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【课堂新坐标】2018版高中数学(人教A版必修4)同步必考部分第1章1.41.4.2正弦函数余弦函数的性质_图文

阶 段 一

阶 段 三

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
阶 段 二

学 业 分 层 测 评

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1. 掌握 y=sin x(x∈R), y=cos x(x∈R)的周期性、 奇偶性、 单调性和最值. (重 点) 2. 会求函数 y=Asin(ωx+φ)及 y=Acos(ωx+φ)的周期, 单调区间及最值. (难 点) 3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)

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[ 基础· 初探] 教材整理 1 函数的周期性

阅读教材 P34~P35“例 2”以上部分,完成下列问题. 1.函数的周期性

非零常数T ,使得当 x 取定义域内的 (1) 对于函数 f(x) ,如果存在一个 ____________
每一个 值时,都有____________ f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数,_________ 非零常数T ________
叫做这个函数的周期.

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最小的正数 , (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个____________ 那么这个最小
正数就叫做 f(x)的最小正周期. 2.两种特殊的周期函数

2π (1)正弦函数是周期函数, 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期, 最小正周期是___. 2π (2)余弦函数是周期函数, 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期, 最小正周期是___.

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函数 y=2cos x+5 的最小正周期是________.
【解析】 函数 y=2cos x+5 的最小正周期为 T=2π.
【答案】 2π

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教材整理 2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材 P37“思考”以下至 P37 第 14 行以上内容,完成下列问题.

奇 1. 对于 y=sin x, x∈R 恒有 sin(-x)=-sin x, 所以正弦函数 y=sin x 是____
原点 对称. 函数,正弦曲线关于______ 偶 2. 对于 y=cos x, x∈R 恒有 cos(-x)=cos x, 所以余弦函数 y=cos x 是____ y轴 对称. 函数,余弦曲线关于________

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判断函数
【解】

? 3π? f(x)=sin?2x+ 2 ?的奇偶性. ? ?
? 3π? f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos ? ?

因为

2x.

且 f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),所以 f(x)为偶函数.

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教材整理 3

正、余弦函数的图象和性质

阅读教材 P37~P38“例 3”以上内容,完成下列问题. 函数名称 图象与性质 性质分类 相 同 处 定义域 值域 周期性 R R y=sin x y=cos x

[_ - 1,1] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2π 最小正周期为_ _ _ _ _ _

[_ - 1,1] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2π 最小正周期为_ _ _ _ _ _

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图象 不 同 处 单调性 奇偶性

奇 函数 ____
? π π? 在?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)上是 ? ?

偶 函数 ____
在[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)

? π 3 ? 增函数 ________; 在?2kπ+2,2kπ+2π? 2kπ+π] (k∈Z)上 ? ?

增函数 ; 上是________ 在[2kπ,

减函数 (k∈Z)上是________

减函数 ________

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对称轴 不 同 处 最值 对称中心

π x=kπ+ (k∈Z) 2 (kπ,0)(k∈Z)

x=kπ(k∈Z)
? ? π ?kπ+ ,0?(k∈Z) 2 ? ?

π 2kπ+2(k∈Z) 时,y =1; x=_____ 2kπ 时, x=____________ ymax=1; x max π 2kπ-2(k∈Z) 2 kπ+π 时, = _______ ymin=-1 x=____________时,y =-1
min

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判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若
?2π π? π 2π ? ? sin 3 +6 =sin6,则 3 是函数 ? ?

y=sin x 的一个周期.( )

)

(2)函数 y=sin x 在第一象限内是增函数.(

(3) 余弦函数 y = cos x 是偶函数,图象关于 y 轴对称,对称轴有无数多 条.( ) )

? π? 1 (4)函数 y=-2sin x,x∈?0,2?的最大值为 0.( ? ?

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【解析】 (1)×.因为对任意

?2π ? x,sin? 3 +x?与 ? ?

sin x 并不一定相等.

(2)×.y=sin x 的单调性针对的是某一区间,不能用象限角表示. (3)√.由余弦函数图象可知正确.
? π? 1 (4)√.函数 y=-2sin x 在 x∈?0,2?上为减函数,故当 x=0 时,取最大值 0. ? ?

【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√

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[ 小组合作型]

三角函数的周期问题及简单应用

(1)下列函数是以 π 为最小正周期的函数是( A.y=sin x C.y=cos 2x+2 (2)函数 B.y=sin x+2 D.y=cos 3x-1

)

? π? y=sin?2x+4?的最小正周期为________. ? ?

(3)求函数 y=|sin x|的最小正周期.
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2π 【精彩点拨】 (1)(2)利用周期定义或公式 T= ω 求解.(3)利用图象求解.
【自主解答】 (1)y=sin x 及 y=sin x+2 的最小正周期为 2π,y=cos 2x+2 2π 的最小正周期为 π,y=cos 3x-1 的最小正周期为 3 ,所以选 C.
? ? ? π? π (2)法一:y=sin?2x+4?=sin?2x+4+2π? ? ? ? ? ? π? =sin?2?x+π?+4?,所以最小正周期为 ? ?

π.

法二:因为函数

? π? y=sin?2x+4?中 ? ?

2π 2π ω=2,所以其最小正周期 T= = =π. |ω| 2
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【答案】 (1)C

(2)π

(3)作函数 y=|sin x|的简图如下:

由图象可知 y=|sin x|的最小正周期为 π.

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求三角函数周期的方法: (1)定义法:即利用周期函数的定义求解. (2)公式法: 对形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A, ω, φ 是常数, A≠0, 2π ω≠0)的函数,T=|ω|. (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.

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[ 再练一题] 1.求下列三角函数的周期: (1)y=cos 2x,x∈R;
?1 π? (2)y=sin?3x-4?,x∈R. ? ?

【导学号:00680018】

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【解】

(1)因为 cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,

y=cos 2x 的周期为 π. (2)因为
?1 ?1 ?1 π? π? π? sin ?3?x+6π?-4? =sin ?3x+2π-4? =sin ?3x-4?,由周期函数的定义 ? ? ? ? ? ?

?1 π? 知,y=sin?3x-4?的周期为 ? ?

6π.

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三角函数奇偶性的判断
(1)函数 A.奇函数
?2 y=sin? ? ? 015 ?是( π - 2 016 x 2 ?

)

B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 )

C.非奇非偶函数

(2)已知 a∈R,函数 f(x)=sin x-|a|(x∈R)为奇函数,则 a 等于( A.0 C.-1
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B.1 D.± 1
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【精彩点拨】 (1)可先化简解析式再判断奇偶性.(2)可由 f(-x)=-f(x)恒 成立来求 a.
【自主解答】 (1)因为
??π =sin??2-2 ?? ? 016x?+1 ? ?2 y=sin? ? ? 015 ? π - 2 016 x 2 ? ? 016x?=-cos ?

? ?π 007π?=-sin?2-2 ? ?

2 016x,

所以为偶函数. (2)函数的定义域为 R, 因为 f(x)为奇函数, 所以 f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x) =-sin x+|a|,所以|a|=0,从而 a=0,故选 A.
【答案】 (1)B (2)A
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1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面: 一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看 f(x)与 f(-x)的关系. 2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再 判断.

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[ 再练一题] 2.(1)函数 f(x)= 2sin 2x 的奇偶性为 ( A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 (2)判断函数
?3 3π? f(x)=sin?4x+ 2 ?的奇偶性. ? ?

)

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【解析】 (1)∵f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)= 2sin 2(-x)=- 2sin 2x=-f(x), ∴函数为奇函数.

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【答案】

A 3 4x, 3 x, 4

?3 3π? (2)∵f(x)=sin?4x+ 2 ?=-cos ? ? ? 3 ? ∴f(-x)=-cos?-4x?=-cos ? ?

∴函数

?3 3π? f(x)=sin?4x+ 2 ?为偶函数. ? ?

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求正、余弦函数的单调区间
?π ? (1)下列函数,在?2,π?上是增函数的是( ? ?

)

A.y=sin x C.y=sin 2x

B.y=cos x D.y=cos 2x

(2)函数 y=cos x 在区间[ -π,a] 上为增函数,则 a 的取值范围是________. (3)求函数
?π ? y=sin?6-x?的单调递减区间. ? ?

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【精彩点拨】 (1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断;(2)可利用[ - π,a] 为 y=cos x 对应增区间子集求 a 范围;(3)可先化为 复合函数在对应区间上同增异减方法来求解.
? π? y=-sin?x-6?后,利用 ? ?

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【自主解答】 (1)因为 y=sin x 与 y=cos x π 除 A,B.因为2≤x≤π,所以 π≤2x≤2π.

?π ? 在?2,π?上都是减函数,所以排 ? ?

因为 y=sin 2x 在 2x∈[ π,2π] 内不具有单调性,所以排除 C. (2)因为 y=cos x 在[ -π,0] 上是增函数,在[0,π] 上是减函数,所以只有- π<a≤0 时满足条件,故 a∈(-π,0].

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【答案】 (1)D (2)(-π,0]
?π ? ? π? (3)y=sin?6-x?=-sin?x-6?, ? ? ? ?

π 令 z=x-6,则 y=-sin z, 要求 y=-sin z 的递减区间,只需求 sin z 的递增区间, π π π π π 即 2kπ-2≤z≤2kπ+2,k∈Z,所以 2kπ-2≤x-6≤2kπ+2,k∈Z, π 2 所以 2kπ-3≤x≤2kπ+3π,k∈Z. 故函数
?π ? ? π 2 ? y=sin?6-x?的单调递减区间为?2kπ-3,2kπ+3π?(k∈Z). ? ? ? ?
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1.求形如 y=Asin(ωx+φ)+b 或形如 y=Acos(ωx+φ)+b(其中 A≠0,ω>0, b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通 过解不等式求得.

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2.具体求解时注意两点:①要把 ωx+φ 看作一个整体,若 ω<0,先用诱导 公式将式子变形,将 x 的系数化为正;②在 A>0,ω>0 时,将“ωx+φ”代入正 弦(或余弦)函数的单调区间, 可以解得与之单调性一致的单调区间; 当 A<0, ω>0 时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.

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[ 再练一题] 3.求函数
? π? y=2cos?3x-4?的单调递减区间. ? ?

π 【解】 令 2kπ≤3x- ≤π+2kπ(k∈Z), 4 π 2 5π 2 解得 + kπ≤x≤ + kπ(k∈Z), 12 3 12 3 所以函数
? ?π π? 2 5π 2 ? y=2cos?3x-4?的单调递减区间为?12+3kπ,12+3kπ?(k∈Z). ? ? ? ?

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[ 探究共研型]

正、余弦函数的值域与最值问题

探究 1 函数

? π? y=sin?x+4?在 ? ?

x∈[0,π] 上最小值是多少?

π ?π 5π? 【提示】 因为 x∈[0,π] ,所以 x+4∈?4, 4 ?,由正弦函数图象可知函数 ? ? 2 的最小值为- . 2
探究 2 函数 y=Asin x+b,x∈R 的最大值一定是 A+b 吗?
【提示】 不是.因为 A>0 时最大值为 A+b,若 A<0 时最大值应为-A+b.
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求下列函数的值域: (1)y=3-2sin 2x;
? ? π? π? (2)y=cos?x+6?,x∈?0,2?; ? ? ? ?

(3)y=cos2 x-4cos x+5.

【精彩点拨】 (1)利用-1≤sin 2x≤1 求解. π ?π 2 ? (2)可换元令 z=x+6∈?6,3π?,转化为求 y=cos z 值域来求解; ? ? (3)可换元,令 cos x=t,转化为一元二次函数来解决.
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【自主解答】 (1)∵-1≤sin 2x≤1, ∴-2≤-2sin 2x≤2, ∴1≤3-2sin 2x≤5, ∴原函数的值域是[1,5] . (2)由
? ? π? π? y=cos?x+6?,x∈?0,2?可得 ? ? ? ?

π ?π 2π? x+6∈?6, 3 ?, ? ?

∵函数 y=cos x

?π 2π? 在区间?6, 3 ?上单调递减, ? ?

? 1 ∴函数的值域为? ?-2, ?

3? ? . 2? ?
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(3)y=cos2 x-4cos x+5,令 t=cos x,则-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 当 t=-1,函数取得最大值 10; t=1 时,函数取得最小值 2,所以函数的值域为[2,10] .

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三角函数最值问题的常见类型及求解方法: ?1?y=asin2x+bsin x+c?a≠0?,利用换元思想设 t=sin x,转化为二次函数 y =at2+bt+c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定. ?2?y=Asin?ωx+φ?+b,可先由定义域求得 ωx+φ 的范围,然后求得 sin?ωx +φ?的范围,最后得最值.

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[ 再练一题] 4.(1)函数
? ? π π? π? y=2cos?2x+6?,x∈?-6,4?的值域为________. ? ? ? ?
2

?π 5π? 1 (2)函数 f(x)=2sin x+2sin x- ,x∈?6, 6 ?的值域为________. 2 ? ?

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【解析】

? π π? (1)∵x∈?-6,4?, ? ?

π ? π 2 ? ∴2x+6∈?-6,3π?, ? ?
? π? ? 1 ? ∴cos?2x+6?∈?-2,1? ? ? ? ?

∴函数的值域为[ -1,2] .

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(2)令 t=sin x,
?π 5π? 1 ? ? ∵x∈ 6, 6 ,∴2≤sin ? ?
2

1 x≤1,即2≤t≤1.

1 ? 1?2 ∴f(t)=2t +2t-2=2?t+2? -1, ? ?
?1 ? ?1 ? t∈?2,1?,且该函数在?2,1?上单调递增. ? ? ? ?

∴f(t)的最小值为

? 1? f?2?=1,最大值为 ? ?

? 7? 7 f(1)=2.即函数 f(x)的值域为?1,2?. ? ?

【答案】 (1)[ -1,2]

? 7? (2)?1,2? ? ?
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1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 sin(60° +60° )=sin 60° , 则 60° 为正弦函数 y=sin x 的一个周期. ( (2)若 T 是函数 f(x)的周期,则 kT,k∈N*也是函数 f(x)的周期.( (3)函数 y=sin x,x∈(-π,π]是奇函数.( ) ) )

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【解析】 (1)×.举反例,sin(40° +60° )≠sin 40° ,所以 60° 不是正弦函数 y =sin x 的一个周期. (2)√.根据周期函数的定义知,该说法正确. (3)×.因为定义域不关于原点对称.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×

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2. 函数 f(x)= π A.2 C.2π

? x π? 3sin?2-4?, x∈R ? ?

的最小正周期为( B.π D.4π

) 【导学号: 70512011】

【解析】 因为 =

?1 π? 3sin?2?x+4π?-4?= ? ?

??1 ? π? 3sin??2x-4?+2π? ?? ? ?

?1 π? 3sin?2x-4?,即 ? ?

f(x+4π)=f(x),所以函数 f(x)的最小正周期为 4π.

【答案】

D
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3.函数

? π? f(x)=sin?x+6?的一个递减区间是( ? ?

) 【导学号:00680019】

? π π? A.?-2,2? ? ? ? 2 2 ? C.?-3π,3π? ? ?

B.[ -π,0]
?π 2 ? D.?2,3π? ? ?

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? 3 π ?π 【解析】 令 x+6∈?2+2kπ,2π+2kπ?,k∈Z, ? ?



?π ? 4 x∈?3+2kπ,3π+2kπ?,k∈Z, ? ? ? π 4π ? 时,区间?3, 3 ?是函数 ? ?

k=0

f(x)的一个单调递减区间,

?π 2 ? ?π 4π? 而?2,3π???3, 3 ?.故选 ? ? ? ?

D.

【答案】

D

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4.比较下列各组数的大小:
? 7π? π (1)cos 150° 与 cos 170° ;(2)sin 与 sin?- 5 ?. 5 ? ?

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【解】 (1)因为 90° <150° <170° <180° ,函数 y=cos x 在区间[90° ,180° ] 上是 减函数,所以 cos 150° >cos 170° .
? 7π? ? 3π? (2)sin?- 5 ?=sin?-2π+ 5 ?=sin ? ? ? ? ? 2π? 3π 2π π 2π π ? ? =sin π- 5 =sin .因为 0< < < , 函 5 5 5 5 2 ? ? ? 7π? π 2π π sin 5<sin 5 ,即 sin 5<sin?- 5 ?. ? ?

数 y=sin x

? π? 在区间?0,2?上是增函数,所以 ? ?

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