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2014年全国高中数学联赛几何证明题的一题多解——八种证法_图文

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如果说 出他们 的错 误点 , 那么他们 肯定  y   y - f ( x )  

投编邮 麓_ S X j k @ v   p   1 6 3 _ c 。 m  

( k + 1 ) a 2 — 6 a + 9 一 k = O 有实数解 .所 

改得 既快又准确.但关键是要 培养他们 

如 何 自 己 发 现 问 题 . 培 养 他 们 良 好 的 数  
学品质. 那我们不妨取一些满足题意的  

1   . …   … . .  y  
l  

| /  

A = C- 4 ( k + 1 ) ( 9 - k ) >0 / , 解得k ≤0 或k≥  

8 参考答案 : ( 一 。 。 , 0 ) u[ 8 , +  ) .  


事实上, x < 0 时, 若二次函数厂 (   ) =  
。 

值, 如n = 1  : 了 1  X 2 =   1



贝  - x = ( 一  

/O   t :  2   1  
=  n 

z + ( 0 z - 4 Ⅱ ) 卅 ( 3 一 。 )   的 对 称 轴   0 = — a — Z _ - 4 _ _ a —  
0 , 则对X 。 =   。 , 是 不 存 在 非 零 实数  (  ≠  

÷ ) (   { ) ,   2 +   卅 吉 … 一 老  
师 .我们忘记 了讨 论对称轴 的位置 了.   在 区间里 面不行 : 右 边也 不行 ( 至 少有 


) ,  
/ 

图6  
y = f ( x )  

) , 使 得f(  z ) - 厂 (  ) 成 立的 , 故X O =  
a ̄ -
一 —


4 a ≥0


即0 ≤Ⅱ ≤4 .所 以. 原题 等价  

2  

个  : ≥  ) ;那 只 能 是 区 间 的左 侧 了.  

X 2  

于 关 于a 的 方f f  ̄ - ( k + 1 ) a 2 — 6 a + 9 一 k = 0 . k ≠(   在0 ≤
1  

Ⅱ ≤4 有 实数解.  

“ 是 吗?那第 ( 2 ) 问的证明是不是太简单 
了(   吣   > 0 ) . , ’当Ⅱ : 1 ,   1
, 

X : X 0  

a  

从上 面我们不难看 出 : “ 数形结 合’  

丢 ,  

问 题 5 图 7   思 想 方 法 的 双 刃 ( 优 越 性 与 局 限 性 ) . 歌   : ( 2 0 1 2 ? 盐城高三摸 底 ) 已知  们要正确拿捏 . 发挥其最 大威力 . 成为 



贝 l J , (   )   一 寺 斛 詈 , 若   慨 z < 1 , 则 b > 0 ; 若  函  
l 帆2 : l ,  ̄ J b = O ; 若  l + x 2 > 1 , 则6 < 0 , 噢 !对 

其 

代 意 义之 下 的 “ 将帅” .客 观 世 界 也 是  态 变 化 的 .解 决 问题 的 方 法 和 手段 往 往  不是一成不变 的 特 别在 遇 到 障碍 时 . 所 


中a   e   R 若对任意 的非零实数  . . 存在唯 

称轴只要 在  =   。 的左 侧都有可能.还是 
老老实实作差 比较吧.  
( 四) 存在性 : 化“ 数” 为“ 形” 的 过 程 

一的非零实数 (  ≠  ) , 使得_ , (  )  
成立 , 则实数k 的取值范围是一

)  
 

采用的方 法与手段也应该根据问题形 工 弋  
变化而不断地变化 .才是我们应持有 
态度 数 学 是 研 究 空 间 和 数 量 关 系 的利  学 少 了 数 的严 谨 .研 究 只 能 停 留 在 表  


参考解 析 : 由题 知 当x = 0 时  (  ) =  

中.没有对 图象 的存在性加 以考虑 . 由   于虚假 图形 的出现而导致 错解.所 以.  

k ( 1 一  ) .又对任 意 的非零 实数 , 存 在  唯一 的非零 实数 (  ≠  ) , 使  ) =  



面: 少 了形 的直 观 研 究 则 抽 象 空 洞 . 存  


在运用“ 数形结合” 的方法解题时. 要仔 
细分析题意 .以确 保图象 的存 在性 . 以  免出现无 中生有的现象.  

f ( x 。 ) 成立, 所 以函数厂 (   ) 必须是连续函  
数, 即在  = 0 附近 的 左 、 右 两侧 , 其 函数  值 相等.于是 ( 3 一 。 )   =   ( 1 一 a 2 ) , k ≠0 , 即 

解题过程中对二者随时根据需要进行轻  
化 完美结合 , 以“ 形” 显“ 数” , 以“ 数”  


“ 形” 来解决 问题 . 才能达到和谐统一.  

( 上接第 5 1页 )  
故 0. 为 △ABC的 垂心 

P o   Q: 2   PAQ= 2  0 2 0 l Q .在 o0 2   中,有 Z _ O   0   Q= 2/0   c Q, 因为 0 。 0   =  
Q O 2 ,   所 以   0 2 0 1 Q = /0 2 Q O l , 又  D 1 D 2 Q+  D 2 O 1 Q+ /0 2 Q O l = 1 8 0 。 , 所以  
1  

c 』  

Q +  0 l C Q =  0 2 0 l Q + ÷  0 1 0 2 Q =  
9 0 。 , 即C D 1  ̄A B, 同理 B r J l   J - Ae 故 DI 为 
△f 4   8C 的 垂 心.  

图7  

因为Q o I = P O 】 , 所 以  Q RO 1 =  P R 0 1 =  
图6  

船0 l =  

Q .又 因为 P , 0 。 , Q, R四 

证法 6 : 如 图7 , 连 结A0 。 并延 长 交6 3 0   于 点D, 连 结肋 , P Q, 在 QO   中, 因为曰 ,  
P, Q, C 四点共 圆,所 以/ _P Q A=/ _ A B C .  

点共 圆, 所 以/ -P O 1 Q + /P RQ = 1 8 0 。 ,则 

Q+A _ P B O 1 = 9 0 。 , g I  ̄ B O 1 上AC , 同 理 
C Ol   J _ A且 g c O1 为 AABC的 垂 心.  
C  

在 00。 中 ,有 / _ _ P Q A=LP D A,所 以  
A _ A B C = A _ P D A.又 因 为A D为 QO, 的 直 

图9  

径 ,所 以 A _ P D A+  
/A B C +  

0 1 = 9 0 。 , 则 有 

0 1 = 9 0 。 , 即A 0l 上B C , 同 理 

j 结 语 
C 

C O1   LAB .故01 为/ ' , AB C的 垂 心.  

证法7 : 如 图8 , 连结p 0   并延 长 交0 0   于 点  ,连 结 艘 , 0   R, P O   , B O , , Q O   , 在 

数学解题研究 , 有 助于缩短青年 教  师成 长周期.笔者对一道高 中数 学联赛 
题 进 行 了多 种 证 明 . 也 是 变 式 教 学 的 形  式之一 . 即做 到一题 多解 , 旨 在 交 流 学 

图8  

Q O . 中, 有   Q = ÷/ - P O   Q , 在0 0   中,  

证 法8 : 如 图9 , 连 结加 l , Q o 】 , C O 1 ,  

0 。 0 2 , Q O   ,则尸 Q上0   0   ,在 o  0   中, 有 

习. 共 同提高.  

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