在平面平行 —— 没有公共点,记作: a // ? 。 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a ? ? 来表示。

例 1:下列命题中正确的个数是(



2

(1)若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l // α; (2)若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行; (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行; (4)若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点; (5)平行于同一平面的两条直线互相平行。 (A)0 答案:B 直线与平面平行的判定 (直线与平面平行的判定定理) 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线 与此平面平行。 符号语言: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? 。 作用:线线平行,则线面平行。 将直线与平面平行关系(空间问题)转化为直线间平行关系(平面问题) 。 定理的应用 例:如图在正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC、 C1D1 的中点,求证:EF // 平面 BDD1B1。 (B)1 (C)2 (D)3

证明线面平行的一般步骤是: (1)证线线平行; (2)说明两直 线一条在面内,另一条在面外; (3)由判定定理得到结论。

(直线与平面平行的性质定理) :一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行。 符号语言: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b 。

3

长 方 体 ABCD — A1B1C1D1 中 , 点 P ? B B ,P A B A 1 ( 异 于 B 、 B1 )

1

M ?



PC

BC1 ? N ,求证:MN // 平面 ABCD。

四、平面与平面平行的判定
(两个平面平行的判定定理) :一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个 平面平行。 〖线不在多,相交就行。 〗 符号语言: a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, a // ? , b // ? ? ? // ? 。 作用:线面平行,则面面平行。 (两个平面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线平行。 符号语言: ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b 。 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。 平面平行的传递性:如果平面 α // 平面 β,平面 β // 平面 γ,则平面 α // 平面 γ。

例 1、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,求证:平面 AB1D1//平面 C1BD。 分析:由 AB1 // DC1,得 AB1 // 平面 C1BD;AD1 // BC1,得 AD1 //平面 C1BD,

例 2:如图,α // β,A、C ?? ,B、D ? ? ,且 A、B、C、D 不共面,E、 F 分别是 AB、CD 的中点,求证:EF // α,EF // β。 分析:欲证线面平行,可先证面面平行,再结合面面平行的定义从而得 证。

4

证明:连结 AD,取 AD 的中点为 G,连结 EG, 因为 E 为 AB 的中点,所以 EG 为△ABD 的中位线,所以 EG // BD, 因为 EG ? 平面 β,BD ? 平面 β,所以 EG // β。 连结 GF,同理证得 GF // β,又 EG∩GF = G, 所以平面 EGF // 平面 β,又 EF ? 平面 EGF,所以 EF // β,同理 EF // α。

五、直线与平面垂直的判定与性质
1、直线与平面垂直的定义:直线 l 与平面内 α 的任意一条直线都垂直。记作:l ⊥α 。 直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面,垂线与平面的交 点 P 叫做垂足。 2、直线与平面垂直的判定: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直。 符号语言: a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ? 。 作用:由线线垂直得到线面垂直。 (线不在多,相交就行。 ) 强调:① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; ② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 (直线与平面垂直的性质) :垂直于同一平面的两条直线平行。 说明:可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行,性质定理揭示了“平行”与 “垂直”之间的内在联系。 (三)课堂练习:课本 P67,练习 1、2。 1、如图,在三棱锥 V—ABC 中,VA = VC,AB = BC,求证:VB ⊥AC。

六、直线与平面所成的角
1、直线与平面所成角的定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

5

注:l ⊥α 时,所成角为 90°;l // α 时,所成角为 0°。 范围: ? ? [0,

?
2

]。

2、应用举例: 例 1:在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角; (2)直线 DB1 与平面 ABCD 所成角的正弦值。 解(1)连结 BC1 交 B1C 于点 O,连结 OA1, 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以 A1B1⊥BC1, 因为 BCC1B1 为正方形,所以 B1C⊥BC1, 又 A1 B1 ? B1C ? B1 ,所以 BO⊥平面 A1B1CD,

D1 A1 B1

C1

D A B

C

所以∠BA1O 为直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角,且∠BOA = 90°, 设正方体的棱长为 a,则 A1O ?

2a, OB ?

2 a, 2

所以 sin ?BA1O ?

OB 1 ? ,得∠BA1O = 30°, A1 B 2

所以直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30°。 (

七、二面角及其平面角
1、二面角的有关概念 角 A 图形 顶点 O 边 边 B A 梭 l B α 从空间一直线出发的两个半平面所组 成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面
6

二面角

β

从平面内一点出发的两条射线(半 定义 直线)所组成的图形 构成 射线 — 点(顶点)一 射线

表示

∠AOB

二面角 α – l – β 或 α – AB – β

3(三)求二面角的大小 例 1:如图,在三棱锥 V—ABC 中,VA = VB = AC = BC = 2, AB = 2 3 ,VC = 1,试画出二面角 V—AB—C 的平面角,并求它的 度数。

八、平面与平面垂直的判定与性质
(两个平面垂直的判定定理) :一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号语言: l ? ? , l ? ? ? ? ? ? 。 作用:由线面垂直得到面面垂直。 (两个平面垂直的性质定理) : 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言:设 ? ? ? , ? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD ,则有 AB ⊥β。 作用:由面面垂直得到线面垂直。 4、应用举例 例:如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC。 证明:设圆 O 所在平面为 α ,由已知条件, PA ⊥α ,BC 在 α 内,所以 PA⊥BC, 因为点 C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点,AB 是圆 O 的直径, 所以∠BCA 是直角,即 BC⊥AC。 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线, 所以 BC⊥平面 PAC,又因为 BC 在平面 PBC 内,所以平面 PAC⊥平面 PBC。

7

第三章直线与方程 知识点
1、直线的倾斜角和斜率公式: k ? tan? ? 2、直线方程的五种形式:

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) ; x2 ? x1

k?
点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 过点(0,b) 斜截式: y ? kx ? b

y2 ? y1 x2 ? x1

两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
过点(a,0) , (0,b)

截距式:

x y ? ?1 a b

一般式:Ax + By + C = 0 3、两条直线的位置关系: (1)两条直线相交: 求两条直线的交点(解方程组) ;两条直线垂直: l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 。 (2)两条直线平行: : l1 // l 2 ? k1 ? k 2 ; 点到直线的距离公式: d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

; 两条平行直线间的距离: d?

C1 ? C2 A2 ? B 2



(二)应用举例,深化巩固 直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 (1)若 0 ? ? ? 。 。 。

?
2

,则直线 x cot α – y – 3 = 0 的倾斜角是

(2)直线 y = k x + 3 必经过一定点,这个定点的坐标是

(3)不论 m 取何值,直线(m – 1) x – y + 2m + 1 = 0 恒过一定点,这个定点的坐标 是 。 (4)ΔABC 中,∠A 的平分线所在的直线为 x 轴,若 A (3 , 0) , B (1 , 2),求 AC 边所在 直线的方程。
8

(5)已知直线 l 1 : y = x 与 l 2 : y ? ?

3 x ,在两直线上方有一点 P,P 到 l 1 , l 2 的距离 3

分别为 2 2 和 2 3 ,又过点 P 分别作 l 1 , l 2 的垂线,垂足为 A , B,求: (1)点 P 的坐标; (2)|AB|的值。

第四章《圆与方程》
(一)整合知识,发展思维 1、圆的方程及其特点: (1)标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

2 2 (2)一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0 )
2 2

x 2 和 y 2 的系数相同,且不等于 0;没有 xy 这样的二次项。 (3)圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显;圆的标准方程则指出 了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 (4)圆的标准方程与一般方程可以相互转化。 2、位置关系: (1)点与圆的位置关系:

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内。
(2)直线与圆的位置关系 方法一:直线与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几
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组解,直线与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,直线与圆就没有公共点。 方法二:判断圆 C 的圆心 C 到直线的距离与圆的半径的关系: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离;——求圆上任意一点到直线的距离的最值; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切;——求圆的切线方程; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;——求弦长。 (2)圆与圆的位置关系 方法一:圆与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组 解,圆与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,圆与圆就没有公共点。 方法二:依据圆心距 l = |C1C2|与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值 | r1 ? r2 | 的 大小关系,判断两圆的位置关系: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含。

(二)应用举例,深化巩固 例 1、一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x – 3y = 0 上,且直线 y = x 截圆所得弦长为 2 7 , 求此圆的方程。

例 3、已知直线 x – my + 3 = 0 和圆 x 2 + y 2 – 6x + 5 = 0, (1)求实数 m,使直线与圆分别相交、相切、相离; (2)当 m 为何值时,圆被直线截得的弦长为

2 10 。 5

10

例 4:已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 , (1)若此方程表示的曲线是圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x + 2y – 4 = 0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ ON(O 为原点) , 求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以线段 MN 为直径的圆的方程。

例 5:据气象台预报:在 A 市正东方向 300 的 B 处有一台风中心形成,并以每小时 40 速度向西北方向移动,在距台风中心 250 以内的地区将受其影响,从现在起经过多长时间, 台风将影响 A 市?持续多长时间?

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