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2018年福建省高一数学竞赛试题(4页)


2018 年福建省高一数学竞赛试题
(考试时间:5 月 13 日上午 8:30-11:00) 一、选择题:本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? x |1 ? 3x ? 27 , B ? x | log2 ( x2 ? x) ? 1 ,则 A A. (1,2) B. ? ?1, 3? C. ?0 , 2?

?

?

?

?

B ?(


(0 , 2)

D. (?? ,? 1)

13x ? 13 y ? 11 ? 0 分别交于 A ,B 两点, 2.若直线 l 与两直线 l1 :x ? y ? 7 ? 0 ,l2 : 且线段 AB 中点为 P (1 ,2) ,

则直线 l 的斜率为( A. ?2 B. ?3

) C. 2 D. 3

3.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 、 E 分别为棱 BC 、 BB1 的中点, N 为正方 形 B1 BCC1 的中心. l 为平面 A1MN 与平面 A1MN 与平面 D1 BE 的交线,则直线 l 与正方 体底面 ABCD 所成角的大小为( A. 30 ? B. 45 ? ) C. 60 ? D. 90 ?

4.如图,在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? SB ? AB ? BC ? CA ? 6 ,且侧面 ASB ? 底面 ABC , 则三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为( A. 60? B. 56? C. 52? ) D. 48?

2 ? 5 ? 2x ?? x ? 2 ,x ? ? ?1,0? 5.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x) ? ? 2 且 f ( x ? 2) ? f ( x) , g ( x) ? ,则方 x ? 2 x ? 2 , x ? 0 , 1 ? ? ? ?

程 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ?3 ,7? 上的所有实根之和为( A. 14 B. 12 C. 11 D. 7



0) , C (0 ,2) ,直线 y ? kx ? b ( k ? 0 )交线段 CA 于点 D ,交线段 CB 于点 E . 6.已知点 A(?2 ,0) , B(2 ,

若 △CDE 的面积为 2 ,则 b 的取值范围为( A. ( 2 ? 1 , 1)
2? ? B. ? 2 ? 2 , ? 3? ?


3? ? C. ? 2 ? 2 , ? 4? ? 2? ? D. ? 2 ? 1 , ? 3? ?

二、填空题(每题 6 分,满分 36 分,将答案填在答题纸上)
1 ? ? log 3 (3x 2 ) ? 7.函数 f ( x) ? ?log 3 ( x ) ? ? ? ? 的最小值为 3 ? ? ?



8.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 为正方形,PA ? AB . E 、

F 分别为 PD 、 BC 的中点,则二面角 E ? FD ? A的正切值为



9.若函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 2 ? 4 在区间 ? a2 ? ?a ? 2 , ? ( a ? 0 )上的值域为 ? ?4 ,0? ,则实数 a 的取值范围 为 .

?a ? 10.已知集合 A ? ?1, b ? A, 且a ? b ? ,则集合 B 中元素的个数 3, 5, 7, 9? ,集合 B ? ? a ? A , b ? ?

为 11.使


16n ? 17 为有理数的所有正整数 n 的和为 n?8



12.给出下列 10 个数:1 , 2 , 4 , 8 ,16 , 32 , 64 , a , b , c ,其中 a , b , c 为整数,且 c ? b ? a ? 64 . 若对每个正整数 n ? 753 ,都可以表示成上述 10 个数中某些数的和(可以是 1 个数的和,也可以是 10 个数的 和,每个数至多出现 1 次) ,则 b 的最小值为 .

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
13.已知 △ DEF 三边所在的直线分别为 l1 :x ? ?2 ,l2 :x ? 3 y ? 4 ? 0 ,l3 : x ? 3 y ? 4 ? 0 , C 为 △ DEF 的内切圆. (1)求 C 的方程; (2)设 C 与 x 轴交于 A 、 B 两点,点 P 在 C 内,且满足 PC ? PA ? PB .记直线 PA 、 PB 的斜率分别 为 k1 , k 2 ,求 k1k 2 的取值范围.
2

14. 函数是数学中重要的概念之一,同学们在初三、高一分别学习过,也知晓其发展过程.1692 年,德国数 学家莱布尼茨首次使用 function 这个词, 1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号 f ( x) 表示函数.1859 年我 国清代数学家李善兰将 function 译作函数, “函”意味着信件,巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和 解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题,尤其是处理抽象函数问题的常用方法之 一.请你解答下列问题.
2 ) ?? 3 .求 f (96) 的值. 已知函数 f ( x) 满足: 对任意的整数 a ,b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? ab ? 2 , 且 f (?

15.如图, PA 、 PBC 分别为 O 的切线和割线,切点 A 是 BD 的中点, AC 、 BD 相交于点 E , AB 、 PE 相 交于点 F ,直线 CF 交 O 于另一点 G 、交 PA 于点 K . 证明: (1) K 是 PA 的中点; (2) AG 2 ? BG ? PG .

16.已知 a , b , c ? R ,且 3a2 ? 3b2 ? 4c2 ? 60 . (1)求 a ? b ? c 的最大值; (2)若 a , b ? (0 ,4) , c ? (0 ,6) ,求

a b 3c 的最小值. ? ? 4?a 4?b 6?c

17.设集合 M ? ?m | m ? Z , , 且 m ? 2018? , M 的子集 S 满足:对 S 中任意 3 个元素 a , b , c (不必不同) 都有 a ? b ? c ? 0 .求集合 S 的元素个数的最大值.


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