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上海市上海理工大学附属中学2012届高三上学期第一次月考(数学)(无答案)

上理工附中 2011 学年第一学期高三数学月考(一)

一、填空题(每题 4 分,共 56 分)
a 1、已知集合 M ? 3, 2 , N ? ?a, b? ,若 M ? N ? ?2? ,则 M ? N ? _______________

?

?

2、若复数 z ? ? m ? 1? ? ? m ? 3? i ( i 为虚数单位)在复平面内的对应点在第四象限,则实数

m 的取值范围是__________________
3、不等式

1 ? 1 的解集是_________________ x
5

4、 ? 2 x ? 3 ? 展开式中第四项的系数是_________________ 5、若函数 f ? x ? ?

1 ? 1 的反函数是 f ?1 ? x ? ,则 f ?1 ?1? ? ________ 2x
*

6、若数列 ?an ? 对任意 n ? N 都有 an?1 ? an ? a1 且 a1 ? 2 ,则 a20 ? ___________ 7、函数 y ? log 1 x 2 ? 2 x 的单调减区间是_______________
2

?

?

8、 设 a ? ??2 , ? , ? , ? , ,1 ,2 ,3

? ?

1 2

1 3

2 1 3 2

? a ? ,已知幂函数 y ? x 为偶函数,且在 ?0,??? 上递减, ?

则 a 的所有可能取值为____________. 9、设函数 f ? x ? ? ?

? ?2 x ? 2 x ? ?1, ?? ? ,则函数 y ? f ? x ? 的零点是_________________ 2 ? ? x ? 2 x x ? ??,1?
1 3

10 、已知偶函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是 ________________。 11、(文科学生做)关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? k ? 0 有一个根为 ?2 ? 3 i ( i 为虚数单位),则 实数 k ? _________
2 2 (理科学生做) ? , ? 是关于 x 的方程 x ? 2x ? p ? 1 ? 0( p ? 0) 的两个虚根, 若复平面

上 ? , ? ,1 对应点构成正三角形,那么实数 p ? _____________ 12、数列 ?an ? 是首项为 1 的实数等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若 28S3 ? S6 ,则 数列 ?

?1? ? 的前四项的和为________________ ? an ?

13、(文科学生做)函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ?15 的值域是_______________ (理科学生做)函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ?15 ,定义域为 ? a, b? ? a, b ? Z ? ,值域为 ??15,0? , 则满足条件的整数对 ? a, b ? 共有________________对 14、(文科学生做)不等式 lg ? ? x ? ? x ?1的解集是________________
2 (理科学生做)若关于 x 的不等式 ? 2 x ? 1? ? ax 的解集中的整数解恰有两个,则实数 a 的 2

取值范围是________________ 二、选择题(每题 5 分,共 20 分) 15、若 a, b, c ? R ,则 a ? b 成立的充分非必要条件为 ( )

A. ac2 ? bc2

B. a? c? b? c C. a? c 且c ? b

D. a c? b c

16、 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会, 若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有( )中 120 种

A. 140 种

B.

C.

35 种

D.

34 种 ( )

17、 若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 在 R 上恒成立, 则 a 的取值范围
A. 一切实数

B. (?3,3]

C. (??, ?3)

D. (??,3)

18、(文科学生做)设函数 f ( x) ? x 的反函数为 f ?1 ( x) ,对于 [0,1] 内的所有 x 的值,下列 关系式中一定成立的是 A. f ( x) = f ?1 ( x) B. f ( x) ? f ?1 ( x) ( C. f ( x) ≤ f ?1 ( x) D. f ( x) ≥ f ?1 ( x) )

(理科学生做)若定义在 ? ??,1? 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? ?

?1, ??? 上的函数 y ? f ? x? 满足 f ? x ? 2? ? f ? ?x? ,且
( )

2x ? 3 ,则下列结论中正确的是 x ?1 ? ? 1 1? , t ? ? 恒成立; 2 2? 1 1? , t ? ? 恒成立; 2 2?

A.存在 t ? R ,使 f ? x ? ? 2 在 ?t ?

B.对任意 t ? R , 0 ? f ? x ? ? 2 在 ?t ? C.对任意 t ? R , f ? x ? 在 ?t ?
?

? ?

? ?

1 1? , t ? ? 上始终存在反函数; 2 2?

D.对任意 t ? R , f ? x ? 在 ?t ?
?

? ?

1 1? , t ? ? 上始终存在反函数。 2 2?

三、解答题(共 74 分) 19、已知关于 x 的不等式 (1)若 a ? 3 ,求集合 P (2)若 P ? Q ? P ,求:正数 a 的取值范围 (本题 12 分)

a?x ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ? 1 的解集为 Q x ?1

20、已知 z 是复数, (1)求:复数 z

z 为实数( i 为虚数单位),且 z ? z ? 4i 2?i

(2)若 z ? mi ? 5 ,求:实数 m 的取值范围 (本题 14 分)

21、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年 的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:

C ? x? ?

k ? 0 ? x ? 10 ? ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热 3x ? 5

层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值.(本题 14 分)

22、(文科学生做)已知函数 f ( x) ? loga (1) 求实数 m 的值;

1 ? mx ? a ? 0, a ? 1? 是奇函数。 x ?1

(2) 判断函数 f ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上的单调性,并用定义证明; (3) 当 a ? 1 , x ? ? r, a ? 2? 时,函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 r 的值。 (本题 16 分)

(理科学生做) 已知函数 f ? x ? ?

a ? 2x ? a2 ? 2 ( x ? R, x ? 0 ) , 其中 a 为常数, 且a ? 0 。 2x ?1

(1)若 f ? x ? 是奇函数,求常数 a 的值; ( 2 )当 f ? x ? 为奇函数时,设 f ? x ? 的反函数为 f ?1 ? x ? ,且函数 y ? g ? x ? 的图像与

y ? f ?1 ? x? 1? 的图像关于 y ? x 对称,求 y ? g ? x ? 的解析式并求其值域;
(3)对于(2)中的函数 y ? g ? x? ,不等式 g 2 ? x ? ? 2g ? x ? ? t ? g ? x ? ? ?2 恒成立,求实 数 t 的取值范围。(本题 16 分)

23、 (文科学生做) 已知函数 f ? x ? ?

a ? 2x ? a2 ? 2 ( x ? R, x ? 0 ) , 其中 a 为常数, 且a ? 0 。 2x ?1

(1)若 f ? x ? 是奇函数,求常数 a 的值; ( 2 )当 f ? x ? 为奇函数时,设 f ? x ? 的反函数为 f
?1

? x ? ,且函数 y ? g ? x? 的图像与

y ? f ?1 ? x? 1? 的图像关于 y ? x 对称,求 y ? g ? x ? 的解析式并求其值域;
(3)对于(2)中的函数 y ? g ? x? ,不等式 g 数 t 的取值范围。(本题 18 分)
2

? x? ? 2g ? x? ? t ? g ? x ? ? ?2 恒成立,求实

(理科学生做)设函数 y ? f ? x ? , x ? R ,满足 f ? x ? ? af ? x ?1? , a ? 0 , a 为实常数 (1)若当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,求 y ? f ? x ? , x ??0,1? 的值域; (2)若当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,求 y ? f ? x ? , x ??n, n ? 1? , n ? N 的解析式。
x (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 3 ,研究函数 y ? f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上是否可能是单调

函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不能,请说明理由。(本题 18 分)


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